二次函数知识点汇总全.docx
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二次函数知识点汇总全.docx
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二次函数知识点汇总全
二次函数知识点(第一讲)
—、二次函数概念:
1.二次函数的概念:
一般地,形如y=ax2+hx+c(“,〃,c是常数,心0)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数“H0,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2.二次函数V=av2+bx+c的结构特征:
(1)等号左边是函数,右边是关于自变量工的二次式,兀的最高次数是2.
⑵b,C是常数,"是二次项系数,b是一次项系数,C•是常数项.
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形武:
y= a的绝对值越大,抛物线的开口越小。 “的符号 开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 a>0 向上 (0,0) y轴 x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y随x的增大而减小;x=0时,y有最小值0. a<0 向下 (0,0) y轴 x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随 •x•的增大而增大;x=0时,y有最大值0. 2・y=的性质: (上加下减) “的符号 开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 a>0 向上 (0,c) )•轴 x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,y随x的增大而减小;x=0时,y有最小值c. a<0 向下 (0") y轴 x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随 X的增大而增大;x=0时,y有最大值c. 3.y=a(x-h)2的性质: (左加右减) “的符号 开口方向 顶点坐标 对称 轴 性质 a>0 向上 (触0) X=h x>/? 时,),随X的增大而增大;时,y随x的增大而减小;x=h时,y有最小值0. a<0 向下 (爪0) X=h x>力时,y随x的增大而减小;〃时,y随 X的增大而增大;x=h时,y有最大值0. 4.y^a(x-h}\k的性质: “的符号 开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 “>0 向上 (h,灯 X=h X>力时,y随X的增大而增大;时,y随x的增大而减小;xi时,y有最小值k. a<0 向下 (h,H X=h x>力时,y随x的增大而减小;时,y随x的增大而增大;x=h时,y有最大值 三、二次函数图象的平移 1•平移步骤: 方法一: (1)将抛物线解析式转化成顶点式y-ci(x-h)2+k,确定其顶点坐标(力,灯; ⑵保持抛物线用的形状不变,将其顶点平移到(kk)处,具体平移方法如下: 2・平移规律 在原有函数的基础上“力值正右移,负左移;斤值正上移,负下移”・概括成八个字“左加右减, 上加下减”. 方法二: (1)y=«x2+bx+c沿y轴平移: 向上(下)平移加个单位,y=加+c变成 y=ax1+bx+c+〃? (或y=ax1+bx+c-m) ⑵y=ax2+bx+c沿轴平移: 向左(右)平移川个单位,『“决+加+^变成 y=a(x+m)2+b{x+m)+c(或y=a(x一in)2+b(x一in)+c)四、二次函数y=a(x-h)-+k^y=ax2+bx+c的比较 从解析式上看,y=d(x-力)'+£与>,=“十+加+。 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到 前者,即y=+A -+屮,其中_加=4丁 4"2a4 五、二次函数y=ux2+bx+c图象的回I法 五点绘图法: 利用配方法将二次函数y=aX2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图•一般我们选取的五点为: 顶点、与轴的交点(0宀)、以及(0,c)关于对称轴对称的点(2爪c)、与x轴的交点(a-,0),(门,0)(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点)• 画草图时应抓住以下几点: 开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点. 六、二次函数y=ax~+hx+c的性质 1.当">0时,抛物线开口向上,对称轴为x=-A,顶点坐标为—? ,也二.. 2ci2a4a 当xv-f时,y随x的增大而减小;当兀>-<时,y随x的增大而增大;当心-<时,y有2a2xi2a 最小值敢M. 2.当“<0时,抛物线开口向下,对称轴为a-=-A,顶点坐标为'-A,±! S±_|.当时,y随x的增大而增大;当<时,y随•{的增大而减小;当时,y有最大值竺兰. 2a'2a*4a 七、二次函数解析式的表示方法 1.—般式: y="+bx+c(a,b,c为常数,心0); 2•顶点式: y=a(x-h)2+k(a,ht£为常数hO); 3•两根武: y=c心-州心-兀)(“0,x,,心是抛物线与*轴两交点的横坐标)• 注意: 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b2-4ac>0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析武的这三种形戒可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数。 二次函数y=ax2+bx+c中,“作为二次项系数,显然心0. (D当“>0时,抛物线开口向上,d的值越大,开口越小,反之“的值越小,开口越大;⑵当“<0时,抛物线开口向下,“的值越小,开口越小,反之“的值越大,开口越大. 总结起来,“决定了抛物线开口的大小和方向,“的正负决定开口方向,|"|的大小决定开口的大小. 2.—次项系数b 在二次项系数a确定的前提下,方决定了抛物线的对称轴. (1)在“>0的前提下, 当">0时,-丄<0,即抛物线的对称轴在y轴左侧; 即抛物线的对称轴就是y轴; 当“vO时,-? >0,即抛物线对称轴在y轴的右侧. 2d ⑵在“<0的前提下,结论刚好与上述相反,即 当b>o时,-2>0,即抛物线的对称轴在y轴右侧; 当〃=0时,=即抛物线的对称轴就是y轴; 2d 当b<0时,-A<0,即抛物线对称轴在y轴的左侧. 2d 总结起来,在4确定的前提下,〃决定了抛物线对称轴的位責. ”的符号的判定: 对称轴X=_g在y轴左边则ab>0,在y轴的右侧则加<0,概括的说就 是“左同右异” 总结: 3.常数项c (1)当。 >0时,抛物线与)•轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正; ⑵当*0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0; ⑶当c<0时,抛物线与)•轴的交点在*轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c•决定了抛物线与〉,轴交点的位責. 总之,只要a.b.c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析武,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况: 1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般武; 2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根武; 4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1.关于*轴对称 y="疋+加+C关于A轴对称后,得到的解析式是y=-ax--bx-C;y^a(x-h)2+k关于x轴对称后,得到的解析式是y=-a(x-h)2-k; 2.关于)•轴对称 y=clx2+bx+c关于y轴对称后,得到的解析式是y=ax2-bx+c; y=a(x-h)2+k关于y轴对称后,得到的解析武是y=a(x+h)'+k; 3.关于原点对称 y=tL\2+b.x+c关于原点对称后,得到的解析式是$=-ar+bx-c; y=a(x-h)2+k关于原点对称后,得到的解析式是y=-a(x+h)2-k; 4.关于顶点对称(即: 抛物线绕顶点旋转180°) y=后+bx+C关于顶点对称后,得到的解析式是y=-ax2-bx+c-^—; 2a y=a(x-h)'+k关于顶点对称后,得到的解析武是y=-a(x-h)'+k. 5.关于点(m,n)对称 y=a(x-hy+k关于点(m,n)对称后,得到的解析式是y=-a(x+h-2my+2n-k 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此同永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达武时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐 标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式. 十、二次函数与一元二次方程: 1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与X轴交点情况): 一元二次方程ar2+/7A+c=0是二次函数y=“疋+加+c当函数值y=0时的特殊情况. 图象与X轴的交点个数: 1当△时,图象与x轴交于两点川和0),B(“,0)(西"2),其中的咼,勺是一元二 次方程用+bx+c=0(ah0)的两根.这两点间的距离AB=卜,-a-|=竺百如. 2当时,图象与X轴只有一个交点; 3当A<0时,图象与X轴没有交点. r当“>0时,图象落在X轴的上方,无论X为任何实数,都有y>0; 2・当“<0时,图象落在x轴的下方,无论》•为任何实数,都有y<0・ 2•抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c); 3.二次函数常用解题方法总结: (1)求二次函数的图象与X轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶根据图象的位首判断二次函数y=ax2+bx+c中a,以。 的符号,或由二次函数中51八。 的 符号判断图象的位直,要数形结合; ⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与X轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2+bx+c(a^0)本身就是所含字母x的二次函 数;下面以“>0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系: A>0 抛物线与兀轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一兀—次方程有两个不相等实根 A=0 抛物线与X轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一兀—次方程有两个相等的实数根 A<0 抛物线与X轴无交占八" 二次三项武的值恒为 正 一元二次方程无实数根. 二次函数考查重点与常见题型 1.考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如: 已知以x为自变量的二次函数y=(/H-2)x2+m2-m-2的图像经过原点,则m的值是 2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系考查两个函数的图像,试题类型为选择题,女Q: 如图,如果函数y=的图像在第一、二、三象限,那么函数y=kx2+hx-\的图像大致是() 3.考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如: 已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为a-=|,求这条抛物线的解析式。 4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,女口: 3已知抛物线y=ax2+bx+c(。 工0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是-㊁ (1)确定抛物线的解析式; (2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 例1⑴二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1,则点M(b,£)在() a A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 (2)已知二次函数y二oW+bx+c(cjhO)的團象如图2所示,则下列结论: ①。 、b同号;②当x=】和x二3时,函数值相等;③4o+b二0;④当y二2时,x的值只能取0•其中正确的个数是() A.丨个B.2个C.3个D.4个 【点评】弄清抛物线的位直与系数。 ,b,c之间的关系,是解决问题的关键. 例2•已知二次函数y二ox和bx+c的图象与x轴交于点(2O)、(xH0),且lvx】<2,与y轴的正半轴的交点在点(O,2)的下方.下列结论: ①aO;③4a+c A1个B.2个C.3个D.4个 答案: D 会用待定系数法求二次函数解析式例3•已知: 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为() A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)D・(3,2) 答案: C 例4、(2006年市)如图(单位: m)9等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动,直到AB与CD重合•设x秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为 (1)写出y与x的关系式; (2) 当x=2,3.5时,y分别是多少? (3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半三角形移动了多长时间? 求抛物线顶点坐标、对称轴. 例5、已知抛物线y=斗x2+x-|. (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴. (2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长. 【点评】本题(】)是对二次函数的"基本方法”的考查,第 (2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系. 例6•已知: 二次函数y二ox「(b+l)x・3ci的图象经过点P(4,10),交x轴于A(几0),3(心,0)两点 U, ⑴求二次函数的解析式; (2)在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角ZMCO/ACO? 若存在, 请你求出M点的横坐标的取值围;若不存在,请你说明理由.⑴解: 如图•••抛物线交X轴于点A(X|,0),B(x2,O), 则X]•X2=3<0,又TXiVXs, .\x2>O,Xi ・・.X]・x2=-3x12—3..\x12=l. X|<0,.\X]=-1..・・・x2=3. ••・点A(-l,O),P(4f10)代入解析式得解得a=2b=3 ・・・•二次函数的解析式为y-2x2-4x-6. (2)存在点MftZMCO (2)解: 点A关于y轴的对称点A'O), •••直线A,C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0,-6),(5,24). •••符合题意的x的围为-l 当点M的横坐标满足J 1.II 例7、“已知函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(c,-2), 乙 求证: 这个二次函数图象的对称轴是X二3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 (1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式? 若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能,请说明理由。 (2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。 点评: 对于第(丨)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析武,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点A(c,-2)”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析武。 对于第 (2)小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第 (1)小题中的解析式就可以了。 而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 [解答](】)根据y=[,+加+c的图象经过点A(c,-2),图象的对称轴是x=3,得 所以所求二次函数解析武为y=|x2-3x+2.图象如图所示。 (2)在解析式中令y二0,得3x+2=0,解得x,=3+75,x2=3-75. 所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3+岳,0)”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3-点0). 令x=3代入解析式,得,v=-|, 所以抛物线y=^-x2-3x+2的顶点坐标为(3,-斗), 所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。 函数主要关注: 通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变重之间关系力的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF二2,BF=】・试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积. 【评析】本题是一道代数几何综合题,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起,能很好考查学生的综合应用能力.同时,也给学生探索解题思路留下了思维空间. 例2茱产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表: X(元) 15 20 30 ■•■ y(件) 25 20 10 ••■ 若日销售量y是销售价x的一次函数. (1)求岀日销售重y(件)与销售价x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元? 此时每日销售利润是多少元? (15k+b=25, 【解析】 (1)设此一次函数表达式为y二kx+b・则彳“f“解得k二1,b二40,即一次函2k+b=20 数表达式为y二x+40・ (2)设每件产品的销售价应定为x元,所获销售利润为w元 w二(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225. 产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元. 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点: (丨)设未知数在“当某某为何值时,什么最大(或最小、最省)”的设问中,“菜某”要设为自变重,“什么”要设为函数; (2)问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程. 仮(I3•你知道吗? 平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在 甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面均为】n%学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离lm、2.5m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1•5m,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) () A・1.5mB・1.625m C.1.66mD.1.67m 分析: 本题考查二次函数的应用答案: B 知识点一、平面直角坐标系 1,平面直角坐标系 在平面画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。 其中,水平的数轴叫做X轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面点的位責,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意: x轴和y轴上的点,不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用(。 ,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位萱不能颠倒。 平面点的坐标是有序实数对,当a丰b时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 丨、各象限点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限ox>0,y>0 点P(x,y)在第二象限oxv0,y>0 点P(x,y)在第三象限oxv0,y<0 点P(x,y)在第四象限ox>0,yvO 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上oy=0,x为任意实数 点F(x,y)在y轴上ox=0,y为任意实数 点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上ox,y同时为零,即点P坐标为(0,0) 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点”x,y)在第一、三象限夹角平分线上Ox与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上Ox与y互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征 点F与点P'关于x轴对称O横坐标相等,纵坐标互为相反数 点P与点P'关于y轴对称O纵坐标相等,横坐标互为相反数 点P与点P'关于原点对称O横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离: ⑴点P(x,y)到x轴的距离等于恻 ⑵点P(x,y)到y轴的距离等于卜| (3)点P(xzy)到原点的距离等于产歹 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常重 在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变童,数值保持不变的量叫做常量。 一般地,在某一变化过程中有两个变量X与y,如果对于X的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变重的取值的全体,叫做自变重的取值围。 0x K<0 b>0 \ / \「 图像经过一、二、四象限,y随x的增大而减小 C \X b<0 \ i \ 图像经过二、三、四象限,y随x的增大而减小。 •\ \ 注: 当b二0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。 4、正比例函数的性质 —般地,正比例函数y=kx有下列性质: (1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大; (2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。 5、一次函数的性质 —般地,一次函数y=kx+b有下列性质: (1)当k>0时,y随x的增大而增大 (2)当k<0时,y随x的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y=(kHO)中的常数k。 确定一个一次 函数,需要确定一次函数定义i^y=
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