初中数学线段的垂直平分线学案.docx

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初中数学线段的垂直平分线学案

线段的垂直平分线

（一）

一、知识点1：

线段垂直平分线的性质：

例1如图，在ΔABC中，AB=AC=32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求ΔBCN的周长。

对应训练：

1、如图，在ΔABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，ΔABD的周长为13cm，求ΔABC的周长。

2、已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，求△ABC的腰长和底边的长

3．如图7，△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D，求证：

AD=

DC．

4、△ABC中，∠C=90°，∠A=15°,AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E,AD=3,则CD=．

二、知识2：

线段垂直平分线的判别：

例2、如图，四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD,CB=CD

（1）小明观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形的两条

对角线AC⊥BD,垂足为E,并且BE=ED，你同意小明的判断吗？

请说明理由

（2）设对角线AC=a,BD=b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积

对应训练：

如图，已知：

AB=AC，DB=DC，E是AD上的

一点，求证：

BE=CE。

课堂检测：

1、已知：

是等腰三角形，ED为腰AB的垂直平分线，

的周长为24cm，

腰长为14cm，求底边BC的长。

2．已知：

如图３，△ＡＢＣ中，ＡC＝４，ＢＣ＝８，ＡＢ的垂直平分线交ＢＣ于Ｄ，Ｅ是垂足，且ＢＤ＝５，求△ＡＢＣ的面积。

3、已知：

如图，△ＡＢＣ中，ＡＢ的中垂线交ＢＣ于Ｄ，ＡＣ的中垂线交ＢＣ于Ｅ，Ｍ、Ｎ为垂足，若ＢＤ＝３，ＤＥ＝４，ＥＣ＝５，求证：

∠Ｂ＝４５°

4、已知，D是直角

斜边AC的中点，

于D交BC于E，

，求：

的度数。

拓展提高：

1、如图，已知△ABC中，点D在BC上，连接AD，作AD的垂直平分线交AD于E，交BC延长线于F，连接AF,若∠B=∠CAF

求证：

AD是∠BAC的平分线

2、如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，EF⊥AD交BC于F，

求证：

∠FAC=∠B

线段的垂直平分线

（二）

一、知识点1：

线段垂直平分线的尺规作图：

例1、已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。

已知：

线段a，h（如图）

求作：

△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h。

作法：

二、知识点2：

三角形三边中垂线的性质定理：

三角形三条边的垂直平分线，并且这一点到三个顶点的距离

三种三角形三边中垂线交点的位置不同：

锐角三角形交点在三角形

钝角三角形交点在三角形

直角三角形交点在三角形

例2、如图6，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于点O，交AB于点E．

求证：

点O在AC的垂直平分线上．

对应训练：

1、到平面上三点A，B，C距离相等的点（）

A．只有一个B．有二个C．三个或三个以上D．一个或没有

2、如果一个三角形的三边中垂线的交点恰好在三角形的一边上，则这个三角形是（）

A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、任意三角形

3、在锐角三角形ABC中，∠A=60°，AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，则∠BOC=　　　　．

4、△ABC中，∠ABC=135°，MN垂直平分AB交AC于点N，EF垂直平分BC交AC于点F，那么△NBF是　　　　三角形．

课堂检测：

1、如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?

2、已知线段a，求作以为a底、以

a为高的等腰三角形。

这个等腰三角形有什么特征？

※3、已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P。

如果点P在直线外呢？

拓展提高：

1、如图，已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，及AC相交于点B，求∠A的度数

2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F,求证：

BE垂直平分CD

3、如图，在等边△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O，BO、CO的垂直平分线及BC分别相交于点E、F，求证：

BE=EF=FC

※4、如图，在△ACB中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于F，求证：

E在AF的垂直平分线上

※5、如图，在△ACB中，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于点D，DF⊥AC于点F，且及BC边上的高AE交于点G，求证：

EG=EC

典型例题

线段的垂直平分线（含答案）

一、选择题（共8小题）

1、（2011•绍兴）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的

AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（　　）

A、7B、14

C、17D、20

2、（2011•丹东）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（　　）

A、6

B、4

C、6D、4

3、（2010•义乌市）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（　　）

A、6B、5

C、4D、3

4、（2010•烟台）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（　　）

A、80°B、70°

C、60°D、50°

5、（2010•台湾）如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：

（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；

（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．

对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（　　）

A、两人都正确B、两人都错误

C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确

6、（2010•三明）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　）

A、AE=BEB、AC=BE

C、CE=DED、∠CAE=∠B

7、（2010•巴中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

A、△ABC的三条中线的交点B、△ABC三边的中垂线的交点

C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高所在直线的交点

8、（2009•钦州）如图，AC=AD，BC=BD，则有（　　）

A、AB垂直平分CDB、CD垂直平分AB

C、AB及CD互相垂直平分D、CD平分∠ACB

二、填空题（共12小题）

9、（2011•长春）如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为　_________　．

10、（2010•无锡）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=　_________　度．

11、（2010•黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为　_________　°．

12、（2009•泉州）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC及四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　_________　．

13、（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=　_________　度．

14、（2008•孝感）如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=　_________　度．

15、（2007•陕西）如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是　_________　度．

16、（2004•陕西）如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有　_________　个不同的四边形．

17、（2004•湖州）已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC及E，则△ADE的周长等于　_________　．

18、（2002•天津）如图，在四边形ABCD中，对角线AC及BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：

①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=

∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号　_________　（把你认为正确结论的序号都填上）

19、（2002•广西）如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为　_________　cm．

20、（2002•安徽）在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是　_________　°．

三、解答题（共6小题）

21、（2011•株洲）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．

（1）求∠ECD的度数；

（2）若CE=5，求BC长．

22、（2011•乐山）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．

23、（2010•娄底）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．

求证：

（1）FC=AD；

（2）AB=BC+AD．

24、（2009•铁岭）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．

（1）尺规作图：

作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE．

求证：

EF=2DE．

25、（2009•梅州）如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于

AB长为半径画弧，两弧相交于点C、Q，连接CQ及AB相交于点D，连接AC，BC．那么：

（1）∠ADC=　_________　度；

（2）当线段AB=4，∠ACB=60°时，∠ACD=30度，△ABC的面积等于　_________　（面积单位）．

26、（2008•清远）如图，在△ABC中，已知BC=7，AC=16，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，求△BEC的周长．

答案及评分标准

一、选择题（共8小题）

1、（2011•绍兴）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的

AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（　　）

A、7B、14

C、17D、20

考点：

线段垂直平分线的性质。

专题：

几何图形问题；数形结合。

分析：

首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ABC的周长．

解答：

解：

∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的

AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．

∴MN是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∵△ADC的周长为10，

∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，

∵AB=7，

∴△ABC的周长为：

AC+BC+AB=10+7=17．

故选C．

点评：

此题考查了线段垂直平分线的性质及作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．

2、（2011•丹东）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（　　）

A、6

B、4

C、6D、4

考点：

线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形。

专题：

计算题。

分析：

由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．

解答：

解：

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠ABE，

∵ED垂直平分AB于D，

∴EA=EB，

∴∠A=∠ABE，

∴∠CBE=30°，

∴BE=2EC，即AE=2EC，

而AE+EC=AC=9，

∴AE=6．

故选C．

点评：

本题考查了线段的垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．

3、（2010•义乌市）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（　　）

A、6B、5

C、4D、3

考点：

线段垂直平分线的性质。

专题：

计算题。

分析：

由直线CD是线段AB的垂直平分线可以得到PB=PA，而已知线段PA=5，由此即可求出线段PB的长度．

解答：

解：

∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，

∴PB=PA，

而已知线段PA=5，

∴PB=5．

故选B．

点评：

本题主要考查线段垂直平分线的性质，此题比较简单，主要利用了线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等这个结论．

4、（2010•烟台）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（　　）

A、80°B、70°

C、60°D、50°

考点：

线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。

专题：

计算题。

分析：

先根据△ABC中，AB=AC，∠A=20°求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出AE=BE，即∠A=∠ABE=20°即可解答．

解答：

解：

∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC=

=80°，

∵DE是线段AB垂直平分线的交点，

∴AE=BE，∠A=∠ABE=20°，

∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=80°﹣20°=60°．

故选C．

点评：

此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

5、（2010•台湾）如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：

（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；

（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．

对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（　　）

A、两人都正确B、两人都错误

C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确

考点：

线段垂直平分线的性质。

分析：

先根据直线CP是AB的中垂线且交AB于P，判断出△ABC是等腰三角形，即AC=BC，再根据线段垂直平分线的性质作出AD=DC=CE=EB．

解答：

解：

甲错误，乙正确．

证明：

∵CP是线段AB的中垂线，∴△ABC是等腰三角形，即AC=BC，∠A=∠B，

作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，

∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，

∵∠A=∠B，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，

∵AC=BC，∴△ACD≌△BCE，

∴AD=EB，∵AD=DC，EB=CE，

∴AD=DC=EB=CE．

故选D．

点评：

本题主要考查线段垂直平分线的性质，还涉及等腰三角形的知识点，不是很难．

6、（2010•三明）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　）

A、AE=BEB、AC=BE

C、CE=DED、∠CAE=∠B

考点：

线段垂直平分线的性质；角平分线的性质。

分析：

根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE；根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°，则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得CE=DE．

解答：

解：

A、根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE．故该选项正确；

B、因为AE＞AC，AE=BE，所以AC＜BE．故该选项错误；

C、根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°．

则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得CE=DE．故该选项正确；

D、根据C的证明过程．故该选项正确．

故选B．

点评：

此题考查了线段垂直平分线的性质、等角对等边的性质、角平分线的性质．由已知条件结合各知识点得到结论对选项逐一验证时解答本题的关键．

7、（2010•巴中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

A、△ABC的三条中线的交点B、△ABC三边的中垂线的交点

C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高所在直线的交点

考点：

线段垂直平分线的性质。

专题：

应用题。

分析：

由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．

解答：

解：

∵凉亭到草坪三条边的距离相等，

∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．

故选C．

点评：

此题主要考查线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

8、（2009•钦州）如图，AC=AD，BC=BD，则有（　　）

A、AB垂直平分CDB、CD垂直平分AB

C、AB及CD互相垂直平分D、CD平分∠ACB

考点：

线段垂直平分线的性质。

分析：

由已知条件AC=AD，利用线段的垂直平分线的性质的逆用可得点A在CD的垂直平分线上，同理，点B也在CD的垂直平分线上，于是A是符合题意的，是正确的，答案可得．

解答：

解：

∵AC=AD，BC=BD，

∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．

∴AB垂直平分CD．

故选A．

点评：

本题考查的知识点为：

及一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．分别应用垂直平分线性质定理的逆定理是解答本题的关键．

二、填空题（共12小题）

9、（2011•长春）如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为　6　．

考点：

线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形。

分析：

由ED垂直平分BC，即可得BE=CE，∠EDB=90°，又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解．

解答：

解：

∵ED垂直平分BC，

∴BE=CE，∠EDB=90°，

∵∠B=30°，ED=3，

∴BE=2DE=6，

∴CE=6．

故答案为：

6．

点评：

此题考查了线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用．

10、（2010•无锡）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=　50　度．

考点：

线段垂直平分线的性质。

专题：

应用题。

分析：

根据△ABC中DE垂直平分AC，可求出AE=CE，再根据等腰三角形的性质求出∠ACE=∠A=30°，再根据∠ACB=80°即可解答．

解答：

解：

∵DE垂直平分AC，∠A=30°，

∴AE=CE，∠ACE=∠A=30°，

∵∠ACB=80°，

∴∠BCE=80°﹣30°=50°．

点评：

此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．

①线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；

②得到等腰三角形，再利用等腰三角形的知识解答．

11、（2010•黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为　45　°．

考点：

线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质。

分析：

根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．

解答：

解：

∵△ABC是等腰三角形，∠A=30°，

∴∠ABC=∠ACB=75°，

∵AB的垂直平分线交AC于D，

∴AD=BD，

∴∠A=∠ABD=30°，

∴∠BDC=60°，

∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．

故填45．

点评：

此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC=60°是解答本题的关键．本题的解法很多，用底角75°﹣30°更简单些．

12、（2009•泉州）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC及四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　6　．

考点：

线段垂直平分线的性质。

专题：

计算题。

分析：

运用线段垂直平分线定理进行线段转换，根据题意列关系式后求解．

解答：

解：

∵DE是BC边上的垂直平分线，

∴BE=CE．

∵△EDC的周长为24，△ABC及四边形AEDC的周长之差为12，

∴ED+DC+EC=24，①

BE+BD﹣DE=12．②

①﹣②得，DE=6．

点评：

此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

13、（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=　72　度．

考点：

线段垂直平分线的性质；菱形的性质。

专题：

计算题。

分析：

欲求∠CPB，可根据菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法．

解答：

解：

先连接AP，

由四边形ABCD是菱形，∠ADC=72°，

可得∠BAD=180°﹣72°=108°，

根据菱形对角线的对称性可得∠ADB=

∠ADC=

×72°=36°，∠ABD=∠ADB=36度．

EF是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP=∠ADB=36°，

∴∠PAB=∠DAB﹣∠DAP=108°﹣36°=72度．

在△BAP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP=180°﹣72°﹣36°=72度．

由菱形对角线的对称性可得∠CPB=∠APB=72度．

点评：

本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的．灵活应用菱形