高三数学理科立体几何练习体积表面积.docx
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高三数学理科立体几何练习体积表面积
高三数学理科立几练习(表面积+体积)
班级姓名座号
一、柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积
体积
圆柱
S侧=2πrh
V=Sh=πr2h
圆锥
S侧=πrl
V=
Sh=
πr2h=
πr2
圆台
S侧=π(r1+r2)l
V=
(S上+S下+
)h=
π(r
+r
+r1r2)h
直棱柱
S侧=Ch
V=Sh
正棱锥
S侧=
Ch′
V=
Sh
正棱台
S侧=
(C+C′)h′
V=
(S上+S下+
)h
球
S球面=4πR2
V=
πR3
提示:
(1)几何体的侧面积是指各个侧面面积之和,而全面积是侧面积与所有底面面积之和.
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形.
二、多面体的表面积的求法:
(1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,如棱柱中的矩形,棱台中的直角梯形,棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁,从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系.
(2)旋转体的表面积的求法:
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
三、给出几何体的三视图,求该几何体的体积或表面积时,可以根据三视图还原出实物,画出该几何体的直观图,确定该几何体的结构特征,并利用相应的体积公式求出其体积,求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种.若所给几何体为不规则几何体,常用等体积转换法和割补法求解.
练习:
1.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的( ).
A.2倍B.2
倍C.
倍D.
倍
2.如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图,则该多面体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则其侧面积与全面积的比为,此圆锥体积为
4.点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列四个命题:
①三棱锥AD1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;
③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题序号是________.
5.棱长为2的正四面体的表面积是,体积是,其外接球体积为。
6.如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2cm,高为5cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________c
m.
7.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2
,
AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.
8.一个几何体的三视图如图所示.已知主视图是底边长为1的平行四边形,左视图是一个长为
,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成
的矩形.
(1)求该几何体的体积V;
(2)求该几何体的表面积S.
9.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,主视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,左视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.
(1)求该几何体的体积V;
(2)求该几何体的侧面积S.
10.已知圆锥的母线长为20cm,则当其体积最大时,其侧面积为( )
A.
cm2B.
cm2C.
cm2D.
cm2
高三(上)数学立几练习(体积表面积)
班级姓名座号
一、柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积
体积
圆柱
S侧=2πrh
V=Sh=πr2h
圆锥
S侧=πrl
V=
Sh=
πr2h=
πr2
圆台
S侧=π(r1+r2)l
V=
(S上+S下+
)h=
π(r
+r
+r1r2)h
直棱柱
S侧=Ch
V=Sh
正棱锥
S侧=
Ch′
V=
Sh
正棱台
S侧=
(C+C′)h′
V=
(S上+S下+
)h
球
S球面=4πR2
V=
πR3
提示:
(1)几何体的侧面积是指各个侧面面积之和,而全面积是侧面积与所有底面面积之和.
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形.
二、多面体的表面积的求法:
(1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,如棱柱中的矩形,棱台中的直角梯形,棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁,从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系.
(2)旋转体的表面积的求法:
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
三、给出几何体的三视图,求该几何体的体积或表面积时,可以根据三视图还原出实物,画出该几何体的直观图,确定该几何体的结构特征,并利用相应的体积公式求出其体积,求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种.若所给几何体为不规则几何体,常用等体积转换法和割补法求解.
练习:
1.把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大到原来的( ).答案 B
A.2倍B.2
倍C.
倍D.
倍
2.如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图,则该多面体的体积为( ).答案 B
A.
B.
C.
D.
解析 根据三视图的知识及特点,可画出多面体
的形状,如图所示.这个多面体是由长方体截
去一个正三棱锥而得到的,所以所求多面体的体积
V=V长方体-V正三棱锥=4×4×6-
×
×2=
.
3.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则其侧面积与全面积的比为,2:
3此圆锥体积为
,
,
4.点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列四个命题:
①三棱锥AD1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;
③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题序号是________.
解析:
连接BD交AC于O,连接DC1交D1C于O1,连接OO1,则OO1∥BC1.
∴BC1∥平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,
∴三棱锥PAD1C的体积不变.
又VPAD1C=VAD1PC,∴①正确.
∵平面A1C1B∥平面AD1C,A1P⊂平面A1C1B,
∴A1P∥平面ACD1,②正确.
由于DB不垂直于BC1,显然③不正确;
由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,
∴DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1,
∴平面PDB1⊥平面ACD1,④正确.
答案:
①②④
5.棱长为2的正四面体的表面积是4
,体积是,其外接球体积为。
解析:
每个面的面积为:
×2×2×
=
.∴表
面积为4
,体积是
外接球直径
,半径
,体积
=
(将四面体补成正方体)
6.如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2cm,高为5cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________c
m.答案 13
解析 根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱,然后将其展开为如图所示的实线部分,则可知所求最短路线的长为
=13(cm).
7.(2014·浙江杭州模拟)如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2
,AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.
解:
由已知得:
CE=2,DE=2,CB=5,
S表面=S圆台侧+S圆台下底+S圆锥侧=π(2+5)×5+π×25+π×2×2
=(60+4
)π,
V=V圆台-V圆锥=
(π·22+π·52+
)×4-
π×22×2=
π.
8.一个几何体的三视图如图所示.已知主视图是底边长为1的平行四边形,左视图是一个长为
,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成
的矩形.
(1)求该几何体的体积V;
(2)求该几何体的表面积S.
解析
(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为
,所以V=1×1×
=
.
(2)由三视图可知,该平行六面体中,
A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,
所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形,
S=2×(1×1+1×
+1×2)=6+2
.
9.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,主视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,左视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.
(1)求该几何体的体积V;
(2)求该几何体的侧面积S.
解析 由题设可知,几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是长、宽分别为8和6的矩形,正侧面及其相对侧面均为底边长为8,高为h1的等腰三角形,左、
右侧面均为底边长为6,高为h2的等腰三角形,如右图所示.
(1)几何体的体积为:
V=
·S矩形·h=
×6×8×4=64.
(2)正侧面及相对侧面底边上的高为:
h1=
=5.左、右侧面的底边上的高为:
h2=
=4
.故几何体的侧面
面积为:
S=2×
=40+24
.
10.(2015秋•吉安期末)已知圆锥的母线长为20cm,则当其体积最大时,其侧面积为( )
A.
cm2B.
cm2C.
cm2D.
cm2
【分析】设底面半径为r,用r表示出圆锥的体积,利用函数思想求出体积的极大值点,代入侧面积公式即可.
【解答】解:
设圆锥的底面半径为r,高为h,则h=
,∴圆锥的体积V=
πr2h=
,
令f(r)=400r4﹣r6,∴f′(r)=1600r3﹣6r5,令f′(r)=0,解得r=
,
当0<r<
时,f′(r)>0,当
<r<20时,f′(r)<0.
∴当r=
时,f(r)取得最大值,即圆锥的体积取得最大值.
此时,圆锥的侧面积S=πrl=π×
×20=
.
故选:
B.
9.【2016全国大联考1(课标
卷)】直三棱柱
中,底面是正三角形,三棱柱的高为
,若
是
中心,且三棱柱的体积为
,则
与平面
所成的角大小是()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意可设底面三角形的边长为
,过点
作平面
的垂线,垂足为
,则点
为底面
的中心,故
即为
与平面
所成的角,由于
,而
,又因为三棱柱的体积为
,由棱柱体积公式得
,解得
,所以
,得,故
与平面
所成的角大小是
,故正确答案为C.
(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为________.
解析:
如图,设球O的半径为R,
则由AH∶HB=1∶2得HA=
·2R=
R,∴OH=
.
∵截面面积为π=π·(HM)2,∴HM=1.
在Rt△HMO中,OM2=OH2+HM2,
∴R2=
R2+HM2=
R2+1,∴R=
.
∴S球=4πR2=4π·(
)2=
π.
5.(2012·高考山东卷)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1EDF的体积为__________.[答案]
[解析] 三棱锥D1EDF的体积即为三棱锥FDD1E的体积
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- 数学 理科 立体几何 练习 体积 表面积