高考数学解题技巧每周一计版.docx

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高考数学解题技巧每周一计版

高考数学解题技巧（每周一计.整理版）

每周一计第一计——恒成立问题的处理策略

恒成立问题一直以来都有是数学中的一个重点、难点，这类问题也没有一个固定的思想方法去处理，各类考试以及高考中都屡见不鲜。

如何更好地简单，准确，快速解决这类问题并更好地认识把握，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。

一转化为二次函数，利用分类讨论思想直接处理

例1．已知函数f（x）=x2-2ax+4在区间[-1，2]上都不小于2，求a的值。

解：

由函数f（x）=x2-2ax+4的对称轴为x=a

所以必须考察a与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论

1．当a

2时f（x）在[-1，2]上是减函数此时

=f

（2）=4-4a+4

即a

结合a

2，所以a的解集为

2．当a

时f（x）在[-1，2]上是增函数，

=f（-1）=1+2a+4

结合a

即

3．当-1

=f（a）=a2-2a2+4

即

a

所以

综上1，2，3满足条件的a的范围为：

二确定主元，构造函数，利用单调性简单处理

例2．对于满足0

a

4的所有实数a求使不等式x2+ax>4x+a-3都成立的x的取值范围。

解：

不等式变形为x2+（x-1）a-4x+3>0

设f（a）=（x-1）a+x2-4x+3，则其是关于a的一个一次函数：

是单调函数

结合题意有

即得

或

三利用不等式性质快速处理

例3．若关于

的不等式|x-2|+|x+3|

a恒成立，试求a的范围

解：

由题意知只须

由

所以

四构造新函数，利用导数求最值迂回处理。

例4．已知

若当

时

在[0，1]恒成立，求实数t的取值范围。

解：

在[0，1]上恒成立，即

在[0，1]上恒成立

令

则须F（x）在[0，1]上的最大值小于或等于0

所以

又

所以

即

在[0，1]上单调递减

所以

即

得

（拓展：

若将恒成立改成有解，即

在[0，1]上有解，则应F（x）min

。

）

五分离参变量，变换处理

例5已知二次函数

对

恒有

，求

的取值范围。

解：

对

恒有

即

变形为

当

时对任意的

都满足

只须考虑

的情况

即

要满足题意只要保证

比右边的最大值大。

现求

在

上的最大值。

令

（

）

所以

又

是二次函数

所以

且

六利用数形结合，直观处理

例6：

不等式

在

内恒成立，求实数a的取值范围。

解：

画出两个函数

和

在

上的图象

如图

知当

时

，

当

时总有

所以

每周一计第二计——由递推关系求数列通项公式

给定初始条件和递推关系是确定数列的一种方法，这类问题是近年来高考中的重点、热点问题。

1.形如an+1-an=f（n）型

（1）若f（n）为常数,即：

an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+（n-1）d.

（2）若f（n）为n的函数时，用迭加法.

例1.已知数列{an}满足

证明

证明：

由已知得：

an-an-1=3n-1，故

an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+···+（a2-a1）+a1=

.

练一练1：

已知数列{an}满足

，

，求此数列的通项公式.2.形如型（答案：

）

（1）当f（n）为常数，即：

（q≠0），此时数列为等比数列，

=

.

（2）当f（n）为n的函数时,用累乘法.

例2.设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）a2n+1-na2n+an+1an=0（n=1,2,3,…），则它的通项公式是an=________.

解：

已知等式可化为：

（an+1+an）[（n+1）an+1-nan]=0

（

）

（n+1）

即

时，

=

=

.

评注：

本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出an.

练一练2:

已知an+1=nan+n-1，a1>-1,求数列{an}的通项公式.（

-1.）

3.形如an+1=can+d（c≠0且c≠1,d≠0其中a1=a）型

用待定系数法构造辅助数列.

规律：

将递推关系

化为

构造成公比为c的等比数列

从而求得通项公式

例3．已知数列{an}中，

求通项

.

分析：

两边直接加上

构造新的等比数列。

解：

由

得

所以数列

构成以

为首项，以

为公比的等比数列

所以

即

.

4．形如an+1=pan+f（n）型

（1）若

（其中k,b是常数，且

）用构造法

例4．在数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n求通项an.

解：

设an+1+p（n+1）+d=3（an+pn+d）则an+1=3an+2pn+2d-p

an+1=3an+2n∴2p=22d-p=0则p=1,d=

令cn=an+n+

则cn+1=3cn，{cn}是等比数列，公比为3

∵c1=

则

∴

练一练3：

在数列{an}中，

2an-an-1=6n-3求通项an.（

.）

（2）若f（n）=qn（其中q是常数，p≠1且n≠0,1）

）.两边同除以pn+1.即：

令

，则

变型为类型1，累加求通项.

）.两边同除以qn+1.即：

令

则可化为

.然后转化为类型3来解，

（

）.待定系数法：

设an+1+λqn+1=p（an+λqn）.则an+1=pan+λ（p-q）qn），，令

则cn+1=pcn{cn}是等比数列，可求{cn}通项。

例5.设a0为常数，且an=3n-1-2an-1．求通项an.

解：

设an+λ·3n=-2（an-1+λ·3n-1）,即:

an=-2an-1-5λ·3n-1,

比较系数得：

所以

所以

所以数列

是公比为－2，首项为

的等比数列.

即

.

5、形如（

）型取倒数法

例6.已知数列{an}中，a1=2，，求通项公式an。

解：

取倒数：

6、形如f（Sn,n）=0型

可利用公式：

直接求出通项

（别忘了讨论n=1的情况！

）

例7：

已知数列{an}的前n项和为①Sn=2n2-n②Sn=n2+n+1，分别求数列{an}的通项公式。

解析：

①当n=1时，a1=S1=1

当n≥2时，an=2n2-n-2（n-1）2+（n-1）=4n-3

经检验n=1时，a1=1也适合∴an=4n-3

②当n=1时，a1=S1=3

当n≥2时，an=n2+n+1-（n-1）2-（n-1）-1=2n

经检验n=1时，a1=3不适合∴

7、形如f（Sn,Sn+1）=0型

）.看成{Sn}的递推公式，求Sn的通项公式，再转化成类型1-5

）.利用an=Sn-Sn-1转化成关于an和an-1的关系式再求。

例8．已知数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式3tSn-（2t+3）Sn-1=3t（t为常数且t>0，n=2,3,4…）

（1）求证：

数列{an}是等比数列；

（2）设数列{an}的公比为f（t），作数列{bn}，使b1=1，

，求bn

解析：

（1）由

，

，得

∴，又

，

得

，得

∴

是一个首项为1，公比为

的等比数列。

（2）由

，有

∴

是一个首项为1，公差为

的等差数列，∴

。

8、形如f（Sn,an）=0型

利用an=Sn-Sn-1转化为g（an,an-1）=0型或h（Sn,Sn-1）=0型

例9.数列{an}的前n项和记为Sn，已知

证明：

数列是等比数列.

方法

（1）∵

∴

整理得

所以，故是以2为公比的等比数列.

方法

（2）：

事实上，我们也可以转化为

，为一个商型的递推关系，

由

=

得，下面易求证。

每周一计第二计——由递推关系求数列通项公式

给定初始条件和递推关系是确定数列的一种方法，这类问题是近年来高考中的重点、热点问题。

2.形如an+1-an=f（n）型

（1）若f（n）为常数,即：

an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+（n-1）d.

（2）若f（n）为n的函数时，用迭加法.

例1.已知数列{an}满足

证明

证明：

由已知得：

an-an-1=3n-1，故

an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+···+（a2-a1）+a1=

.

练一练1：

已知数列{an}满足

，

，求此数列的通项公式.2.形如型（答案：

）

（1）当f（n）为常数，即：

（q≠0），此时数列为等比数列，

=

.

（2）当f（n）为n的函数时,用累乘法.

例2.设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）a2n+1-na2n+an+1an=0（n=1,2,3,…），则它的通项公式是an=________.

解：

已知等式可化为：

（an+1+an）[（n+1）an+1-nan]=0

（

）

（n+1）

即

时，

=

=

.

评注：

本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出an.

练一练2:

已知an+1=nan+n-1，a1>-1,求数列{an}的通项公式.（

-1.）

3.形如an+1=can+d（c≠0且c≠1,d≠0其中a1=a）型

用待定系数法构造辅助数列.

规律：

将递推关系

化为

构造成公比为c的等比数列

从而求得通项公式

例3．已知数列{an}中，

求通项

.

分析：

两边直接加上

构造新的等比数列。

解：

由

得

所以数列

构成以

为首项，以

为公比的等比数列

所以

即

.

4．形如an+1=pan+f（n）型

（1）若

（其中k,b是常数，且

）用构造法

例4．在数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n求通项an.

解：

设an+1+p（n+1）+d=3（an+pn+d）则an+1=3an+2pn+2d-p

an+1=3an+2n∴2p=22d-p=0则p=1,d=

令cn=an+n+

则cn+1=3cn，{cn}是等比数列，公比为3

∵c1=

则

∴

练一练3：

在数列{an}中，

2an-an-1=6n-3求通项an.（

.）

（2）若f（n）=qn（其中q是常数，p≠1且n≠0,1）

）.两边同除以pn+1.即：

令

，则

变型为类型1，累加求通项.

）.两边同除以qn+1.即：

令

则可化为

.然后转化为类型3来解，

（

）.待定系数法：

设an+1+λqn+1=p（an+λqn）.则an+1=pan+λ（p-q）qn），，令

则cn+1=pcn{cn}是等比数列，可求{cn}通项。

例5.设a0为常数，且an=3n-1-2an-1．求通项an.

解：

设an+λ·3n=-2（an-1+λ·3n-1）,即:

an=-2an-1-5λ·3n-1,

比较系数得：

所以

所以

所以数列

是公比为－2，首项为