高等代数北大版课件7.3线性变换的矩阵.ppt
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高等代数北大版课件7.3线性变换的矩阵.ppt
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2线性变换的运算,3线性变换的矩阵,4特征值与特征向量,1线性变换的定义,6线性变换的值域与核,8若当标准形简介,9最小多项式,7不变子空间,小结与习题,第七章线性变换,5对角矩阵,7.3线性变换的矩阵,一、线性变换与基,二、线性变换与矩阵,7.3线性变换的矩阵,三、相似矩阵,7.3线性变换的矩阵,一、线性变换与基,的线性变换.则对任意存在唯一的一组数,1设是线性空间V的一组基,为V,使,从而,,由此知,由完全确定.,一组基在下的象即可.,所以要求V中任一向量在下的象,只需求出V的,7.3线性变换的矩阵,2设是线性空间V的一组基,为,V的线性变换,若,则,由已知,即得,由此知,一个线性变换完全由它在一组基上的作,用所决定.,证:
对,7.3线性变换的矩阵,证:
定义,3设是线性空间V的一组基,对V中,易知为V的一个变换,下证它是线性的.,任取设,7.3线性变换的矩阵,则,于是,为V的线性变换.,又,7.3线性变换的矩阵,由2与3即得,定理1设为线性空间V的一组基,,对V中任意n个向量存在唯一的线性,变换使,7.3线性变换的矩阵,设为数域P上线性空间V的一组基,,为V的线性变换.基向量的象可以被基线性表出,设,用矩阵表示即为,二、线性变换与矩阵,1线性变换的矩阵,7.3线性变换的矩阵,其中,单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵;,零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵;,A的第i列是在基下的坐标,,矩阵A称为线性变换在基下的矩阵.,注:
它是唯一的.故在取定一组基下的矩阵是唯一的.,数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵;,7.3线性变换的矩阵,例1.设线性空间的线性变换为,求在标准基下的矩阵.,解:
7.3线性变换的矩阵,例2.设为n维线性空间V的子空,间W的一组基,把它扩充为V的一组基:
并定义线性变换:
则,称这样的变换为对子空间W的一个投影.,易验证,7.3线性变换的矩阵,2线性变换运算与矩阵运算,定理2设为数域P上线性空间V的一组,的唯一一个矩阵对应,且具有以下性质:
基,在这组基下,V的每一个线性变换都与中,线性变换的和对应于矩阵的和;,线性变换的乘积对应于矩阵的乘积;,线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积;,可逆线性变换与可逆矩阵对应,且逆变换对应,于逆矩阵.,7.3线性变换的矩阵,证:
设为两个线性变换,它们在基,下的矩阵分别为A、B,即,在基下的矩阵为AB.,7.3线性变换的矩阵,在基下的矩阵为AB.,在基下的矩阵为,7.3线性变换的矩阵,由于单位变换(恒等变换)对应于单位矩阵E.,相对应.,因此,可逆线性变换与可逆矩阵A对应,且,所以,,与ABBAE,逆变换对应于逆矩阵,7.3线性变换的矩阵,注:
事实上,任意取定V的一组基后,,对任意,定义:
这里A为在基下的矩阵.,则就是到的一个同构映射.,7.3线性变换的矩阵,3线性变换矩阵与向量在线性变换下的象,定理3设线性变换在基下的矩阵为A,在基下的坐标为,在基下的坐标为,则有,7.3线性变换的矩阵,证:
由已知有,7.3线性变换的矩阵,又,由于线性无关,所以,7.3线性变换的矩阵,4同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系,下的矩阵分别为A、B,且从基()到基()的过渡,矩阵矩阵是X,则,(),(),定理4设线性空间V的线性变换在两组基,7.3线性变换的矩阵,证:
由已知,有,于是,,由此即得,7.3线性变换的矩阵,三、相似矩阵,1定义,设A、B为数域P上的两个n级矩阵,若存在可逆,矩阵使得,则称矩阵A相似于B,记为,7.3线性变换的矩阵,
(1)相似是一个等价关系,即满足如下三条性质:
反身性:
对称性:
2基本性质,传递性:
7.3线性变换的矩阵,
(2),定理5线性变换在不同基下的矩阵是相似的;,同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.,反过来,如果两个矩阵相似,那么它们可以看作,证:
前一部分显然成立.下证后一部分.,设且A是线性变换在基下的矩阵.,显然,也是一组基,,矩阵就是B.,且在这组基下的,7.3线性变换的矩阵,(3)相似矩阵的运算性质,若则,即,,特别地,,若则,7.3线性变换的矩阵,例3.设为线性空间V一组基,线性变换在,这组基下的矩阵为,为V的另一组基,且,
(1)求在下的矩阵B.,
(2)求,7.3线性变换的矩阵,解:
(1)由定理4,在基下的矩阵,
(2)由有,于是,7.3线性变换的矩阵,例4.在线性空间中,线性变换定义如下:
(1)求在标准基下的矩阵.,
(2)求在下的矩阵.,7.3线性变换的矩阵,解:
(1)由已知,有,设在标准基下的矩阵为A,即,7.3线性变换的矩阵,因而,,7.3线性变换的矩阵,
(2)设在下的矩阵为B,则A与B相似,且,
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- 高等 代数 北大 课件 7.3 线性变换 矩阵