高等代数北大版课件7.1线性变换的定义.ppt
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高等代数北大版课件7.1线性变换的定义.ppt
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2线性变换的运算,3线性变换的矩阵,4特征值与特征向量,1线性变换的定义,6线性变换的值域与核,8若当标准形简介,9最小多项式,7不变子空间,小结与习题,第七章线性变换,5对角矩阵,7.1线性变换的定义,一、线性变换的定义,二、线性变换的简单性质,7.1线性变换的定义,7.1线性变换的定义,引入,在讨论线性空间的同构时,我们考虑的是一种,保持向量的加法和数量乘法的一一对应.我们常称,线性变换.,映射.本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射,两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性,7.1线性变换的定义,一、线性变换的定义,设V为数域P上的线性空间,若变换,满足:
则称为线性空间V上的线性变换.,7.1线性变换的定义,注:
几个特殊线性变换,由数k决定的数乘变换:
事实上,,单位变换(恒等变换):
零变换:
7.1线性变换的定义,例1.(实数域上二维向量空间),把V中每,一向量绕坐标原点旋转角,就是一个线性变换,,这里,,易验证:
7.1线性变换的定义,例2为一固定非零向量,把V中每,一个向量变成它在上的内射影是V上的一个线,性变换.用表示,即,这里表示内积.,易验证:
7.1线性变换的定义,例3上的求微商是一个线性变换,,用D表示,即,例4.闭区间上的全体连续函数构成的线性空间,是一个线性变换.,上的变换,7.1线性变换的定义,1为V的线性变换,则,2线性变换保持线性组合及关系式不变,即,若,则,3线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关,二、线性变换的简单性质,的向量组.即,7.1线性变换的定义,若线性相关,则,也线性相关.,事实上,若有不全为零的数使,则由2即有,,线性相关的向量组.如零变换.,事实上,线性变换可能把线性无关的向量组变成,注意:
3的逆不成立,即,线性相关,未必线性相关.,7.1线性变换的定义,练习:
下列变换中,哪些是线性变换?
2在中,,1在中,,5复数域C看成是自身上的线性空间,,6C看成是实数域R上的线性空间,,
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