高等代数北大版课件6.7子空间的直和.ppt
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高等代数北大版课件6.7子空间的直和.ppt
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2线性空间的定义与简单性质,3维数基与坐标,4基变换与坐标变换,1集合映射,5线性子空间,7子空间的直和,8线性空间的同构,6子空间的交与和,小结与习题,第六章线性空间,6.7子空间的直和,6.7子空间的直和,一、直和的定义,二、直和的判定,三、多个子空间的直和,6.7子空间的直和,引入,有两种情形:
此时,即,必含非零向量.,6.7子空间的直和,情形2)是子空间的和的一种特殊情况,此时,不含非零向量,即,6.7子空间的直和,一、直和的定义,设为线性空间V的两个子空间,若和,是唯一的,和就称为直和,记作,注:
若有,则,分解式唯一的,意即,中每个向量的分解式,6.7子空间的直和,分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中,都成立.,例如,R3的子空间,这里,,在和中,向量的分解式不唯一,如,所以和不是直和.,6.7子空间的直和,而在和中,向量(2,2,2)的分解式是唯一的,,事实上,对,故是直和.,都只有唯一分解式:
6.7子空间的直和,二、直和的判定,分解式唯一,即若,1、(定理8)和是直和的充要条件是零向量,则必有,证:
必要性.,是直和,的分解式唯一.,而0有分解式,6.7子空间的直和,充分性.,故是直和.,设,它有两个分解式,有,其中,于是,由零向量分解成唯一,且,即,的分解式唯一.,6.7子空间的直和,2、和是直和,则有,“”任取,证:
“”若,于是零向量可表成,由于是直和,零向量分解式唯一,,故,6.7子空间的直和,证:
由维数公式,3、和是直和,有,,6.7子空间的直和,总之,设为线性空间V的子空间,则下面,四个条件等价:
2)零向量分解式唯一,1)是直和,3),4),4、(定理10)设U是线性空间V的一个子空间,,称这样的W为U的一个余子空间.,则必存在一个子空间W,使,6.7子空间的直和,证:
取U的一组基,把它扩充为V的一组基,则,余子空间一般不是唯一的(除非U是平凡子空间).,注意:
如,在R3中,设,6.7子空间的直和,5、设分别是线性子空间,的一组基,则,证:
由题设,,若线性无关,,则它是的一组基.,从而有,6.7子空间的直和,反之,若直和,则,从而的秩为rs.,所以线性无关.,是直和.,6.7子空间的直和,1、定义,中每个向量的分解式,都是线性空间V的子空间,若和,是唯一的,则和就称为直和,记作,6.7子空间的直和,四个条件等价:
2)零向量分解式唯一,即,3),4),2、判定,设都是线性空间V的子空间,则下面,1)是直和,6.7子空间的直和,例1、每一个n维线性空间都可以表示成n个一维,子空间的直和.,证:
设是n维线性空间V的一组基,则,而,6.7子空间的直和,例,2、已知,设,2)当时,,证:
1),是的子空间.,证明:
1)是的子空间.,6.7子空间的直和,从而有,故是的子空间.,下证是的子空间.,6.7子空间的直和,又,2)先证,任取,其中,再证,又是的子空间,,6.7子空间的直和,任取,从而,所以,6.7子空间的直和,练习1设V1、V2分别是齐次线性方程组与的,证:
解齐次线性方程组,得其一个基础解系,解空间:
证明:
6.7子空间的直和,再解齐次线性方程组.,由,即,得的一个基础解系,考虑向量组,6.7子空间的直和,由于,线性无关,即它为Pn的一组基.,又,6.7子空间的直和,2、和是直和,证:
则,练习:
6.7子空间的直和,则零向量还有一个分解式,(*),在(*)式中,设最后一个不为0的向量是,则(*)式变为,这时,,所以,是直和.,
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- 高等 代数 北大 课件 6.7 空间