奇函数专题训练试题精选三附答案.docx
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奇函数专题训练试题精选三附答案
奇函数专题训练试题精选(三)
一.填空题(共30小题)
1.(2011?
资中县模拟)已知定义在
R上的函数y=f(x)满足条件f(x+)=﹣f(x),且函数y=f(x﹣)是奇函
数,给出以下四个命题:
①函数f(x)是周期函数;
②函数f(x)的图象关于点(﹣
,0)对称;
③函数f(x)是偶函数;
④函数f(x)在R上是单调函数.
在上述四个命题中,正确命题的序号是
_________
(写出所有正确命题的序号)
2.(2011?
东城区二模)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(﹣1)=2,那么f(0)+f
(1)=
_________.
3.(2011?
聊城一模)现有下面四个命题:
①曲线y=﹣x2
+2x+4在点(1,5)处的切线的倾斜角为
45°;
②已知直线l,m,平面α,β,若l⊥α,m?
β,l⊥m,则α∥β;
③设函数f(x)=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0),若f
(1)=0,
则f(x+1)一定是奇函数;
④如果点P到点
及直线
的距离相等,那么满足条件的点
P有且只有
1个.
其中正确命题的序号是
_________
.(写出所有正确命题的序号)
4.(2010?
江苏模拟)设
是奇函数,
则a+b的取值范围是
_________
.
5.(2010?
雅安三模)已知
f(x)=
+a为奇函数.
(1)求a的值;
(2)求函数的单调区间.
6.(2010?
平顶山二模)已知
0<φ<π,f(x)=xsin(x+φ)是奇函数,则φ=
_________
.
7.(2007?
湖南模拟)设
f(x)(x∈R)是以3为周期的周期函数,且为奇函数,又
f
(1)>1,f
(2)=a,那么a
的取值范围是
_________
.
8.(2005?
金山区一模)定义在
R上的函数f(x)是奇函数,则f(0)的值为
_________
.
9.已知函数
x
﹣2
﹣x
lga是奇函数,则a的值等于_________.
f(x)=2
10.函数f(x)为奇函数,且
,则当x<0,f(x)=_________
.
11.函数为奇函数,则实数a=_________.
12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其最小正周期为3,且,f(x)=log2(﹣3x+1),
则f(2011)=_________.
13.已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足(f2+x)=f(2﹣x),当﹣2≤x<0时,(fx)=2x,若,
则a2012=_________.
14.设f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=,则当x<0时,f(x)=_________.
15.(文科做)对于函数的这个性质:
①奇函数;②偶函数;③增函数;④减函数,函数
具有的性质的序号是_________.(把具有的性质的序号都填上)
16.已知定义在R上的奇函数f(x),满足,且f
(1)=1,则f(2006)=_________.
17.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x﹣4)=﹣f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则f(﹣25),f(80),f(11)的大小顺序是
_________.
18.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,,则f(﹣2+log35)=_________.
19.若f(x)在[﹣3,3]上为奇函数,且f(3)=﹣2,则f(﹣3)+f(0)=_________.
x+1
20.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2
21.已知函数f(x)是定义在[﹣e,0)∪(0,e]上的奇函数,当e]时,f(x)=_________.
+2x+b(b为常数),则f(﹣1)=_________.
x∈[﹣e,0)时,f(x)=ax+ln(﹣x),则当x∈(0,
22.已知函数f(x)是定义在R上周期为6的奇函数,且f(﹣1)=﹣1,则f(5)=_________.
23.函数f(x)是定义在R上的奇函数,且,则f
(1)+f
(2)+⋯+f(2009)=_________.
24.下列结论中:
(1)定义在R上的函数f(x)在区间(﹣∞,0]上是增函数,在区间[0,+∞)也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数;
(2)若f
(2)=f(﹣2),则函数f(x)不是奇函数;
(3)函数y=x﹣0.5(4)是(0,1)上的减函数;
(4)对应法则和值域相同的函数的定义域也相同;
(5)若x0是函数y=f(x)的零点,且m<x0<n,则f(m)f(n)<0一定成立;
写出上述所有正确结论的序号:
_________.
25.若函数f(x)=是奇函数,则函数g(x)的解析式是_________.
2
26.设f(x)是以5为周期的奇函数,
f(﹣3)
2
.
=1,又tanα=3,则f(secα﹣2)=_________
27.设f(x)是R上以2为周期的奇函数,已知当
x∈(0,1)时,f(x)=log2x,那么f(x)在(1,2)上的解析
式是
_________
28.若是奇函数,则a的值为_________.
29.函数f(x)=ax+bsinx+1,若f(5)=7,则f(﹣5)=_________.
30.y=f(x)为奇函数,当x>0时f(x)=x(1﹣x),则当x<0时,f(x)=_________.
3
奇函数专题训练试题精选(三)
参考答案与试题解析
一.填空题(共30小题)
1.(2011?
资中县模拟)已知定义在
R上的函数y=f(x)满足条件f(x+
)=﹣f(x),且函数y=f(x﹣)是奇函
数,给出以下四个命题:
①函数f(x)是周期函数;
②函数f(x)的图象关于点(﹣
,0)对称;
③函数f(x)是偶函数;
④函数f(x)在R上是单调函数.
在上述四个命题中,正确命题的序号是
①②③(写出所有正确命题的序号)
考点:
奇函数;奇偶函数图象的对称性;函数的周期性.
专题:
压轴题;存在型.
分析:
题目中条件:
f(x+
)=﹣f(x)可得f(x+3)=f(x)知其周期,利用奇函数图象的对称性,及函数图象
的平移变换,可得函数的对称中心,结合这些条件可探讨函数的奇偶性,及单调性.
解答:
解:
对于①:
∵f(x+3)=﹣f(x+
)=f(x)∴函数f(x)是周期函数且其周期为
3.①对
对于②:
∵y=f(x﹣)是奇函数∴其图象关于原点对称
又∵函数f(x)的图象是由
y=f(x﹣)向左平移个单位长度得到.
∴函数f(x)的图象关于点(﹣
,0)对称,故②对.
对于③:
由②知,对于任意的
x∈R,都有f(﹣﹣x)=﹣f(
x),用
换x,可得:
f(﹣﹣x)+f
(x)=0
∴f(﹣﹣x)=﹣f(x)=f(x+)对于任意的x∈R都成立.
令t=+x,则f(﹣t)=f(t),∴函数f(x)是偶函数,③对.
对于④:
∵偶函数的图象关于y轴对称,∴f(x)在R上不是单调函数,④不对.
故答案为:
①②③.
点评:
本题考查函数的奇偶性、周期性等,抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的,它虽然没有具体的
表达式,但是有一定的对应法则,满足一定的性质,这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键.是中档题.
2.(2011?
东城区二模)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(﹣1)=2,那么f(0)+f
(1)=﹣2.
考点:
奇函数.
专题:
计算题.
分析:
根据奇函数的性质,f(﹣x)=﹣f(x)直接求得f(0)与f
(1)的值,即可求出所求.
解答:
解:
因为函数f(x)是R上的奇函数.
4
所以f(﹣x)=﹣f(x)
f
(1)=﹣f(﹣1)=﹣2,f(﹣0)=﹣f(0)即f(0)=0
∴f(0)+f
(1)=﹣2
故答案为:
﹣2.
点评:
本题主要考查了奇函数的基本性质,以及奇函数的定义,属于基础题.
3.(2011?
聊城一模)现有下面四个命题:
①曲线y=﹣x2
+2x+4在点(1,5)处的切线的倾斜角为
45°;
②已知直线l,m,平面α,β,若l⊥α,m?
β,l⊥m,则α∥β;
③设函数f(x)=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0),若f
(1)=0,
则f(x+1)一定是奇函数;
④如果点P到点
及直线
的距离相等,那么满足条件的点
P有且只有1个.
其中正确命题的序号是
③④.(写出所有正确命题的序号)
考点:
奇函数;两条直线的交点坐标.
专题:
阅读型.
分析:
①曲线y=﹣x2
+2x+4在点(1,5)处的切线的倾斜角为45°,求出切点处的导数值,进行验证;
②已知直线l,m,平面α,β,若l⊥α,m?
β,l⊥m,则α∥β,由面面位置关系进行判断;
③设函数f(x)=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0),若f
(1)=0,则f(x+1)一定是奇函数,求出两参数
ω,
φ的关系,整理解析式,观察既得;
④如果点P到点
及直线
的距离相等,那么满足条件的点
P有且只有
1个,
由两直线的交点个数研究即可.
2
45°.是错误命题,因为
y′=﹣2x+2,在点(1,
解答:
解:
①曲线y=﹣x+2x+4在点(1,5)处的切线的倾斜角为
5)处的导数值为
0,故倾斜角不是
45°;
②已知直线l,m,平面α,β,若l⊥α,m?
β,l⊥m,则α∥β是错误命题,在题设中的条件下,两平面可以是
相交的;
③设函数f(x)=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0),若f
(1)=0,则f(x+1)一定是奇函数,是正确命题,由
f
(1)=0,得出ω+φ=0,函数解析式可变为
f(x)=Asinω(x﹣1),左移一个单位可得到
f(x)=Asinωx
是一个奇函数;
④如果点P到点
及直线
的距离相等,那么满足条件的点
P有且只有
1个,
是正确命题,作出两点的垂直平分线
y=1,与直线
相交,故满足条件的点只有一个.
综上③④是正确命题
故答案为③④
点评:
本题考查奇函数,函数图象的变换,导数的几何意义等内容,解答本题的关键是对本题中命题所涉及到的相关知识点都比较熟悉,方能避免误判.本题是考查双基的题.
4.(2010?
江苏模拟)设是奇函数,
则a+b的取值范围是.
考点:
奇函数.
专题:
计算题.
分析:
由题意和奇函数的定义f(﹣x)=﹣f(x)求出a的值,再由对数的真数大于零求出函数的定义域,则所给
的区间应是定义域的子集,求出b的范围进而求出a+b的范围.
5
解答:
解:
∵定义在区间(﹣b,b)内的函数f(x)=
是奇函数,
∴任x∈(﹣b,b),f(﹣x)=﹣f(x),即
=﹣
,
∴
=
,则有
,
即1﹣a2x2=1﹣4x2,解得a=±2,
又∵a≠2,∴a=﹣2;则函数f(x)=,
要使函数有意义,则>0,即(1+2x)(1﹣2x)>0
解得:
﹣<x<,即函数f(x)的定义域为:
(﹣,),
∴(﹣b,b)?
(﹣,),∴0<b≤
∴﹣2<a+b≤﹣,即所求的范围是;
故答案为:
.
点评:
本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域,利用子集关系求出b的范围,考查了学生的运算能力
和对定义的运用能力.
5.(2010?
雅安三模)已知f(x)=+a为奇函数.
(1)求a的值;
(2)求函数的单调区间.
考点:
奇函数.
专题:
计算题.
分析:
(1)先由奇函数建立等式,求a,
(2)严格按照单调性定义,使得函数增函数的区间是增区间,使得函数是减函数的是减区间.
解答:
解:
(1)∵f(﹣x)==﹣1+a﹣=﹣1+2a﹣f(x),
由f(﹣x)=﹣f(x),
得﹣1+2a=0.
∴a=.
(2)对于任意x1≠0,x2≠0,且x1<x2.
f(x1)﹣f(x2)=.
当x1<x2<0时,<,<1,<1
∴f(x1)﹣f(x2)>0;
当0<x1<x2时,>,>1,>1.
∴f(x1)﹣f(x2)>0.
∴函数的单调递减区间为(﹣∞,0),(0,+∞).
6
点评:
本题考查函数的奇偶性、单调性及运算能力.主要是利用和巩固奇偶函数的定义、单调函数的定义.
6.(2010?
平顶山二模)已知0<φ<π,f(x)=xsin(x+φ)是奇函数,则φ=.
考点:
奇函数.
专题:
计算题.
分析:
根据f(x)=xsin(x+φ)是奇函数,则f(﹣x)=﹣f(x)对于任意x恒成立,然后利用两角和与差的正弦
公式展开,得到2xcosφsinx=0对于任意x成立,则cosφ=0,解之即可,注意φ的范围.解答:
解:
∵f(x)=xsin(x+φ)是奇函数
∴f(﹣x)=﹣xsin(﹣x+φ)=﹣xsinφcosx+xcosφsinx=﹣f(x)=﹣xsinxcosφ﹣xcosxsinφ
即2xcosφsinx=0对于任意x成立,则cosφ=0
而0<φ<π∴φ=
故答案为:
点评:
本题主要考查了两角和与差的正弦公式,奇函数的性质,属于对基础知识的综合考查,试题较易.
7.(2007?
湖南模拟)设f(x)(x∈R)是以3为周期的周期函数,且为奇函数,又f
(1)>1,f
(2)=a,那么a
的取值范围是a<﹣1.
考点:
奇函数;函数的周期性.
专题:
计算题.
分析:
据函数的周期性判断出f(﹣1)=f
(2),利用函数为奇函数得到f(﹣1)=﹣f
(1),利用等式的传递性得
到f
(2)=﹣f
(1),代入已知不等式求出a的范围.
解答:
解:
∵f(x)(x∈R)是以3为周期的周期函数
∴f(﹣1)=f
(2)
∵为奇函数
∴f(﹣1)=﹣f
(1)
∴f
(2)=﹣f
(1)
∵f
(1)>1
∴f
(2)<﹣1
∵f
(2)=a
∴a<﹣1
故答案为a<﹣1
点评:
解决函数的性质有关的题目,关键是利用性质的定义,将题中的条件联系起来,注意奇函数在x=0处的函
数值为0是一道综合题.
8.(2005?
金山区一模)定义在R上的函数f(x)是奇函数,则f(0)的值为0.
考点:
奇函数.
专题:
计算题.
分析:
由定义在R上的函数f(x)是奇函数,知f(0)=f(﹣0)=﹣f(0),故f(0)=0.
解答:
解:
∵定义在R上的函数f(x)是奇函数,
∴f(0)存在,
∴f(0)=f(﹣0)=﹣f(0),
∴f(0)=0.
故答案为:
0.
7
﹣x﹣lga(2x+2
lga是奇函数
点评:
本题考查奇函数的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.
9.已知函数
x
﹣2
﹣x
a的值等于10.
f(x)=2
lga是奇函数,则
考点:
奇函数.
专题:
计算题.
分析:
由题设条件可知,可由函数是奇函数,建立方程
解答:
解:
函数f(x)=2x﹣2﹣x∴f(x)+f(﹣x)=0,
x﹣x﹣xxx
∴2﹣2lga+2﹣2lga=0,即2+2∴lga=1
∴a=10
f(x)+f(﹣x)=0,由此方程求出a的值
﹣x)=0
故答案为:
10.
点评:
本题考查奇函数,解题的关键是熟练掌握奇函数的定义,由定义得出方程f(x)+f(﹣x)=0,由此方程求出参数的值.
10.函数f(x)为奇函数,且,则当x<0,f(x)=.
考点:
奇函数.
专题:
计算题;转化思想.
分析:
先设x<0,则﹣x>0,再利用题意求出f(﹣x),再由奇函数的定义求出f(x)的表达式.
解答:
解:
设x<0,则﹣x>0,
∵,∴,
∵函数f(x)为奇函数,
∴f(x)=﹣f(﹣x)=,
故答案为:
.
点评:
本题考查了利用函数奇偶性求函数的解析式,即求谁设谁,利用负号转化到已知范围内,求出f(﹣x)的
关系式,再利用奇函数的关系式求出f(x)的表达式,考查了转化思想.
11.函数为奇函数,则实数a=﹣1.
考点:
奇函数;对数的运算性质.
专题:
计算题.
分析:
根据奇函数的性质f(0)=0代入可得,lg(a+2)=0解方程可求a
解答:
解:
根据题意可得,使得函数有意义的条件:
根据奇函数的性质可得f(0)=0
所以,lg(a+2)=0
a=﹣1满足函数的定义域
故答案为:
﹣1
点评:
本题主要考查了奇函数的性质的应用,解决本题可以利用奇函数的定义,使得f(﹣x)=﹣f(x)对于定义
域内的任意的x都成立,也可利用奇函数的性质f(0)=0(定义域内有0),而利用性质解题可以简化运算.
8
12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其最小正周期为3,且,f(x)=log2(﹣3x+1),
则f(2011)=﹣2.
考点:
奇函数;函数的周期性.
专题:
计算题;转化思想.
分析:
利用函数的周期性和奇偶性,f(2011)=f(3×670+1)=f
(1)=﹣f(﹣1),代入已知的等式运算.
解答:
解:
由题意可得f(2011)=f(3×670+1)=f
(1)=﹣f(﹣1)=﹣log2(3+1)=﹣2,
故答案为﹣2.
点评:
本题考查函数的周期性和奇偶性,求函数的值,把f(2011)化简为﹣f(﹣1)是解题的关键.
13.已知定义在R上的奇函数y=f(x)满足(f2+x)=f(2﹣x),当﹣2≤x<0时,(fx)=2x,若
,
则a2012
=0.
考点:
奇函数;数列的函数特性;等比数列的通项公式.
专题:
函数的性质及应用.
分析:
根据定义在R上的奇函数又关于某直线
x=a≠0对称,则它又是周期函数,可求得函数
f(x)的周期是
8,
进而得到答案.
解答:
解:
∵f(2+x)=f(2﹣x),以2+x代替上式中的x得f(4+x)=f(﹣x),
又函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),f(0)=0,
∴f(4+x)=f(﹣x)=﹣f(x),
再
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