专题23平行四边形解析版.docx
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专题23平行四边形解析版
专题23平行四边形问题
1.平行四边形定义
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“□ABCD”表示,读作“平行四边形ABCD”。
2.平行四边形的性质
(1)平行四边形的对边平行且相等;
(2)平行四边形的对角相等;
(3)平行四边形的对角线互相平分。
3.平行四边形的判定
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形;
(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
4.平行四边形的面积:
S平行四边形=底边长×高=ah
【例题1】(2020•温州)如图,在△ABC中,∠A=40°,AB=AC,点D在AC边上,以CB,CD为边作▱BCDE,则∠E的度数为( )
A.40°B.50°C.60°D.70°
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C,再根据平行四边形的性质可求∠E.
【解析】∵在△ABC中,∠A=40°,AB=AC,
∴∠C=(180°﹣40°)÷2=70°,
∵四边形BCDE是平行四边形,
∴∠E=70°.
【对点练习】(2019•山东临沂)如图,在平行四边形ABCD中,M、N是BD上两点,BM=DN,连接AM、MC、CN、NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是( )
A.OM=
ACB.MB=MOC.BD⊥ACD.∠AMB=∠CND
【答案】A
【解析】由平行四边形的性质可知:
OA=OC,OB=OD,再证明OM=ON即可证明四边形AMCN是平行四边形.
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN,
∴OB﹣BM=OD﹣DN,即OM=ON,
∴四边形AMCN是平行四边形,
∵OM=
AC,
∴MN=AC,
∴四边形AMCN是矩形.
【例题2】(2020•凉山州)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE∥AB交AD于点E,若OA=1,△AOE的周长等于5,则▱ABCD的周长等于 16 .
【答案】16.
【解析】由平行四边形的性质得AB=CD,AD=BC,OB=OD,证OE是△ABD的中位线,则AB=2OE,AD=2AE,求出AE+OE=4,则AB+AD=2AE+2OE=8,即可得出答案.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,OB=OD,
∵OE∥AB,
∴OE是△ABD的中位线,
∴AB=2OE,AD=2AE,
∵△AOE的周长等于5,
∴OA+AE+OE=5,
∴AE+OE=5﹣OA=5﹣1=4,
∴AB+AD=2AE+2OE=8,
∴▱ABCD的周长=2×(AB+AD)=2×8=16;
【对点练习】(2019•湖北武汉)如图所示,在▱ABCD中,E.F是对角线AC上两点,AE=EF=CD,∠ADF=90°,∠BCD=63°,则∠ADE的大小为 .
【答案】21°.
【解析】设∠ADE=x,
∵AE=EF,∠ADF=90°,
∴∠DAE=∠ADE=x,DE=
AF=AE=EF,
∵AE=EF=CD,
∴DE=CD,
∴∠DCE=∠DEC=2x,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠BCA=x,
∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCA=63°﹣x,
∴2x=63°﹣x,
解得:
x=21°,
即∠ADE=21°。
【例题3】(2020•扬州)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O作EF⊥AC,分别交AB、DC于点E、F,连接AF、CE.
(1)若OE
,求EF的长;
(2)判断四边形AECF的形状,并说明理由.
【答案】见解析。
【分析】
(1)判定△AOE≌△COF(ASA),即可得OE=OF
,进而得出EF的长;
(2)先判定四边形AECF是平行四边形,再根据EF⊥AC,即可得到四边形AECF是菱形.
【解析】
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AO=CO,
∴∠FCO=∠EAO,
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF
,
∴EF=2OE=3;
(2)四边形AECF是菱形,
理由:
∵△AOE≌△COF,
∴AE=CF,
又∵AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形,
又∵EF⊥AC,
∴四边形AECF是菱形.
【对点练习】(湖南省永州市)如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:
BE=CD.
(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.
【答案】见解析。
【解析】
(1)证明:
∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AD∥BE,∴∠DAE=∠AEB.又AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠AEB.∴BE=AB
.又AB=CD,∴BE=CD.
(2)∵BE=AB,BF⊥AE,∴AF=EF,∵AD∥BE,∴∠D=∠DCE,∠DAF=∠FEC,
∴△ADF≌△ECF(AAS).∴S平行四边形ABCD=S△ABE.∵BE=AB,∠BEA=60°,
∴△ABE为等边三角形.
∴S△ABE=
AE·BF=
×4×4sin60°=
×4×4×
=
.
∴S平行四边形ABCD=
.
一、选择题
1.(2020•衡阳)如图,在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB∥DC,AD∥BCB.AB=DC,AD=BC
C.AB∥DC,AD=BCD.OA=OC,OB=OD
【答案】C
【分析】根据平行四边形的定义,可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形;根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形;根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形;选项C中的条件,无法判断四边形ABCD是平行四边形.
【解析】∵AB∥DC,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形;
∵AB=DC,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形;
∵AB∥DC,AD=BC,则无法判断四边形ABCD是平行四边形,故选项C中的条件,不能判断四边形ABCD是平行四边形;
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形.
2.(2020•临沂)如图所示,P是面积为S的▱ABCD内任意一点,△PAD的面积为S1,△PBC的面积为S2,则( )
A.S1+S2
B.S1+S2
C.S1+S2
D.S1+S2的大小与P点位置有关
【答案】C
【分析】根据题意,作出合适的辅助线,然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积,即可得到S和S1、S2之间的关系,本题得以解决.
【解析】过点P作EF⊥AD交AD于点E,交BC于点F,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,
∴S=BC•EF,
,
,
∵EF=PE+PF,AD=BC,
∴S1+S2
3.(2020•陕西)如图,在▱ABCD中,AB=5,BC=8.E是边BC的中点,F是▱ABCD内一点,且∠BFC=90°.连接AF并延长,交CD于点G.若EF∥AB,则DG的长为( )
A.
B.
C.3D.2
【答案】D
【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质,即可得到EF的长,再根据梯形中位线定理,即可得到CG的长,进而得出DG的长.
【解析】∵E是边BC的中点,且∠BFC=90°,
∴Rt△BCF中,EF
BC=4,
∵EF∥AB,AB∥CG,E是边BC的中点,
∴F是AG的中点,
∴EF是梯形ABCG的中位线,
∴CG=2EF﹣AB=3,
又∵CD=AB=5,
∴DG=5﹣3=2
4.(2019▪广西池河)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,点F在DE延长线上,添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件是( )
A.∠B=∠FB.∠B=∠BCFC.AC=CFD.AD=CF
【答案】B.
【解析】利用三角形中位线定理得到DE
AC,结合平行四边形的判定定理进行选择.
∵在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE
AC.
A.根据∠B=∠F不能判定AC∥DF,即不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项错误.
B.根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB,即CF∥AD,由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形,故本选项正确.
C.根据AC=CF不能判定AC∥DF,即不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项错误.
D.根据AD=CF,FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项错误.
二、填空题
5.(2020•武汉)在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中,有下面的问题:
如图,AC是▱ABCD的对角线,点E在AC上,AD=AE=BE,∠D=102°,则∠BAC的大小是 .
【答案】26°.
【解析】根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=102°,AD=BC,根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠EBA,∠BEC=∠ECB,根据三角形外角的性质得到∠ACB=2∠CAB,由三角形的内角和定理即可得到结论.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠D=102°,AD=BC,
∵AD=AE=BE,
∴BC=AE=BE,
∴∠EAB=∠EBA,∠BEC=∠ECB,
∵∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB,
∴∠ACB=2∠CAB,
∴∠CAB+∠ACB=3∠CAB=180°﹣∠ABC=180°﹣102°,
∴∠BAC=26°
6.(2020•天津)如图,▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上,点E在AB的延长线上,G为DE的中点,连接CG.若AD=3,AB=CF=2,则CG的长为 .
【答案】
.
【解析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质,可以得到BF和BE的长,然后可以证明△DCG和△EHG全等,然后即可得到CG的长.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,CD=AB,DC∥AB,
∵AD=3,AB=CF=2,
∴CD=2,BC=3,
∴BF=BC+CF=5,
∵△BEF是等边三角形,G为DE的中点,
∴BF=BE=5,DG=EG,
延长CG交BE于点H,
∵DC∥AB,
∴∠CDG=∠HEG,
在△DCG和△EHG中,
,
∴△DCG≌△EHG(ASA),
∴DC=EH,CG=HG,
∵CD=2,BE=5,
∴HE=2,BH=3,
∵∠CBH=60°,BC=BH=3,
∴△CBH是等边三角形,
∴CH=BC=3,
∴CG
CH
7.(2019湖南娄底)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,点E是AD的中点,△BCD的周长为18,则△DEO的周长是 .
【答案】9.
【解析】∵E为AD中点,四边形ABCD是平行四边形,
∴DE=
AD=
BC,DO=
BD,AO=CO,
∴OE=
CD,
∵△BCD的周长为
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