电磁学部分习题解答.docx
- 文档编号:3582057
- 上传时间:2022-11-24
- 格式:DOCX
- 页数:31
- 大小:24.10KB
电磁学部分习题解答.docx
《电磁学部分习题解答.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《电磁学部分习题解答.docx(31页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
电磁学部分习题解答
1.直角坐标系中点电荷电量为Q,坐标为()cba,,,写出Q所产生的电场在空间任一点的电场强度。
解:
画出坐标系及空间任一点()zyxP,,,则该点相对于点电荷的位矢为()czbyaxr---=,,
,由点电荷Q产生的电场在P点处的场强分量
为()()()[]
2
3
2
2204czbyaxa
xQEx-+-+--⋅
=πε
()()()
[]2
3
2
2
2
04czbyaxb
yQEy-+-+--⋅
=
πε
()
()()
[]
2
3
2
2
2
4czbyaxc
zQEz-+-+--⋅
=
πε
该场强的方向沿r
方向:
()()()kczjbyiaxr-+-+-=。
在求解给定具体坐标的特殊问题时,往往用分量形式直接计算更直观更方便,还不易出错。
矢量形式固然很标准化很简洁(尤其是涉及到带有散度和旋度的微分方程),但一般只用于做基本证明和推导的过程,因为矢量方程与所取的任一坐标无关。
2.一电偶极子的电偶极矩为lqP
=,P点到偶极子中心的距离为r,
r与l
的夹角为θ,在lr>>时,求P点的电场强度E在POr=方
向的分量rE和垂直于r
方向的分量θE。
解:
在极坐标系下,设点()θ,rP相对于q+和q-的位矢分别为+r
,-r,它们与r的夹角分别为α和β,由点电荷的场强公式有
2041
++⋅=rqEπε,2041-
-⋅=rqEπε,-++=EEE
在极坐标下,E
可以分解为:
βαcoscos-+-=EEEr,βαθsinsin-++=EEE
其中,+-=rlrθ
αcos2cos,-+=rl
rθβcos2cos,
+=rl
θ
αsin2sin,-=rlθβsin2sin
又因为lr>>,在此近似下有
2rrr≈⋅-+,rrr2≈+-+,θcoslrr≈-+-,
带入以上各式,化简得
3
0cos241
rPErθπε⋅=,30sin41rPEθ
πεθ⋅=。
此种方法的关键在于灵活运用各坐标分量间的几何与近似关系。
对于电偶极子的问题,联系电势一节的内容,我们可以做一些归纳,下面我们从最常用的直角坐标系出发,来推导电偶极子在空间任一点的电势及场强公式。
以偶极子两电荷连线中点为原点,以偶极矩方向为x轴方向取直角坐标系中任一点()zyxP,,,由点电荷的电势叠加可得:
()⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
++⎪⎭⎫⎝⎛+-+
++⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=+=-+222
2
220
2241zylxqzylxq
UUPUπε
考虑到lr>>的条件,有2222zyxr++=,
2
1
222
22
11121
-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-≈++⎪⎭⎫⎝
⎛-rxlrxlrz
ylx
上式右边经过二项展开,并略去l的高阶项(二阶及以上),得
⎪⎭⎫
⎝⎛+≈++⎪⎭⎫⎝
⎛-22
22
21121
rxlrz
ylx
则⎪⎭⎫⎝⎛+≈
+20214rxlrq
Uπε,⎪⎭
⎫⎝⎛-≈-20214rxlrqUπε则P点的偶极子势为
()2
030
cos4141rPlqrxUUPUθ
πεπε⋅=⋅⋅⋅
=
+=-+可写成矢量表达形式:
()30
204141rr
PrrPPU
⋅⋅=⋅⋅=πεπε(*)
下面求电偶极子的电场强度:
由()()PUPE-∇=
将上式带入,有
()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∇⋅+⋅∇=∇33
011
41rrPrPrUπε其中,()PrP=⋅∇,54333311r
rr
rr
rrdrdr-=⋅-=∇⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭
⎫⎝⎛∇,
则
()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⋅=350341rPrrrPPE
πε(#)。
以上(*)和(#)式为偶极子的一般计算式。
可以在具体的坐标系中直接带入计算。
变换到球坐标系()ϕθ,,r中,由于轴对称性可知,U与ϕ无关,则
E
的分量为:
3
0cos241rPrUErθπε⋅
=∂∂-=,
30sin411rPUrEθπεθθ⋅=∂∂-
=
0sin1=∂∂-
=ϕ
θϕU
rE。
1.计算3rr
的散度:
解:
03311325333=+-=⋅∇+⋅∇=⋅∇r
rrrrrrrr
。
2.如图所示,无限大带电层,且电荷密度()xρρ=,试求其产生的场强。
解:
此题需分三个区域进行计算:
取垂直于带电层的坐标OX。
(1)ax≤,取'
x到''dxx+之间的带电平面,取单位面积的电荷面密度为σ,则()'
'dxxρσ=,则该平面在x处形成的电场强度为:
()()0
'
'
22ερεσ
dxxxdE=
=
,
()()''0
21
dxxxEb
a
⎰
-
=⇒ρε(负号代表取坐标负向。
)
若()常数αρ=,则
()02εαl
xE-=;
(2)bx≥,同理可得
()()''0
21
dxxxEb
a
⎰
=
ρε(负号代表取坐标正向。
)
若()常数αρ=,则()0
2εαl
xE=;
(3)bxa<<,对于带电层中间的区域,要注意xx<'和xx>'
的
情况不一样,故要进行分段积分:
()()
()''0
'
'
21
21
dxxdxxxEb
x
x
a
⎰
⎰-
=
ρερε
若()常数αρ=,则()()αε0
22baxxE+-=。
3.求无限长均匀带电柱体周围的场强,已知延高方向单位长度电荷密度为λ,圆柱底面半径为R。
解:
取半径为r、高为l的同轴圆柱面为高斯面,分以下两种情况考虑:
(1)Rr≤时,由高斯定理,有
2επqrlEsdES
==⋅⎰⎰
而
22
2
R
lrlrqλρπ==,则2022RlrrlEελπ=得
202RrEπελ=
(2)当Rr≥时,lqλ=,同理得到rE02πελ
=。
4.求均匀带电球壳产生的电场中电位的分布,设球壳带电总量为q,半径为R。
解:
以无穷远处作为电位零点,即()0=∞U,由真空中带电球壳的场强分布:
⎪⎩
⎪
⎨⎧<>⋅=RrRrrqE,0,41
20πε
根据电位的定义求解:
对于Rr>时,()rq
drrqldErUrr
02
0414πεπε=⋅=⋅-=⎰⎰∞∞;
对于Rr<时,
()RqdrrqldEldErURRrR020414πεπε=
⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+⋅-=⎰⎰⎰∞∞。
5.求无限大均匀带电平面(电荷面密度为σ)的电势分布。
解:
确立原点在平面上的坐标OX,设空间任一点P位于r处。
取)(00rP为电位零点,由无限大均匀带电平面的场强公式,有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<->=0,20,20
rrEεσ
εσ
下面以0>r的情况来讨论:
由电位定义有:
()()()rrldEldEPUPUPAA
P
-=
⋅+⋅=
-⎰⎰
00
020εσ
。
本题中电位零点的取法很关键,注意到:
求无限大带电体周围的电位时,不能取无穷远处为电位零点。
6.一半径为R的均匀带电圆面,电荷总量为q,求轴线(OX)上的电位分布,并画出xU-曲线。
解:
在圆面上取drrr+-的圆环,由于圆面的电荷面密度:
2Rq
πσ=,故该圆环所带电量为:
rdrR
qrdrRqrdrdq2
2222=⋅=
⋅=πππσ而圆环在轴线上的电位分布可以根据电位叠加法,取圆环上dlll+-的一段,取无穷远处为电位零点,由点电荷的电位公式:
2
2
0'
0''44R
xdqr
dqdU+=
=
πεπε,得圆环在轴线上的电位分布为:
2
20'
2
2
0'
44'
RxqR
xdqUq+=
+⎰
πεπε=环
现在将此电位作为圆面在轴线上电位的积分元,即令'
qdq=,
环UdU=,作圆面上半径的积分,可得整个圆面在轴线上的电位:
()
x
Rx
Rq
R
xRqrdrR
xdqdUUR
R
R-+=
+=+=⎰
⎰
⎰22
20
2
2
02
2
2
00
2424επεππε=。
7.电量q均匀分布在长为l2的细直线上,求下列各处的电位:
(1)中垂面上离带电线段中心O为r处,并用梯度求rE;
(2)延长线上离中心O为为z处,并用梯度求zE;(3)通过一端的垂直面上离该点为r处,并用梯度求rE。
解:
根据题意,以O为原点中垂线所在直线作为x轴、延长线所在直线作为y轴建立坐标系,取无穷远处为电位零点。
(1)求()0,rP点的电位()PU及rE:
设直线上dyyy+-的一段所带的电量为dyl
q
dq2=,由点电荷电位公式,它在()0,rP点的电位为:
2
2
02
2
084y
rlqdyy
rdqdU+=
+=
πεπε
则整段直线在()0,rP点的电位为:
rlrllq
y
rlqdydUUl
ll
l2
20220ln48++=+=⎰⎰--πεπε=则有2204lrrq
rUEr+=∂∂-=πε。
(2)求()zP,0点的电位()PU及zE:
线元dyyy+-的电量仍然为dyl
q
dq2=,由点电荷电位公式,它在()zP,0点的电位为:
()()yzlqdz
yzdqdU-=
-=0084πεπε
则整段直线在()zP,0点的电位为:
()()lzlzl
zlqyzlqdzdUUl
ll
l
>-+=-=⎰
⎰--ln
8800
πεπε=则有()
2204lzqzUEz-±=∂∂-=πε,(+号对应
lz>,—号对应lz-<)。
(3)求()lrP,点的电位()PU及rE:
同样取线元dyyy+-,其电量仍然为
dyl
q
dq2=,由点电荷电位公式,
它在()lrP,点的电位为:
2
2
02
2
084y
rlqdyy
rdqdU+=
+=
πεπε
则整段直线在()lrP,点的电位为:
rlrllq
y
rlqdy
dUUl
l2
2020
22020
42ln48++=+=⎰
⎰πεπε=则有22044lrrq
rUEr+=∂∂-=πε。
1.(P44.8)如图所示一种电四极子,由两个相同的电偶极子l
qP
=组成,这两偶极子在一直线上,当方向相反,它们的负电荷重合在一起。
求延长线上离中心(即负电荷)为r处的电场及电位分布。
2l
x
y
P
-2q
+q
+q
解一:
根据电场叠加原理,三个点的电荷在P处的场强:
()()
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫⎝⎛+=-+-++=2
20202
020********rlrlqlrq
rqlrqEπεπεπεπε
由lr>>,上式可以用Tayler公式展开:
利用公式
()()
......!
21!
1112+-+
+
=+xxxααα
α
,并取二级近似,有
4
23643212321402
222
0222220rqlrlrqrlrlrlrlrq
Eπεπεπε=⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++-+-≈则()()302
40
2
2123rqldrrqldrrEPUr
rπεπε=-
=-=⎰⎰∞∞。
以上为一种常规方法——运用点电荷电场叠加原理。
下面介绍另一种方法,将电四极子看作两个电偶极子的组合问题,直接运用电偶极子的电势求解:
解二:
由偶极子专题的分析,偶极矩为lqP
=的电偶极子在空间任意
一点P处的电位为:
()()
lr
r
rPPU>>⋅⋅
=
'
3
''
41πε,
注意这里的'
r指的是l中点到P点的位矢。
本题中的电四极子的电位可以用两个偶极子电位的叠加来表示:
()2
02
0241
241
⎪
⎭⎫⎝
⎛-⋅
+
⎪
⎭⎫
⎝
⎛+⋅
-
=lrql
lrql
PUπεπε,
现在同样用Tayler公式展开:
利用公式()
()
......!
21!
1112+-+
+
=+xxxααα
α
,并取二级近似,得
()3
02
2222202220243143142112114rqlrlrlrlrlrql
rlrlrqlPUπεπεπε=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋅≈⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪
⎭
⎫⎝⎛-⋅=
由()()()4
2302
rqlrPUPUPEπε=∂∂-=-∇=即得P点的场强。
2.如图所示为另一种电四极子,设q和l
都已知,P点到正方形的中
心O距离为x,OP
与正方形的一对边平行,求P点的电场强度
及电位分布。
解一:
利用偶极子在中垂面上的场强分布:
30
4
rE⋅
=
πε
将本题中的电四极子看作分别由①④和②③两个偶极子的组合,则有偶极子①④在中垂线上P点的电场强度为:
3
014241
⎪
⎭⎫⎝
⎛+⋅
=
lxP
Eπε,方向向下,
①+q③+q
④②-ql
l
l
偶极子②③在中垂线上P点的电场强度为:
3023241
⎪
⎭⎫⎝
⎛-⋅
=
lxP
Eπε,方向向上,则合场强:
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛
+-⎪⎭⎫⎝
⎛-⋅=-=330142321214lxlxPEEEπε由lx>>,上式可以用Tayler公式展开:
利用公式()
()
......!
21!
1112+-+
+
=+xxxααα
α
,并取二级近似,有
()4
02
222230333043232312323142112114xqlxlxlxlxlxP
xlxlxPPEπεπεπε=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋅≈⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛
+-⎪
⎭
⎫⎝⎛-⋅=
于是有()()302
40
2
4143xqldxxqldxxEPUx
xπεπε=-
=-=⎰⎰∞∞。
此题的扩展问题:
考虑P点不在中垂面上,求解如下:
①
③+q
④l
l
解二:
如图所示,在极坐标下P点的坐标()θ,r,先考虑P点的电位:
()()()32414321UUUUUUUUPU+++=+++=
由偶极子专题的分析,偶极矩为lqP=的电偶极子在空间任意一点P
处的电位为:
()()
lr
r
rPPU>>⋅⋅
=
'
3
''
41πε,
同样这里的'
r指的是l中点到P点的位矢。
设P点相对于偶极子①④和②③的位矢分别为1r,
2r对应的与极轴的夹角为分别为1θ,2θ,则有:
311103111041sin412cos41rrPrrPUUθπεθππε⋅⋅=⎪⎭⎫
⎝⎛-⋅⋅=+3
2
2
2032sin41
rrPUUθπε⋅⋅-=+故⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⋅=322231110sinsin4rrrrP
Uθθπε又由几何关系有2211sinsinsinθθθrrr==,且
θcos21lrr+=,θcos2
2l
rr-=,化简略去二阶小量得
()
3
026023231
4cossin34cos3sinPr114sinPrrqlrlrrrUπεθ
θπεθθπεθ
-
=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=
由()()()2
024cossin9rqlrPUPUPEπεθ
θ-=∂∂-=-∇=即得P点的场强。
3.如图所示。
两条均匀带电的无限长平行直线(与图纸垂直),电荷的线密度分别为eη±,相距为a2,求空间任一点()yxP,的电位。
解:
取坐标原点O点的电位为零,即()0=OU
的电位分布公式,有:
eη+导线在P点的电位为:
()00ln221OUdrrUera
eπεηπεη=+-=⎰
+eη-导线在P点的电位为:
()2
00ln222ra
OUdrrUera
eπεηπεη-=+--=⎰
-在直角坐标系中,()221yaxr+-=,()222yaxr++=,
所以P点的电位为:
()()()()()2
222
02
2220
1
2
0210ln
4ln2ln2lnln2yaxyaxyaxyaxrrraraUUPUee
ee+-++=+-++==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+=-+πεηπεηπεηπεη本题要注意零电位的取法,对于无限的带电体,不能再取无限远处为零电位点。
另外,几种典型模型(如无限大带电平面、无限长直导线、带电圆环、带电圆面、带电球面及带电球的电场强度和电位的分布要熟悉掌握,在处理具体问题的时候都可以直接运用它们的结果。
)8.半径为a的导体,带电量为Q,球内有两个半径分别为b、c的球心空腔,中心处有电荷1q、2q。
计算导体球内、球外空间的电位
和场强。
解:
以无穷远处作为电位零点,即()0=∞U,
(1)导体球外:
离球心距离ar>处的电位
rqqQU02
114πε++=
由此得场强:
rr
qqQUEˆ42
02
111πε++=-∇=;
(2)导体球上:
即ar=的电位为aqqQU02
124πε++=
,
导体内部的场强0=E
;
(3)空腔1内:
假设离空腔球心距离1r处的电位为
11
01
3
4CrqU+=πε由边界条件:
br=1时23UU=,得⎪⎭
⎫⎝⎛-++=bqaqqQC12101
41πε
⎪⎪⎭
⎫⎝⎛-+++=⎪⎭⎫
⎝⎛-+++=∴bqaqqQrqbqaqqQrqU1211101210101
341
414πεπεπε由此得场强:
r
rqUEˆ42
1
0133πε=
-∇=
;(4)空腔2内:
同理假设离空腔球心距离2r处的电位为22
0244CrqU+=
πε
由边界条件:
cr=2时24UU=,得⎪⎭
⎫
⎝⎛-++=cqaqqQC2210241πε
⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=∴cqaqqQrqU221220441πε由此得场强:
r
rqUEˆ42
2
0244πε=
-∇=
。
9.接地导体球(半径为R),距球心为a()aR>处有一点电荷q。
求空间电位分布。
解:
此题参考上课时讲的例题。
10.
点电荷q处在导体壳的中心,壳的内外半径分别为1R、2R,
求场强的分布。
并画出rE-和rU-曲线。
解:
根据题意,导体达到静电平衡时,导体内的场强为零,导体为等势体,在1Rr=的导体面上均匀分布电量为q-的感应电荷,2Rr=的导体面上均匀分布电量为q的感应电荷。
(1)考虑2Rr>的区域时,导体内部的电荷对外部电场没有影响,该区域的电场只由导体外表面的电荷产生,则
r
rqEˆ42
0πε=
故202
0442
2
Rq
drr
q
rdEURRπεπε==⋅=⎰
⎰
∞
∞
;
(2)考虑21RrR<<的区域,0=E,电位如下:
202
0442
2
2
Rq
drr
qrdErdEURRRr
πεπε==⋅+⋅=⎰
⎰⎰
∞
∞
(3)考虑1Rr<的区域时,假设电位为
Cr
qU+=
04πε则由边界条件:
1Rr=时201
044Rq
CRq
Uπεπε=
+=
可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=120114RRqCπε故⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=1201114RRrqUπε由此可得r
r
qUEˆ42
0πε=
-∇=
。
11.
一球形电容器内外两壳的半径分别为1R、4R,现在两壳之间
放一个内外半径分别为2R、3R的同心导体球壳。
(1)给内壳1R充以电量Q,求1R和4R两壳的电位差;
(2)求电容(即以1R和4R为两极的电容)。
解:
(1)当内壳充电Q时,由于导体的静电感应作用,2R、3R、4R各球面上分别均匀分布电量为Q-、Q、Q-的感应电荷,故取半径为r的同心球面为高斯面,由高斯定理可以算出不同区域的场强分布:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧
><<⋅<<<<⋅<=4432
03
221201,,41,0,41,0R
rRrRrQRrRRrRrQ
RrEπεπε
则1R和4R两壳的电位差:
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-=+⋅+=⋅=-⎰
⎰⎰
⎰
432102
02
0411********
3
32
21
4
1
RRRRQdr
r
Qdrdrr
QldEUURRRRRRRRπεπεπε;
(2)由电势差和极板带电量可得电容:
⎪
⎪⎭⎫⎝⎛-+-=
-=4321
4
111114RRRRUUQCπε。
12.
(P17114题)收音机里用的可变电容如1
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 电磁学 部分 习题 解答