平面几何中几个重要定理在中考中的应用.docx

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平面几何中几个重要定理在中考中的应用

平面几何中的几个重要定理在中考中的应用

一、托勒密定理:

圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.即:

若四边形ABCD内接

于圆,则有:

ABCDADBCACBD⋅+⋅=⋅一般几何教科书中的“托勒密定理”,实出自依巴谷（Hipparchus之手,托勒密只是从他的书中摘出。

喜帕恰斯依巴谷古希腊最伟大的天文学家他编制出1022颗恒星的位置一览表,首次以“星等”来区分星星.

二、梅涅劳斯定理:

如果一条直线与ABC∆的三边BC、CA、AB或其延长线交于D、E、F点,那么

1AFBDCEFB

DC

EA

⋅⋅=.这条直线叫做ABC∆的梅氏线,ABC∆叫梅氏三角形.

梅涅劳斯定理逆定理:

如果D、E、F分别是ABC∆的三边BC、CA、AB或其延长线的三点,且满足

1AFBDCEFB

DC

EA

⋅⋅=,那么D、E、F三点共线.

梅涅劳斯（Menelaus定理（简称梅氏定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的

三、塞瓦定理:

若△ABC的三个顶点与一点P的连线AP、BP、CP交对边或其延长线于D、E、F,则

1BDCEAFDC

EA

FB

⋅

⋅

=.通常称点P为△ABC的塞瓦点.

塞瓦（GiovanniCeva,1648~1734意大利水利工程师,数学家。

塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书,也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。

塞瓦定理逆定理:

如果点D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB上或其延长线上,并且

1BDCEAFDC

EA

FB

⋅⋅=,那么

AD、BE、CF相交于一点（或互相平行.

四、斯特瓦尔特定理:

若P为△ABC的BC边上B、C之间一点,则有2

2

2

PCBPAPBPPCABACBC

BC

+⋅=⋅

+⋅

.

或2

2

2

PCBPAPABACBPPCBC

BC

=⋅+⋅

-⋅

托勒密定理

【例1】设P为正方形ABCD的外接圆的弧AD上的一点,则PAPCPB

+为定值.

A

BCF

E

D

E

F

D

CBA

P

A

B

C

D

EF

A

B

C

D

PE

F

PA

BC

F

E

DC

B

A

P

AB

C

D

EF

【例2】等腰梯形一条对角线的平方,等于一腰的平方加上两底之积.

已知:

在梯形ABCD中,AD=BC,AB//CD.求证:

2

2

BDBCABCD=+⋅.

【例3】已知1ab=.求证:

2

2

1ab+=.

【例4】如图,在△ABC中,A∠的平分线交外接圆于D,连接BD.求证:

AD·BC=BD（AB+AC.

梅涅劳斯定理

恰当的选择截线是应用梅涅劳斯定理的关键,其逆定理常用于证明点共线,应用很广泛。

解决比较复杂的问题时注意塞瓦定理与梅涅劳斯定理联用。

【例5】如图,直线1l∥2l,AF:

FB=2:

3,BC:

CD=2:

1,则AE:

EC是（.

A.5:

2

B.4:

1

C.2:

1

D.3:

2

【例6】如图,△ABC中,AB=5,BC=8,BD=BE,AF=2FC,BF交DE于P.求DP:

PE.

A

B

C

DA

C

D

l2

l1

A

FE

D

B

GA

【例7】（2001山东初中竞赛如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,在AB的延长线上任取一点

E,连接OE交BC于点F.若AB=a,AD=c,BE=b.求B

F的长.

塞瓦定理

【例8】如图,在△ABC中,AM是BC边上的中线,BD为B的平分线,AM和BD交于点E,CE的延长线交

AB于F,FN//AC,交BC于N.求证:

BF=NC.

【例9】在梯形ABCD中,AB//CD,AC、BD交于E,AD、BC的延长线交于H,过E作FG//AB交AD于F,

交BC于G.求证:

AG、BF、EH三线共点.

斯特瓦尔特定理

O

A

F

E

DC

B

M

B

C

D

E

F

A

N

【例10】

（1990全国初中联赛△ABC中,

AB=,

P为BC上任一点,则（.A.2PAPBPC<⋅B.2

PAPBPC=⋅

C.2

PAPBPC>⋅D.2PAPBPC⋅与的大小关系不能确定

【例11】

如图,△ABC中,AB=AC,E为AB中点,在AB延长线上有一点D使BD=BA.求证:

CD=2CE.

C

AB

D

E

A

B

D

C