小学五年级数学上册复习教学知识点归纳总结.docx
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小学五年级数学上册复习教学知识点归纳总结
人教版五年级上学期数学知识点总结
第一单元小数乘法
一、小数乘整数
意义:
与整数乘法的意义相同,就是求几个相同小数的和的简便运算。
例如:
1.5×3表示1.5的3倍是多少或3个1.5的和是多少。
计算方法:
先把小数扩大成整数,按整数乘法的法则算出积;再看因数中一共有几位小数,
就从积的右边起向左数出几位,点上小数点。
当积的小数部分末位有0时,要把0去掉。
二、小数乘小数
意义:
就是求这个数的几分之几(十分之几、百分之几、千分之几....)是多少。
例如:
1.5×0.8就是求1.5的十分之八是多少。
1.5×1.8就是求1.5的1.8倍是多少。
计算方法:
先把小数扩大成整数,按整数乘法的法则算出积;再看两个因数中一共有几位
小数,就从积的右边起向左数出几位,点上小数点。
当积的小数位数不够时,需要添0补
位,再点上小数点。
当积的小数部分末尾有0时,要把0去掉。
三、规律
①、一个数(0除外)乘大于1的数,积比原来的数大;例1.5×1.2>1.5
②、一个数(0除外)乘小于1的数,积比原来的数小。
例1.5×0.8<1.5
四、积的近似数
求近似数的方法一般有三种:
⑴四舍五入法;⑵进一法;⑶去尾法
用“四舍五入法”求积的近似数。
首先明确保留的小数位数,再看保留的小数位数的下一
位数字,若大于或等于5的就向前一位进1,若小于5就去掉。
五、连乘、乘加、乘减的规则
①、小数连乘的运算顺序:
按从左往右的顺序依次计算。
②、乘加、乘加、乘减的减的的运算顺序:
无括号的,先算乘法,再算加减;有括号的,
先算括号里面的,再算括号外面的。
六、整数乘法的运算定律推广到小数
整数乘法的运算定律对于小数乘法同样适用,应用乘法运算定律可以使一些计算简便。
加法:
加法交换律:
a+b=b+a 加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
减法:
减法性质:
a-b-c=a-(b+c) a-(b-c)=a-b+c
乘法:
乘法交换律:
a×b=b×a乘法结合律:
(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:
(a+b)×c=a×c+b×c(a-b)×c=a×c-b×c
除法:
除法性质:
a÷b÷c=a÷(b×c)
七、计算钱数
计算人民币钱数时,小数只能保留两位小数。
保留两位小数时,表示计算到分;保留一位小数,表示计算到角。
八、本单元难点疑点解析:
1、小数乘法与小数加、减法有何不同?
在进行小数加、减法时,强调了小数点对齐,这样才能保证相同数位对齐,再进行计算,计算结果的小数点与横线上的小数点对齐。
在用竖式计算小数乘法时,要把因数的末位对齐,计算之后再确定积中小数点的位置。
当乘积末尾有0时,要切记先点上积的小数点,再去掉小数部分末尾的0。
2、小数乘法中积的小数位数怎么确定?
计算小数乘法,按照整数乘法的法则计算,乘完以后,看各个因数一共有几位小数,积也要有几位小数。
例如:
0.2×0.3,按整数乘法先计算结果得6,两个因数中一共有两位小数,点小数点时,要用0补足,积的正确结果是0.06,如果计算成0.6,就只是一位小数,结果就错了。
第二单元位置
一、概念及含义:
1、位置:
在具体的情境中,事物所在或所占的地方。
2、在一个平面内确定物体位置时,只需两个独立数据就能将物体定位,这个确定的位置就叫
做“数对”。
3、通常情况下,我们把数对的竖排叫做列,横排叫做行。
确定第几列一般是从左往右数,确
定第几行一般是从前往后数。
4、关于数对包含了三层意思:
①、“数对”指个数,即列数与行数;
②、“数对”中先表示第几列,再表示第几行,这个顺序不能颠倒;
③、用“数对”确定位置有规范的书写格式和相应的读法,书写时要用小括号把列数和行
数括起来,并在列数和行数之间写个逗号把它们隔开。
写作:
(列,行),读的时候,
只要顺次读出两个数就可以了。
5、数对的读法:
(2,3)可以直接读“(2,3)”,也可以读作“数对(2,3)”。
二、注意事项:
1、一组数对只能表示一个位置。
2、表示同一列物体位置的数对,它们的第一个数相同;表示同一行物体位置的数对,它们的
第二个数相同。
3、在方格纸上,物体向左或向右平移,行数不变,列数等于减去或加上平移的格数;物体向
上或向下平移,列数不变,行数等于加上或减去平移的格数。
第三单元小数除法
一、小数除法的意义:
与整数除法的意义相同,就是已知两个因数的积与其中的一个因数,求另一个因数的运算。
如:
0.6÷0.3表示已知两个因数的积0.6与其中的一个因数0.3,求另一个因数的运算。
二、小数除法笔算的计算法则:
1、除数是整数的小数除法的计算方法:
按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐,整数部分不够除,商整
数部分为0,点上小数点,如果除到被除数的末位仍有余数,就在余数后面添0,继续除。
2、除数是小数的小数除法的计算方法:
先移动除数的小数点使它变为整数,再把被除数的小数点向右移动相同的位数(位数不够,
在被除数的末尾用0补足),最后按“除数是整数的小数除法”的法则进行计算。
这种方
法的依据是商不变的性质,即除数和被除数同时扩大相同的倍数,商不变。
三、商的近似值:
1、在实际应用中,小数除法所得的商也可以根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数,求出商的近似数。
2、除法中的变化规律:
①、商不变性质:
被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),商不变。
②、除数不变,被除数扩大(或缩小),商随着扩大(或缩小)。
③、被除数不变,除数缩小(或扩大),商随着扩大(或缩小)。
四、循环小数:
一个数的小数部分,从某一位起,一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫做循环小数。
一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字,就是这个循环小数的循环节:
如:
6.3232…的循环节是32;7.14545…的循环节是45。
小数部分的位数是有限的小数,叫做有限小数。
小数部分的位数是无限的小数,叫做无限小数。
五、课外拓展
1、小数的分类:
①、按整数部分分类
按小数的整数部分是否为0,把小数可分为纯小数和带小数(或混小数)两类。
名称
定义
特点
纯小数
整数部分是零的小数
纯小数都比1小;例如:
0.3、0.48
带小数(混小数)
整数部分不是零的小数
带小数都大于或等于1,例如3.7、28.356、1.000
纯小数
按整数部分分类可表示为:
小数带小数
②、按小数部分分类
根据小数部分的位数是否有限,小数可分为有限小数与无限小数。
有限小数:
小数部分的位数是有限的。
例如:
0.7、0.065、11.3875等小数都是有限小数。
无限小数:
小数部分的位数是无限的。
无限小数又可分为无限循环小数和无限不循环小数。
A无限循环小数:
小数部分从某一位起,一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫做无限循环小数,也叫循环小数。
如:
0.555…、3.070707…、6.0393939…等小数。
循环小数又可分为纯循环小数与混循环小数两种。
纯循环小数:
循环节是从小数部分的第一位开始的,叫纯循环小数。
如:
0.66…、5.33…。
混循环小数:
循环节不是从小数部分的第一位开始的,叫混循环小数。
如:
0.3555…、9.31666…等小数。
B无限不循环小数:
一个无限小数,如果它的小数部分各数位上的数学不是循环的,这样的小数就叫无限不循环小数。
无限不循环小数是无理数。
例如:
圆周率的值3.1415926…,.010*********…都是无限不循环小数。
对于一个无限小数,如果它不是循环小数,就一定是不循环小数。
小数的这种分类方法可以表示为:
有限小数
小数循环小数纯循环小数
无限小数混循环小数
无限不循环小数
第四单元可能性
一、概念理解
1、确定与不确定
确定:
生活中的一些事件是必然的,是一定或者是不可能发生的,这些事件的发生就是确定的。
例如:
①、人活着必须要呼吸空气。
(一定);
②、出生到现在没吃过一点东西。
(不可能)
不确定:
生活中的一些事件时而发生,时而不发生,这些事件的发生是不确定的,即是可能性的。
例如:
今年的七月会下三场雨。
(可能发生也有可能不发生)
2、一定、可能与不可能
一定:
例如我们在地球的地面上垂直向上抛一块石头,就知道必须会下落到地面上,这时就可以用“一定”这个词来描述。
不可能:
在地球上的“瀑布的水会倒流”是不可能发生的,这类事件就可以用“不可能”来描述。
可能:
是指不确定的现象。
例如:
我们掷一枚硬币,硬币落地时也许是正面朝上,也许是反面朝上,这时就可以用“可能”这个词来描述;再如:
“明天的拔河比赛,我们班可能会赢”虽然我们具有一定的获胜条件,非常希望自己班赢,但事实上结果还是没确定的,它与我们个人的愿望无关,所以也只能用“可能”来描述。
二、事件发生的可能性
1、可能性的大小
不确定性的事件发生存在着可能性的大小,根据这些事件发生的条件的趋向性,有时可能性大一些,有时可能性小一些,可能性的大小与事件的基础条件和发展过程等许多因素有关。
当条件对某件事有利时,发生的可能性就大一些,当条件对某件事不利时,发生的可能性就小一些。
2、事件发生可能性大小的描述
某种事件发生的可能性有大有小,对事件发生的可能性的大小,可以用“一定”、“经常”、“偶尔”、“不可能”、“可能”等词语来描述。
例如:
(1)桌子上有一个盒子,盒子里装有大小、形状相同的红球10个,白球4个,摸出一个球,可能是什么颜色?
摸出一个球后,记录它的颜色,再放回去,重复20次,摸出哪种颜色的球的可能性大些?
分析:
因为每个球的大小、形状相同,摸球时又不能偷看,所以摸到每个球的可能性是一样的,因为红球的数量多,所以摸出红球的可能性大,也可以说“经常”能摸到红球;摸出白球的可能性小,也可以说“偶尔”能摸到白球。
(2)在一个商场举行摸奖促销活动。
盒子里放了100个小球,小球的颜色有红和绿两种,规定摸到红球的获奖。
结果在活动过程中,很少有人获奖,请你说一下原因。
分析:
商场搞活动的目的是为了促销,只是为了吸引消费者,肯定不会让多数人中奖,盒子中的红球数量很少,获奖的机会就大大减少了。
商场在盒子里放了很少的红球,所以摸到红球的机会很少,获奖的人数自然就少。
但我们必须明确,虽然获奖的机会可能性少,但不代表没有人获奖。
三、游戏输赢的可能性
游戏的输赢结果取决于游戏双方各自出现的机会,出现的机会越多,则赢的可能性大;出现的机会小,则赢的可能性小。
但当游戏双方的机会均等时,游戏的结果一般仍会有输赢。
例如:
桌子上有10张卡片,上面分别写着1—10各数,如果抽到2的倍数就赢,否则就输,这个游戏公平?
分析:
1—10各数中,2的倍数有2、4、6、8、10五个数,而不是2的倍数有1、3、5、7、9也是五个数,抽取的机会是均等的,因此这个游戏公平。
所以在设计游戏规则时,要力求游戏双方机会均等才算公平。
又例如:
小红和小芳摸牌,有1—10十张牌,摸到5算小红赢,摸到其他都算小芳赢。
这个游戏规则公平?
分析:
大家都会说,不公平。
在为十张牌,只有摸到5才算小红赢,小红赢的几率只有十分之一,而小红摸到除5外的另外9张都算小芳赢,小芳赢的几率是十分之九,当然不公平。
趣题赏析:
怎么保证可能性为三分之一?
在一个正方体的6个面上分别标上数字,怎么能使“3”朝上的可能性为三分之一?
第五单元简易方程
一、用字母表示数
意义和作用:
用字母表示数,可以把数量关系简明地表达出来,同时也可以表示运算的结果,例如:
用字母a表示每本书的单价,买3本书应付的钱可以写成3a,“3a”这个式子清楚地表示出当单价是a时,单价、购买本数和应付钱数三个量之间的关系,同时,它也表示买3本书的总钱数。
二、用字母表示数量关系
1、路程用s表示,速度用v表示,时间用t表示,三者之间的关系式:
S=vtv=s÷tt=s÷v
2、总价用a表示,单价用b表示,数量用c表示,三者之间的关系式:
a=bcb=a÷cc=a÷b
3、收入用a表示,支出用b表示,结余用c表示,三者之间的关系式:
a=b+cb=a-cc=a-b
4、工作效率用a表示,工作时间用t表示,工作总量用c表示,三者之间的关系式:
c=ata=c÷tt=c÷a
用字母表示数量关系时,要结合具体的生活情境和常见的数量关系。
例:
一辆客车平均每小时行a千米,一辆货车平时每小时行b千米,客车行了3小时,货车行了5小时,用含有字母的式子来表示出两辆车共行了多少千米?
分析:
由题意可知,速度X时间=路程,客车的路程+货车的路程=总路程。
客车行了3a千米,货车行了5b千米,它们的和为共行的路程。
当3a和5b分另为一个整体时,写单位名称时不用括号。
而它们的和3a+5b为一个式子时,要把这个式子用括号括起来再写单位名称,所以答案为共行了(3a+5b)千米。
三、用字母表示常见的运算定律和性质
运算定律
用字母表示
运算定律
用字母表示
加法交换律
a+b=b+a
乘法交换律
ab=ba
加法结合律
a+(b+c)=(a+b)+c
乘法结合律
(ab)c=a(bc)
减法性质
a-b-c=a-(b+c)
乘法分配律
(a+b)c=ac+bc
除法性质
a÷b÷c=a÷(bc)(b、c均不等于0)
四、用字母表示公式及运算法则
名称
字母意义
字母公式
长方形
a—长b—宽c—周长S—面积
周长:
c=2(a+b)
面积:
S=ab
正方形
a—边长c—周长S—面积
周长:
c=4a
面积:
S=a·a=a2
五、用字母表示数的写法(简写方法)
1、数字和字母、字母和字母相乘时,中间的乘号可以记作“·”,也可以省略不写,省略乘号时,一般把数字放在字母的前面。
例如:
a×3=3.a=3a。
2、数字和字母、字母和字母进行相加、相减或相除时,两者之间的加号、减号或除号都不能省略。
3、当“1”与任何字母相乘时,“1”都省略不写。
例如:
1.a=a。
4、在同一个问题中,同一个字母表示同一个量,不同的量要用不同的字母表示。
5、用含有字母的式子表示问题的答案时,除数一般写成分母;如果式子中有加号或减号,要先用括号把含有字母的式子括起来,再在括号后面写上单位名称。
例:
用含有字母的式子表示下面各题的数量关系。
a与4的和的7倍
分析:
按照字母表示数的规定,a与4的和乘7,乘号省略并且把7放在“和”的前面,所以最后应该写成:
7(a+4)。
比m的8倍少n的一半。
分析:
n的一半,一般不会写成n÷2,而写成
n,所以最后写成8m-
n。
六、将数值代入含有字母的式子中求值
1、含有字母式子的值
当字母的数值确定时,把它代入含有字母的式子中进行计算,所得的结果就是含有字母式子的值,又称代数式的值。
例如:
2ab,当a=2,b=6时,则2ab的值等于2×2×6=24。
2、将数值代入式子求值的方法
把具体的数值代入式子求值时,要注意书写格式:
先写出字母等于几,然后写出原式,再把数值代入式子中求值。
例如:
当x=9时,5x-30=5×9-30=15。
七、方程的概念
1、等式的意义:
表示相等关系的式子叫做等式。
2、方程的意义:
含有未知数的等式称为方程。
例如:
3+x=19,15x=225都是方程。
3、方程必须满足的条件:
(1)必须是等式;
(2)必须含有未知数。
4、方程与等式的关系
方程是等式,但等式不一定是方程,它们之间的关系可以用以下图来表示。
例如:
3+2=5是等式,但不是方程;
3+x=19,既是等式,也是方程。
八、解方程
1、方程的解与解方程
使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
例如x=4,能使方程5x=20左右两边相等,所以x=4就是方程5x=20的解。
求方程的解的过程叫做解方程。
2、等式的性质
等式的性质,又称之为天平平衡的原理。
等式的性质1:
等式的左右两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立。
例如:
4+3=74+3+2=7+2
5+10.6=15.65+10.6-6=15.6-6
等式的性质2:
等式左右两边同时乘或除以同一个不为0的数,等式依然成立。
例如:
4×3=124×3×2=12×2
4×3=124×3÷2=12÷2
3、利用等式的性质解方程
因为方程是等式,所以等式具有的性质方程都具有。
在解方程时,可以运用等式的性质(即天平左右平衡的原理)来理解解方程的过程。
(1)方程的左右两边同时加上或减去同一个数,方程的解不变。
(2)方程左右两边同时乘或除以同一个不为0的数,方程的解不变。
4、解两步、三步运算的方程
两步、三步运算的方程,可根据等式的性质进行运算,先把原方程转化为一步运算的方程,再求出方程的解。
例如:
解方程3x+25=55
解此方程时,把含有未知数的项3x看作一个数,在方程的左右两边同时减去25,变成3x=30;然后把方程3x=30的左右两边再同时除以3,即可求出方程的解。
5、解方程的书写格式
解方程时,先写一个“解”字,“解”字后面加一个冒号(:
)。
在解方程的过程中,一般要每一行写一个方程。
通常情况下,要把未知数写在等式的左边,上下方程(同原方程)的等号要对齐。
例如:
解方程3x+25=55。
3x+25=55
解:
3x+25-25=55-25
3x=30
x=10
6、方程的检验
检验时,先把所求出的未知数的值代入原方程,看看方程的左边、右边得数是否相等。
若得数相等,则所求的值是原方程的解,否则,就不是原方程的解。
例如:
上面解得方程3x+25=55的解x=10。
其检验过程如下所示:
检验:
把x=10代入原方程,左边=3×10+25=55,右边=55,左边=右边,所以x=10是原方程的解。
7、利用四则运算中各部分之间的关系解方程
(1)根据加法中各部分间的关系解方程。
在加法中,一个加数=和-另一个加数。
(2)根据减法中各部分间的关系解方程。
在减法中,被减数=差+减数;减数=被减数-差
(3)根据乘法中各部分间的关系解方程。
在乘法中,一个因数=积÷另一个因数
(4)根据除法中各部分间的关系解方程。
在除法中,被除数=商×除数,除数=被除数÷商。
九、实际问题与解方程(列方程解应用题)
1、列方程解应用题的意义
列方程解应用题就是用字母表示实际问题里的某个未知数,根据等量关系列出含有未知数的等式,即方程,从而得到应用题的正确答案。
2、列方程解应用题与算术方法的比较
(1)联系:
用算术方法解应用题,需要对数量关系进行全面分析,然后进行列式计算。
列方程解应用题同样也需要在实际数量关系中进行数学抽象,列出方程求解。
因此,学习用算术方法解应用题是列方程解应用题的基础。
例:
男生有28人,比女生人数的2倍还多4人,女生有多少人?
方法一:
分析:
男生人数比女生人数的2倍还多4人,假如从男生人数28人中把多余的4人减去,那么就正好等于女生人数的2倍。
即女生人数为:
(28-4)÷2
=24÷2
=12(人)
方法二:
分析:
设女生有x人,女生人数的2倍是2x人,再加上4人就正好等于男生人数。
那么可以列方程解答。
解答解:
设女生为x人。
2x+4=28
2x=24
x=12
答:
女生有12人。
(2)区别
列方程解应用题与算术方法解应用题的区别主要是解题思路不同。
不同点比较:
列方程解应用题
用算术方法解应用题
未知数用字母表示,参加列式和运算
未知数不参加列式和运算
根据题意找出数量间的相等关系,列出含有未知数的x的等式
根据题里已知数和未知数间的关系,确定解题步骤,再列式计算
解题思维比较顺畅
解法的变化较大,思维比较复杂
由上表对比,可以看出列方程解应用题具有普遍性,特别是在解答复杂或特殊的应用题时更能显示出它的优越性。
例1:
某数减10的差,乘3,再加上1,最后结果得10,求这个数是多少?
如果用算术方法就要从最后的得数开始,一步一步倒推回去,才能列出算式解答:
(10-1)÷3+10=13;如果用列方程的方法,只要先要求的数某个数为x,再按照题目的叙述,就可以列出方程:
(x-10)×3+1=10,解得x=13。
例2:
鸡兔同笼的问题:
共有12个头,36条腿,问鸡兔各有多少只?
如果用算术方法的基本思路是:
先假设笼子里全是鸡(或兔)时,应该有多少条腿,再与实际的腿数相比较,得到一个差,然后以免(或鸡)换鸡(或兔),才能找出解来,这是一种特殊的解法。
但如果用列方程的方法的简便多了,具体思路如下:
设笼中有鸡x只,则笼中有兔(12-x)只,因此,笼中有鸡腿2x条,有兔腿4(12-x)条。
根据题意,可以列方程:
2x+4(12-x)=36。
解这个方程,就可以得到:
x=6,也就是说,笼子里有鸡6只,有兔12-6=6只。
3、列方程解应用题的步骤
(1)弄清题意,找出未知数,并用字母x表示;
(2)分析实际问题(应用题)中的数量关系,找出等量关系,列出方程;
(3)解方程,求出未知数的值;
(4)检验,写出答语。
检验时,一是要将所求得的未知数的值代入原方程,检验方程的解是否正确;二是要检验所得的未知数的值是否符合题意要求。
例光明小学购进白粉笔和彩色粉笔共64盒,白粉笔的盒数是彩色粉笔的3倍,问白粉笔和彩色粉笔各有多少盒?
分析:
此类题是列方程解应用题中比较典型的一类,题中有两个未知数,已知它们的和,且知它们是倍数关系,所以一般设1倍数的为x,题中的另一个未知数则为3x,再列方程。
解答解:
设彩色粉笔有x盒,则白粉笔有3x盒。
根据彩色粉笔的盒数+白粉笔的盒数=总盒数(64盒)
x+3x=64
4x=64
x=16则3x=16×3=48。
答:
白粉笔有48盒,彩色粉笔有16盒。
第六单元多边形的面积
一、认识多边形
直角三角形
按角分锐角三角形
钝角三角形
三角形等腰三角形等边三角形
按边分
多边形不等边三角形
平行四边形长方形正方形
四边形一般梯形
梯形等腰梯形
直角梯形
二、周长
1、定义:
封闭图形一周的长度,就是它的周长。
多边形的周长就是它们每条边的长度之和。
2、公式:
长方形:
周长=(长+宽)×2字母公式:
C=(a+b)×2
正方形:
周长=边长×4 字母公式:
C=4a
三、面积及面积单位
1、定义:
物体表面或封闭图形的大小,叫做它们的面积。
2、面积单位:
测定图形面积时所选定的标准面积,叫做面积单位。
常用的面积单位有千米²、
米²、分米²、厘米²等。
面积单位
单位描述
国际单位符号
单位意义
与主单位的进率
千米²
千米²是国际制计量单位中较大的一个面积单位
km²
边长是1千米的正方形,面积就是1千米²
1千米²=1000000米²
米²
米²是国际制计量面积的主单位,也是我国法定的面积单位。
m²
边长是1米的正方形,面积就是1米²
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分米²
分米²是国际制计量
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