内蒙古赤峰市联盟校届九年级第一次模拟考试数学试题解析版.docx
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内蒙古赤峰市联盟校届九年级第一次模拟考试数学试题解析版
内蒙古赤峰市联盟校2019届九年级第一次模拟考试数学试题
一、选择题(每小题3分,共计36分)
1.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时,原方程应变形为( )
A.(x+1)2=6B.(x+2)2=9C.(x﹣1)2=6D.(x﹣2)2=9
2.如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根,则a的取值范围是( )
A.a>﹣
B.a≥﹣
C.a≥﹣
且a≠0D.a>
且a≠0
3.若方程4x2+(a2﹣3a﹣10)x+4a=0的两根互为相反数,则a的值是( )
A.5或﹣2B.5C.﹣2D.非以上答案
4.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致所示中的( )
A.
B.
C.
D.
5.在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2﹣4x+3先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( )
A.(﹣2,3)B.(﹣1,4)C.(1,4)D.(4,3)
6.圆最长弦为12cm,如果直线与圆相交,且直线与圆心的距离为d,那么( )
A.d<6cmB.6cm<d<12cmC.d≥6cmD.d>12cm
7.某商品原价289元,经连续两次降价后售价为256元,设平均每降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是( )
A.289(1﹣x)2=256B.256(1﹣x)2
=289
C.289(1﹣2x)2=256D.256(1﹣2x)2=289
8.如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,点C在⊙O上,如果∠P=50°,那么∠ACB等于( )
A.40°B.50°C.65°D.130°
9.若二次函数y=x2﹣2x﹣m与x轴无交点,则一次函数y=(m+1)x+m﹣1的图象不经过( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
10.下列命题不正确的是( )
A.任何一个成中心对称的四边形是平行四边形
B.平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
C.线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形
D.等边三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形
11.⊙O半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(3,4),则点P与⊙O的位置关系是( )
A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上
C.点P在⊙O外D.点P在⊙O上或外
12.已知一个三角形的三边长分别为5、7、8,则其内切圆的半径为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空(每小题3分,共计18分)
13.直角三角形的两直角边长分别为8和6,则此三角形的外接圆半径是 .
14.用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时,先假设 成立,然后经过推理与平行公理相矛盾.
15.如图,已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是 .
16.已知:
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论中:
①abc<0;②b2﹣4ac>0;③3a+c<0;④(a+c)2<b2,⑤a+b+c>0
其中正确的序号是 .
17.P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O的半径为5cm,则经过P点的最短弦长为 cm,最长弦长为 cm.
18.将△ABC绕着C(1,0)旋转180°得到△A1B1C,设点A的坐标为(a,b),则点A1的坐标为
三、解答及证明(共计96分)
19.(10分)关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣x﹣2=0
(1)若x=﹣1是方程的一个根,求m的值及另一个根.
(2)当m为何值时方程有两个不同的实数根.
20.(14分)已知二次函数解析式为y=2x2﹣4x﹣6.
(1)写出抛物线的开口方向,顶点M坐标,对称轴,最值;
(2)求抛物线与x轴交点A,B与y轴的交点C的坐标;
(3)作出函数的图象;
(4)观察图象:
x为何值时,y随x的增大而增大;
(5)观察图象:
当x何值时,y>0;当x何值时,y=0;当x何值时,y<0.
21.(12分)△ABC在方格纸中位置如图所示
(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系,使得A、B两点的坐标分别为A(2,﹣1)、B(1,﹣4),并求出C点的坐标;
(2)作出△ABC关于横轴对称的△A1B1C1,再作出△ABC以坐标原点为旋转中心、旋转180°后的△A2B2C2,并写C1,C2两点的坐标;
(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2,其中的一个三角形能否由另一个三角形经过某种变换而得到?
若能,请指出什么变换.
22.(8分)如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.
23.(10分)已知△ABC内接于⊙O,过点A作直线EF,
(1)如图1,若AB为直径,要使得EF是⊙O的切线,还需要添加的条件是(只须写出两种不同情况)① 或② .
(2)如图2,若AB为非直径的弦,∠CAE=∠B,试说明EF是⊙O的切线.
24.(12分)如图,A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处,以每小时10
千米的速度向北偏东60°的BF方向移动,距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域.
(1)问A城是否会受到这次台风的影响?
为什么?
(2)若A城受到这次台风的影响,那么A城遭受这次台风影响的时间有多长?
25.(14分)某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100.(利润=售价﹣制造成本)
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润?
当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?
最大利润是多少?
(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?
26.(16分)如图1,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?
若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在
(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?
若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)如图2,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
参考答案
一、选择题
1.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时,原方程应变形为( )
A.(x+1)2=6B.(x+2)2=9C.(x﹣1)2=6D.(x﹣2)2=9
【分析】配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
解:
由原方程移项,得
x2﹣2x=5,
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1,得
x2﹣2x+1=6
∴(x﹣1)2=6.
故选:
C.
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
2.如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根,则a的取值范围是( )
A.a>﹣
B.a≥﹣
C.a≥﹣
且a≠0D.a>
且a≠0
【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中,必须满足下列条件:
(1)二次项系数不为零;
(2)在有实数根的情况下必须满足△=b2﹣4ac≥0.
解:
依题意列方程组
,
解得a≥﹣
且a≠0.故选C.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.
3.若方程4x2+(a2﹣3a﹣10)x+4a=0的两根互为相反数,则a的值是( )
A.5或﹣2B.5C.﹣2D.非以上答案
【分析】根据方程4x2+(a2﹣3a﹣10)x+4a=0的两根互为相反数,列出关于a的等式即可得出答案.
解:
根据方程4x2+(a2﹣3a﹣10)x+4a=0的两根互为相反数,
∴x1+x2=﹣
=0,x1×x2=a<0,
解得:
a=5(舍去)或a=﹣2,
所以a=﹣2.
故选:
C.
【点评】本题考查了根与系数的关系,关键是掌握x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣
,x1x2=
.
4.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致所示中的( )
A.
B.
C.
D.
【分析】本题可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=ax2+c的图象相比较看是否一致.反之也可.
解:
A、由一次函数的图象可知a>0c>0,由二次函数的图象可知a<0,两者相矛盾;
B、由一次函数的图象可知a<0c>0,由二次函数的图象可知a<0,两者相吻合;
C、由一次函数的
图象可知a<0c>0,由二次函数的图象可知a>0,两者相矛盾;
D、由一次函数的图象可知a<0c<0,由二次函数的图象可知a>0,两者相矛盾.
故选:
B.
【点评】考查数形结合思想,由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号,由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状.
5.在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2﹣4x+3先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是(
)
A.(﹣2,3)B.(﹣1,4)C.(1,4)D.(4,3)
【分析】先把抛物线y=2x2﹣4x+3化为顶点式的形式,再根据函数图象平移的法则求出向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式,求出其顶点坐标即可.
解:
∵抛物线y=2x2﹣4x+3化为y=2(x﹣1)2+1,
∴函数图象向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式为:
y=2(x﹣1﹣3)2+1+2,即y=2(x﹣4)2+3,
∴其顶点坐标为:
(4,3).
故选:
D.
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,先把原抛物线的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键.
6.圆最长弦为12cm,如果直线与圆相交,且直线与圆心的距离为d,那么( )
A.d<6cmB.6cm<d<12cmC.d≥6cmD.d>12cm
【分析】根据直线与圆的位置关系来判定.圆最长弦为12,则可知圆的直径为12,那么圆的半径为6.至此可确定直线与圆相交时,d的取值范围.
解:
由题意得
圆的直径为12,那么圆的半径为6.
则当直线与圆相交时,直线与圆心的距离d<6cm.
故
选:
A.
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系.解决本题的关键是确定圆的半径,进而可知直线与圆心的距离d的取值范围.
7.某商品原价289元,经连续两次降价后售价为256元,设平均每降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是( )
A.289(1﹣x)2=256B.256(1﹣x)2=289
C.289(
1﹣2x)2=256D.256(1﹣2x)2=289
【分析】增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),本题可参照增长率问题进行计算,如果设平均每次降价的百分率为x,可以用x表示两次降价后的售价,然后根据已知条件列出方程.
解:
根据题意可得两次降价后售价为289(1﹣x)2,
∴方程为289(1﹣x)2=256.
故选:
A.
【点评】本题考查一元二次方程的应用,解决此类两次变化问题,可利用公式a(1+x)2=c,其中a是变化前的原始量,c是两次变化后的量,x表示平均每次的增长率.
本题的主要错误是有部分学生没有仔细审题,把答案错看成B.
8.如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,点C在⊙O上,如果∠P=50°,那么∠ACB等于( )
A.40°B.50°C.65°D.130°
【分析】连接OA,OB,先由切线的性质得出∠OBP=∠OAP=90°,进而得出∠AOB=130°,再根据圆周角定理即可求解.
解:
连接OA,OB.
根据切线的性质,得∠OBP=∠OAP=90°,
根据四边形的内角和定理得∠AOB=130°,
再根据圆周角定理得∠C=
∠AOB=65°.
故选:
C.
【点评】综合运用了切线的性质定理、四边形的内角和定理以及圆周角定理.
9.若二次函数y=x2﹣2x﹣m与x轴无交点,则一次函数y=(m+1)x+m﹣1的图象不经过( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【分析】先根据判别式的意义得到△=(﹣2)2﹣4(﹣m)<0,解得m<﹣1,然后根据一次函数的性质进行判断.
解:
∵二次函数y=x2﹣2x﹣m与x轴无交点,
∴△=(﹣2)2﹣4(﹣m)<0,解得m<﹣1,
∵m+1<0,m﹣1<0,
∴一次函数y=(m+1)x+m﹣1的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限.
故选:
A.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点:
把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了一次函数的性质.
10.下列命题不正确的是( )
A.任何一个成中心对称的四边形是平行四边形
B.平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
C.线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形
D.等边三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形
【分析】根据中心对称及轴对称图形的性质解答即可.
解:
A、正确,平行四边形是中心对称图形;
B、错误,平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形;
C、正确,符合中心对称图形的性质;
D、正确,符合轴对称图形的性质.
故选:
B.
【点评】主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
11.⊙O半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(3,4),则点P与⊙O的位置关系是( )
A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上
C.点P在⊙O外D.点P在⊙O上或外
【分析】本题先由勾股定理求得点P到圆心O的距离,再根据点与圆心的距离与半径的大小关系,来判断出点P与⊙O的位置关系.
当d>r时,点在圆外;
当d=r时,点在圆上;
当d<r时,点在圆内.
解:
∵点P的坐标为(3,4),
∴由勾股定理得,点P到圆心O的距离=
=5,
∴点P在⊙O上,故选B.
【点评】本题考查了点与圆的位置关系:
①点P在⊙O上;②点P在⊙O内;③点P在⊙O外.
12.已知一个三角形的三边长分别为5、7、8,则其内切圆的半径为( )
A.
B.
C.
D.
【分析】如图,AB=7,
BC=5,AC=8,内切圆的半径为r,切点为G、E、F,作AD⊥BC于D,设BD=x,则CD=5﹣x.由AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2,可得72﹣x2=82﹣(5﹣x)2,解得x=1,推出AD=4
,由
•BC•AD=
(AB+BC+AC)•r,列出方程即可解决问题.
解:
如图,AB=7,BC=5,AC=8,内切圆的半径为r,切点为G、E、F,作AD⊥BC于D,设BD=x,则CD=5﹣x.
由勾股定理可知:
AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2,
即72﹣x2=82﹣(5﹣x)2,解得x=1,
∴AD=4
,
∵
•BC•AD=
(AB+BC+AC)•r,
×5×4
=
×20×r,
∴r=
,
故选:
C.
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理、三角形的面积等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会利用面积法求内切圆的半径,属于中考常考题型.
二、填空(每小题3分共计18分)
13.直角三角形的两直角边长分别为8和6,则此三角形的外接圆半径是 5 .
【分析】根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点,由勾股定理求得斜边,即可得出答案.
解:
如图,∵AC=8,BC=6,
∴AB=
=10,
∴外接圆半径为5.
故答案为:
5.
【点评】本题考查了三角形的外接圆以及外心,注意:
直角三角形的外心是斜边的中点.
14.用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时,先假设 平行于同一条直线的两条直线相交 成立,然后经过推理与平行公理相矛盾.
【分析】先根据已知条件和反证法的特点进行假设,即可求出答案.
解:
根据反证法的第一步:
从结论的反面出发假设命题不成立,
故用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时,
第一个步骤是:
先假设平行于同一条直线的两条直线相交.
故答案为:
平行于同一条直线的两条直线相交.
【点评】本题主要考查了反证法,在解题时要根据反证法的特点进行假设是本题的关键.
15.如图,已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是 有两个同号不等实数根 .
【分析】根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为﹣3,判断方程ax2+bx+c+2=0的根的情况即是判断y=﹣2时x的值.
解:
∵y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,顶点坐标的纵坐标是﹣3,
∵方程ax2+bx+c+2=0,
∴ax2+bx+c=﹣2时,即是y=﹣2求x的值,
由图象可知:
有两个同号不等实数根,
故答案为:
有两个同号不等实数根.
【点评】此题主要考查了方程ax2+bx+c+2=0的根的情况,先看函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标纵坐标,再通过图象可得到答案.
16.已知:
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论中:
①abc<0;②b2﹣4ac>0;③3a+c<0;④(a+c)2<b2,⑤a+b+c>0
其中正确的序号是 ②③④ .
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解:
①抛物线对称轴位于y轴的左侧,a,b同号,即ab>0.
抛物线与y轴交于正半轴,则c>0.
所以abc>0.
故①错误.
②由抛物线与x轴有两个交点可得b2﹣4ac>0.
故②正确.
③抛物线开口方向向下,则a<0.
由于对称轴是x=﹣
,且﹣1<﹣
<0,
所以2a<b<0,
所以2a+a+c<b+a+c.
当x=1时,y<0,即a+b+c<0.
所以2a+a+c<b+a+c<0,即3a+
c<0.
故③正确.
④根据图象知道当x=1时,y=a+b+c<0,
根据图象知道当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,
所以(a+c)2﹣b2=(a+c+b)(a+c﹣b)<0.
所以(a+c)2<b2.
故④正确.
⑤根据图象知道当x=1时,y=a+b+c<0.
故⑤错误.
综上所述,正确的结论是②③④.
故答案是:
②③④.
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.
17.P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O的半径为5cm,则经过P点的最短弦长为 8 cm,最长弦长为 10 cm.
【分析】当弦与OP垂直时,弦最短,过P点经过圆心的弦最长.
解:
当弦与OP垂直时,弦最短,最短弦为8cm,
过P点经过圆心的弦最长为直径,最长弦为10cm.
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有:
当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上,当d<r时,点在圆内.
18.将△ABC绕着C(1,0)旋转180°得到△A1B1C,设点A的坐标为(a,b),则点A1的坐标为 (2﹣a,﹣b)
【分析】设点A1的坐标为(x,y),根据点A与点A1关于点C中心对称,可得点C为线段AA1的中点,进而得到点A1的坐标为(2﹣a,﹣b).
解:
设点A1的坐标为(x,y),
根据点A与点A1关于点C中心对称,可得点C为线段AA1的中点,
即
,
,
解得x=2﹣a,y=﹣b,
∴点A1的坐标为(2﹣a,﹣b),
故答案为:
(2﹣a,﹣b).
【点评】本题主要考查了中心对称,图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.
三、解答及证明(共计96分)
19.(10分)关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣x﹣2=0
(1)若x=﹣1是方程的一个根,求m的值及另一个根.
(2)当m为何值时方程有两个不同的实数根.
【分析】
(1)将x=﹣1代入原方程可求出m的值,将m的值代入原方程,利用分解因式法解方程即可得出方程的另一个根;
(2)根据二次项系数非零及根的判别式△>0,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出结论.
解:
(1)将x=﹣1代入原方程得m﹣1+1﹣2=0,
解得:
m=2.
当m=2时,原方程为x2﹣x﹣2=0,即(x+1)(x﹣2)=0,
∴x1=﹣1,x2=2,
∴方程的另一个根为2.
(2)∵方程(m﹣1)x2﹣x﹣2=0有两个不同的实数根,
∴
,
解得:
m>
且m≠1,
∴当m>
且m≠1时,方程有两个不同的实数根.
【点评】本题考查了根的判别式以及根的判别式,解题的关键是:
(1)带入x=﹣1求出m值;
(2)根据二次项系数非零及根的判别式△>0,找出关于m的一元一次不等式组.
20.(14分)已知二次函数解析式为y=2x2﹣4x﹣6.
(1)写出抛物线的开口方向,顶点M坐标,对称轴,最值;
(2)求抛物线与x轴交点A,B与y轴的交点C的坐标;
(3)作出函数的图象;
(4)观察图象:
x为何值时,y随x的增大而增大;
(5)观察图象:
当x何值时,y>0;当x何值时,y=0;当x何值时,y<0.
【分析】
(1)将函数解析式化为顶点式即可解答本题;
(2)根据函数解析式可以求得与x轴和y轴的交点,本题得以解决;
(3)根据
(1)、
(2)中求得的点的坐标可以画出相应的函数图象;
(4)根据图象可以解答本题;
(5)根据图象可以解答本题.
解:
(1)∵二次函数解析式为y=2x2﹣4x﹣6=2(x﹣1)2﹣8,
∴抛物线的开口向上,顶点M的坐标为(1,﹣8),对称轴是直线x=1,最小值是y=﹣8;
(2)∵二次函数解析式为y=2x2﹣4x﹣6,
∴当x=0时,y=﹣6,当y=0时,x1=3,x2=﹣1,
∴点A的坐标为(﹣1,0),点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,﹣6);
(3)函数图象如右图所示;
(4)由图象可知,当x>1时y随x的增大而增大;
(5)由图象可知,当x<﹣1或x>3时,y>0;
当x=﹣1或x=3时y=0;
当﹣1<x<3时y<0.
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值,解答本题的关键是明确题意,画出相应的函数图象,利用数形结合的思想解答.
21.(12分)△ABC在方格纸中位置如图所示
(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系,
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