北京高考数学真题与答案.docx
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北京高考数学真题与答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学(理工农医类)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合要求的.
(1)设集合A
{x|x2
1
0},B
{x|log2x0|},则A
B等于
(A){x|x
1}
(B){x|x
0}
(C){x|x
1}
(D){x|x
1或x1}
(2)设y140.9,y2
80.44,y3
(1)
1.5,则
2
(A)y3>y1>y2
(B)y2>y1>y3
(C)y1>y2>y3
(D)y1>y3>y2
(3)“osc2
3”是“
k
5
k
Z”的
2
12
(A)必要非充分条件
(B)充分非必要条件
(C)充分必要条件
(D)既非充分又非必要条件
(4)已知α,β是平面,m,n是直线.下列命题中不.正确的是
(A)若m∥n,m⊥α,则n⊥α
(B)若m∥α,α∩β=n,则m∥n
(C)若m⊥α,m⊥β,则α∥β
(D)若m⊥α,m
,则α⊥β
(5)极坐标方程
2cos2
2
cos
1
表示的曲线是
(A)圆
(B)椭圆
(C)抛物线
(D)双曲线
(6)若zC且
|z
2
2i|
1,则|z
2
2i|的最小值是
(A)2
(B)3
(C)4
(D)5
(7)如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为
(A)2
(B)3
(C)23
(D)1
2
3
2
(8)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆
4种蔬菜品种中选出
3种,分别种在不同土质的三块土地
上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有
(A)24种
(B)18种
(C)12种
(D)6种
(9)若数列
an
3n
2n
(1)n(3n
2n)
1,2,,则
的通项公式是an
2
n
-1-
lim(a1a2
an)等于
n
(A)11
(B)17
(C)19
(D)25
24
24
24
24
(10)某班试用电子投票系统选举班干部候选人
.全班k名同学都有选举权和被选举权,他
们的编号分别为
1,2,,,k,规定:
同意按“1”,不同意(含弃权)按“0”,令
1,第i号同学同意第j号同学当选.
其中i=1,2,,,k,且j=1,2,,,k,
aij
0,
第i号同学不同意第j号同学当选.
则同时同意第
1,2号同学当选的人数为
(A)a11
a12
a1k
a21
a22
a2k
(B)a11
a21
a1k
a12
a22
ak2
(C)a11a12
a21a22
ak1ak2
(D)a11a21
a12a22
a1ka2k
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.
x
2,
x
1.
(11)函数f(x)lg(1x2),g(x)0
|x|
1.
h(x)tg2x中,
是偶
x
2,x
1.
函数.
22
(12)以双曲线xy1右顶点为顶点,左焦点为焦点的抛物线的方程是
169
(13)如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线
长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积
是.
(14)将长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形,
要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周长应为.
三、解答题:
本大题共6小题,共84分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分13分)
-2-
已知函数
4
4
f
()
cos
x
2sin
x
cos
x
sin
x
.
x
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若x[0,],求f(x)的最大值、最小值.
2
(16)(本小题满分13分)
已知数列an是等差数列,且a12,a1a2a312.
(Ⅰ)求数列an的通项公式;
(Ⅱ)令bnanxn(xR).求数列bn前n项和的公式.
(17)(本小题满分15分)
如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3,侧棱AA1=33,D是CB延长线上一点,且
2
BD=BC.
(Ⅰ)求证:
直线BC1//平面AB1D;
(Ⅱ)求二面角B1—AD—B的大小;
(Ⅲ)求三棱锥C1—ABB1的体积.
(18)(本小题满分15
分)
如图,椭圆的长轴
A1A2与x轴平行,短轴B1B2在y
轴上,中心为M(0,r)(br
0).
(Ⅰ)写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率;
(Ⅱ)直线yk1x交椭圆于两点C(x1,y1),D(x2,y2)(y2
0);直线y
k2x交椭圆于
两点G(x3,y3),H(x4,y4)(
k1x1x2
k2x3x4
;
y40).求证:
x3x4
x1x2
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的
C,D,G,H,设CH交x轴于点P,GD交x轴于点Q.
求证:
|OP|=|OQ|.
(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形)
(19)(本小题满分14
分)
-3-
有三个新兴城镇,分别位于A,B,C三点处,且AB=AC=a,BC=2b.今计划合建一个中心
医院,为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上
的P点处,(建立坐标系如图)
(Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和为最小,
点P应位于何处?
(Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小,
点P应位于何处?
(20)(本小题满分14分)
设yf(x)是定义在区间[1,1]上的函数,且满足条件:
(i)f
(1)f
(1)0;
(ii)对任意的u,v[
1,1],都有|f(u)
f(v)||u
v|.
(Ⅰ)证明:
对任意的
x[
1,1],都有x
1f(x)
1
x;
(Ⅱ)证明:
对任意的
u,v
[1,1],都有|f(u)f(v)|
1;
(Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数
yf(x),且使得
|f(u)
f(v)||u
v|.当u,v
1
[0,].
2
|f(u)
f(v)|
|u
v|,当u,v
[
1
1].
2
若存在,请举一例:
若不存在,请说明理由.
-4-
2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学(理工农医类)答案
一、选择题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分50分.
(1)A
(2)D
(3)A
(4)B
(5)D
(6)B
(7)C
(8)B
(9)C
(10)C
二、填空题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
(11)f(x);g(x)
(12)y236(x4)
1
(13)r2(ab)
(14)
4
4
三、解答题:
本大题共
6小题,共
84分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)满分13
(Ⅰ)解析:
因为
f
x
cos
4
x
2sin
x
cos
x
sin
4
x
()
(cos2x
sin2x)(cos2xsin2x)
sin2x
cos2x
sin2x
2cos(2x
)
4
所以f(x)的最小正周期
2
.
T
2
-5-
(Ⅱ)解析:
因为0x
所以
2x
5.
2
4
4
4
当2x
时,cos(2x
)取得最大值
2;当2x
时,cos(2x
)取
4
4
4
2
4
4
得最小值-1.
所以f(x)在[0,
]上的最大值为
1,最小值为-2.
2
(16)满分13分.
(Ⅰ)解析:
设数列
{an}公差为
d,则
a1
a2
a3
3a1
3d
12,又a1
2,d2.
所以an
2n.(Ⅱ)解:
令Sn
b1
b2
bn,则由bn
anxn
2nxn,得
Sn
2
x
4
x
2
(2
n
2)
x
n1
2
n,①
nx
xSn
2
2
4
3
(2
2)
n
2
nx
n1,②
x
x
n
x
当x
1时,①式减去②式,得
(1
x)Sn
2(x
2
x
n
n
1
2x(1
xn)
n1
x
)
2nx
1
x
2nx,
所以Sn
2x(1xn)2nxn1
.
(1
x)2
1
x
当x
1时,
Sn
2
4
2n
n(n
1)
综上可得当x
1时,Snn(n
1)
当x
1时,Sn
2x(1xn)2nxn1
.
(1
x)2
1
x
(17)满分15分.
(Ⅰ)证明:
CD//C1B1,又BD=BC=B1C1,∴四边形BDB1C1是平行四边形,∴BC1//DB1.
又DB1平面AB1D,BC1平面AB1D,∴直线BC1//平面AB1D.
(Ⅱ)解析:
过B作BE⊥AD于E,连结EB1,
∵B1B⊥平面ABD,∴B1E⊥AD,
∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角,
∵BD=BC=AB,
∴E是AD的中点,BE
1AC
3.
2
2
在Rt△B1BE中,
-6-
B1B
3
3
2
∴∠B1EB=60°。
即二面角B1—AD—B的大小为60°
3.
tgB1BE
BE
3
2
(Ⅲ)解法一:
过
A作AF⊥BC于F,∵BB⊥平面ABC,∴平面ABC⊥平面BBCC,
1
1
1
∴AF⊥平面
BBCC,且AF=
3
3
3
3,VC1
ABB1
VA1
1
SB1B1C1AF
BB1C1
1
1
2
2
3
1
(
13
3
3)
3
3
27
即三棱锥
C1—ABB1的体积为
27
3
2
2
2
.
.
8
8
解法二:
在三棱柱
ABC—ABC中,
1
1
1
SABB
1
SAAB
VC1
ABB1
VC1
AA1B1
VAA1B1C1
1
1
1
SABC
AA1
1
3
2
3
3
27
即三棱锥
1
1
的体积为
27
(4
3)
.
C—ABB
.
3
1
1
1
3
4
2
8
8
(18)满分15分.
(Ⅰ)解析:
椭圆方程为
x2
(yr)
2
F1(
a
2
2
r),F2(a
2
2
r),
a2
b2
1,焦点坐标为
b
b
离心率e
a2
b2
.
a
(Ⅱ)证明:
将直线
CD的方程y
k1x代入椭圆方程,得
b2x2
a2(k1xr)2
a2b2,
整理得(b2
a2k12)x2
2k1a2rx(a2r2
a2b2)0.根据韦达定理,得
2k1a2r
a2r2
a2b2
所以x1x2
r2
b2
①
x1
x2
b2
a2k12,x1x2
b2
a2k12
x1
x2
2k1r
将直线GH的方程y
k2x代入椭圆方程,同理可得
x3x4
r2
b2
,
x3
x4
2k2r
由①,②得k1x1x2
r2
b2
k2x1x2
所以结论成立.
x1x2
2r
x1
x2
(Ⅲ)证明:
设点P(p,0),点Q(q,0),由C、P、H共线,
得x1
p
k1x1,解得p
(k1
k2)x1x2,
x2
pk2x2
k1x1k2x2
由D、Q、G共线,同理可得
-7-
q
(k1k2)x2x3由k1x1x2
k2x3x4,
k1x2
k2x3
x1
x2
x3x4
变形得
x2x3
x1x4
k1x2
k2x3
k1x1
k2x4
即(k1
k2)x2x3
(k1
k2)x1x4
k1x2
k2x3
k1x1
k2x4
所以|p||q|,即|OP||OQ|.
(19).满分14分.
(Ⅰ)解析:
由题设可知,
a
b
0,记
h
a
2
b
2
设
P
的坐标为(
,
y),则
P
0
至三镇距离的平方和为
f(y)
2(b2
y2)
(h
y)2
3(y
h)2
2h2
2b2.
所
3
3
以,当y
h时,函数f(y)取得最小值.
答:
点P的坐标是(0,
1
a2
b2).
3
3
(Ⅱ)解法一:
P至三镇的最远距离为
g(x)
b2
y2,当
b2
y2
|hy|,
y2
|hy|,当b2
|h
y|.
由
b2
y2
|h
y|解得y
h2
b2,记y*
h2
b2
于是
2h
2h
当
2
2
*
b
2
y
2
y
*
n
h
b
0,即h
b时,
2
2
g(y)
y
当y
b
y在[y,
)上是
|h
y|,当y
y
*
.
2h
增函数,而|h
y
|在(-
y*]上是减函数.
由此可知,当y
yn时,函数g(y)取得
最小值.
当y*
h2
b2
0,即h
b时,函数
b2
y2
在[
y*,
)上,当y
0时,
取
2h
得最小值b,而|h
y|在(-
y
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