《 等腰三角形》教案.docx

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《等腰三角形》教案

《等腰三角形》教案1

教学目标

知识与技能：

1、了解等腰三角形的概念；

2、探索并掌握等腰三角形的性质；

过程与方法：

1、经历动手制作出等腰三角形的过程，从对称轴的角度去体会等腰三角形的特点；

2、通过实践、观察、证明等腰三角形性质的过程，发展学生合情推理能力和演绎推理能力；

3、通过观察等腰三角形的对称性，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；

情感态度与价值观：

1、通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形的性质的过程中培养学生认真思考的习惯.

2、引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲；

教学重难点

教学重点：

1、等腰三角形的概念及性质．

2、等腰三角形性质的应用．

教学难点：

1、等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．

2、等腰三角形性质的证明.

教学过程

第一课时

第一环节：

回顾旧知导出公理

活动内容：

提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：

1.两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；

2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；

在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：

1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；

2.回忆全等三角形的性质.

活动目的：

经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回顾有关内容，既是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备；证明这个推论，可以让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备.

活动效果与注意事项：

由于有了前面的铺垫，学生一般都能得到该推论的证明思路，但由于有了一个暑假的遗忘，可能部分学生的表述未必严谨、规范，教学中注意提请学生分析条件和结论，画出简图，写出已知和求证，并规范地写出证明过程.具体证明如下：

已知：

如图，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.

求证：

△ABC≌△DEF.

证明：

∵∠A=∠D，∠B=∠E（已知），

又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），

∴∠C=180°-（∠A+∠B），

∠F=180°-（∠D+∠E），

∴∠C=∠F（等量代换）.

又BC=EF（已知），

∴△ABC≌△DEF（ASA）.

第二环节：

折纸活动探索新知

活动内容：

在提问：

“等腰三角形有哪些性质？

以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？

并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？

”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程.具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足.

→

→

活动目的：

通过折纸活动过程，获得有关命题的证明思路，并通过进一步的整理，再次感受证明是探索的自然延伸和发展，熟悉证明的基本步骤和书写格式.

活动效果与注意事项：

由于有了教师引导下学生的活动，以及具体的折纸操作，学生一般都能得到有关等腰三角形的性质定理，当然，可能部分学生得到的定理并不全面，在学生小组的交流中，通过同伴的互相补充，一般都可以得到所有性质定理.当然，在教学过程中，教师应注意小组的巡视，提醒学生思考多种证明思路，思考不同的辅助线之间的关系从而得到“三线合一”.

第三环节：

明晰结论和证明过程

活动内容：

在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明，其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程.

（1）等腰三角形的两个底角相等；

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合

活动目的：

和学生一起完成性质定理的证明，可以让学生自主经历命题的证明过程；明晰证明过程，意图给学生明晰一定的规范，起到一种引领作用；活动2，则是前面命题的直接推论，力图让学生形成拓广命题的意识，同时也是一个很好的巩固练习.

《等腰三角形》教案2

第一环节：

提出问题，引入新课

活动内容：

在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：

在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗？

你能证明你的结论吗？

活动目的：

回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力.

第二环节：

自主探究

活动内容：

在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中线、高等），观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明.

活动目的：

让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性.

活动效果与注意事项：

活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：

你可能得到哪些相等的线段？

你如何验证你的猜测？

你能证明你的猜测吗？

试作图，写出已知、求证和证明过程；

还可以有哪些证明方法？

通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：

等腰三角形两个底角的平分线相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中线相等．

并对这些命题给予多样的证明.

如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法：

例1已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．

求证：

BD=CE．

证法1：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．

∵∠1=

∠ABC，∠2=

∠ABC，

∴∠1=∠2．

在△BDC和△CEB中，

∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．

∴△BDC≌△CEB（ASA）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）

证法2：

证明：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

又∵∠3=∠4．

在△ABC和△ACE中，

∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．

∴△ABD≌△ACE（ASA）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．

在证明过程中，学生思路一般还较为清楚，但毕竟严格证明表述经验尚显不足，因此，教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求，因此，注意请学生板书其中部分证明过程，借助课件展示部分证明过程；可能部分学生还有一些困难，注意对有困难的学生给予帮助和指导.

第三环节：

经典例题变式练习

活动内容：

提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？

并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：

在课本图1—4的等腰三角形ABC中，

（1）如果∠ABD=

∠ABC，∠ACE=

∠ACB呢？

由此，你能得到一个什么结论？

（2）如果AD=

AC，AE=

AB，那么BD=CE吗？

如果AD=

AC，AE=

AB呢？

由此你得到什么结论？

活动目的：

提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性.

活动注意事项与效果：

教学中应注意对学生的引导，因为学生先前这样的经验比较少，可能学生一时不知如何研究问题，教师可以引导学生思考：

把底角二等份的线段相等．如果是三等份、四等份……结果如何呢？

从而引出“议一议”.

由于课堂时间有限，如果学生全部解决上述问题，时间不够，可以在引导学生提出上述这些问题的基础上，让学生证明其中部分问题，而将其余问题作为课外作业，延伸到课外；当然，也可以对不同的学生提出不同的要求，如普通学生仅仅证明其中部分问题，而要求部分学优生解决所有的问题，甚至要求这部分学优生思考“还可以提出哪些类似问题，你是如何想到这些问题的”.

在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法.

下面是学生的课堂表现：

[生]在等腰三角形ABC中，如果∠ABD=

∠ABC，那么BD=CE．这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似．证明如下：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．

又∵∠ABD=

∠ABC，∴∠ACE=

∠ACB，

∴∠ABD=∠ACE．

在△BDC和△CEB中，

∵∠ABD=∠ACE，BC=CB，∠ACB=∠ABC，

∴△BDC≌△CEB（ASA）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）

[生]如果在△ABC中，AB=AC，∠ABD=

∠ABC，∠ACE=∠

∠ACB，那么BD=CE也是成立的．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，利用等量代换便可得到∠ABD=∠ACE，△BDC与△CEB全等的条件就能满足，也就能得到BD=CE．由此我们可以发现：

在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠

∠ABC，∠ACE=

∠ACB，就一定有BD=CE成立．

[生]也可以更直接地说：

在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE．

[师]这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论．请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来．（教师可巡视指导）下面我们来讨论第

（2）问，请小组代表发言．

[生]在△ABC中，AB=AC，如果AD=

AC，AE=

AB，那么BD=CE；如果AD=

AC，AE=

AB，那么BD=CE．由此我们得到了一个更一般的结论：

在△ABC中，AB=AC，AD=

AC，AE=

AB，那么BD=CE．证明如下：

∵AB=AC．

又∵AD=

AC，AE=

AB，

∴AD=AE．

在△ADB和△AEC中，

AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．

[生]一般结论也可更简洁地叙述为：

在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE．

[师]这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果．例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组．这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的．

第四环节：

拓展延伸，探索等边三角形性质

活动内容：

提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：

等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.

已知：

如图，ΔABC中，AB=BC=AC．

求证：

∠A=∠B=∠C=60°.

证明：

在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）．

同理：

∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．

又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°．

活动效果：

学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°”的证明过程：

第五环节：

随堂练习及时巩固

活动内容：

在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习.

1.如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形.

求证:

AE=CD

活动意图：

在巩固等边三角形的性质的同时，进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式.

《等腰三角形》教案3

第一环节：

提问问题，引入新课

活动内容：

教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：

等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？

又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？

从而引入新课.

活动目的：

开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫.

活动效果：

在老师的引导下，一般学生都能得出等边三角形的性质；对于等边三角形的判别，学生可能会出现多种情况，如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分步进行，现确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形.这是教师可以适时提出问题：

如果已知一个三角形是等边三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢？

下面是实际教学中的部分师生活动实况：

[生]等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成了等边三角形．

[生]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°．我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，等腰三角形就是等边三角形了．

（此时，部分同学同意此生的看法，部分同学不同意此生的看法，引起激烈地争论．教师可让同学代表充分发表自己的看法．）

[生]我不同意这位同学的看法．因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边，三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等．但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费！

[师]给三个角都是60°，这个条件的确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？

下面同学们可在小组内交流自己的看法．

（2）你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？

你能证明你的结论吗？

把你的证明思路与同伴交流．

（教师应给学生自主探索、思考的时间）

第二环节：

自主探索

活动内容：

学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：

性质

判定的条件

等腰三角形（含等边三角形）

等边对等角

等角对等边

“三线合一”即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合

有一角是60°

等边三角形三个角都相等，且每个角都是60°

三个角都相等的三角形是等边三角形

活动目的：

经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的自主探究能力.

活动注意事项与效果：

由于有了第1环节的铺垫，学生多能探究出：

顶角是60°的等腰三角形是等边三角形；

底角是60°的等腰三角形是等边三角形；

三个角都相等的三角形是等边三角形；

三条边都相等的三角形是等边三角形.

对于前两个定理的形式相近，教师可以进一步提出要求：

能否用更简捷的语言描述这个结论吗？

从而引导学生得出：

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

在学生得出这些结论的基础上，教师注意引导学生说明道理，给出证明的思路，选择部分命题，给与严格的证明，由于“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的证明需要分类讨论，因此，可以以此问题作为对学生证明的要求，并与同伴交流证明思路．并要求学生思考证明中的注意事项，从而点明其中的分类思想，提请学生注意：

思考问题要全面、周到．

第三环节：

实际操作提出问题

活动内容：

教师直接提出问题：

我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：

含30°角的直角三角形.拿出三角板，做一做：

用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？

能拼出一个等边三角形吗？

在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？

说说你的理由．

活动目的：

让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

活动注意事项与效果：

学生一般可以得出下面两种图形：

其中第1个图形是等边三角形，对于该图学生也可以得出BD=

AB，从而得出：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

注意，教学过程中，教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形.具体的说明过程可以如下：

方法1：

因为△ABD≌ACD，所以AB=AC．又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

方法2：

图

（1）中，∠B=∠C=60，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．

如果学生不能很快得出30度所对直角边是斜边一半，教师可以在图上标出各个字母，并要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么结论.然后在学生得到该结论的基础上，再证明该定理.

定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．

求证：

BC=

AB．

分析：

从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．

证明：

在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°.

延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如图所示）．

∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°

∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．

∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．

∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．

∴BC=

BD=

AB．

第四环节：

变式训练巩固新知

活动1：

直接提请学生思考刚才命题的逆命题：

在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°吗？

如果是，请你证明它．

在师生分析的基础上，给出证明：

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=

AB．

求证：

∠BAC=30°

证明：

延长BC至D，使CD=BC，连接AD.

∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．

又∵AC=AC．

∴△ACB≌△ACD（SAS）．

∴AB=AD．

∵CD=BC，∴BC=

BD．

又∵BC=

AB，∴AB=BD．

∴AB=AD=BD，

即△ABD是等边三角形．

∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．

注意事项：

该命题的证明中辅助线较复杂，但恰有前面原命题探究活动过程的铺垫，可以给学生一些启示，因此，教学中，教师可以引导学生思考：

从前面定理证明的辅助线的作法中能否得到启示？

活动2：

呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题.

例题3等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高CD的长.

分析：

观察图形可以发现在Rt△ADC中，AC=2a而∠DAC是△ABC的一个外角，而∠DAC=×15°=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD．

解：

∵∠ABC=∠ACB=15°

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°

∴CD=

AC=

×2a=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．

例4已知：

如课本第108页图，AB=DC，BD=CA.求证：

△AED是等腰三角形.

小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对边的边也不相等.你认为这个结论成立吗？

如果成立，你能证明它吗？

小明是这样想的：

如图，在△ABC中，已知∠B=∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等.

假设AB=AC，那么“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件∠B≠∠C.“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.

小明在证明时，先假设命题的结论成立，然后推导出定义、基本事实、已有定理或已知条件矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.

反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时，它常常会有出人意料的作用.