高考数学全国卷及答案理.docx
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高考数学全国卷及答案理
2001年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.
3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式:
三角函数的积化和差公式
正棱台、圆台的侧面积公式
S台侧
其中c′、c分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长
台体的体积公式
V台体
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
(1)若siniθcosθ>0,则θ在()
(A)第一、二象限
(B)第一、三象限
(C)第一、四象限
(D)第二、四象限
(2)过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是()
(A)(x-3)2+(y+1)2=4
(B)(x+3)2+(y-1)2=4
(C)(x-1)2+(y-1)2=4
(D)(x+1)2+(y+1)2=4
(3)设{an}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是()
(A)1
(B)2
(C)4
(D)6
(4)若定义在区间(-1,0)的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是()
(A)(
)
(B)
(C)(
,+∞)
(D)(0,+∞)
(5)极坐标方程
的图形是()
(6)函数y=cosx+1(-π≤x≤0)的反函数是()
(A)y=-arccos(x-1)(0≤x≤2)
(B)y=π-arccos(x-1)(0≤x≤2)
(C)y=arccos(x-1)(0≤x≤2)
(D)y=π+arccos(x-1)(0≤x≤2)
(7)若椭圆经过原点,且焦点为F1(1,0)F2(3,0),则其离心率为()
(A)
(B)
(C)
(D)
(8)若0<α<β<
,sinα+cosα=α,sinβ+cosβ=b,则()
(A)a<b
(B)a>b
(C)ab<1
(D)ab>2
(9)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若
,则AB1与C1B所成的角的大小为()
(A)60°
(B)90°
(C)105°
(D)75°
(10)设f(x)、g(x)都是单调函数,有如下四个命题:
①若f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递增;
②若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递增;
③若f(x)单调递减,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递减;
④若f(x)单调递减,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递减.
其中,正确的命题是()
(A)①③
(B)①④
(C)②③
(D)②④
(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:
①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则()
(A)P3>P2>P1
(B)P3>P2=P1
(C)P3=P2>P1
(D)P3=P2=P1
(12)如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为()
(A)26
(B)24
(C)20
(D)19
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
注意事项:
1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二.填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为
,则这个圆锥的侧面积是
(14)双曲线
的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线上.若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为
(15)设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.若{Sn}是等差数列,则
q=
(16)圆周上有2n个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为
三.解答题:
本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,
.
(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积;
(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
(18)(本小题满分12分)
已知复数z1=i(1-i)3.
(Ⅰ)求argz1及
;
(Ⅱ)当复数z满足
=1,求
的最大值.
(19)(本小题满分12分)
设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
(20)(本小题满分12分)
已知i,m,n是正整数,且1<i≤m<n.
(Ⅰ)证明
;
(Ⅱ)证明(1+m)n>(1+n)m.
(21)(本小题满分12分)
从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少
.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
.
(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元.写出an,bn的表达式;
(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?
(22)(本小题满分14分)
设f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称.对任意x1,x2∈[0,
]都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2).且f
(1)=a>0.
(Ⅰ)求f(
)及f(
);
(Ⅱ)证明f(x)是周期函数;
(Ⅲ)记an=f(2n+
),求
.
2001年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准
说明:
一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生物解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定部分的给分,但不得超过该部分正确解答得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一.选择题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分60分.
(1)B
(2)C(3)B(4)A(5)C
(6)A(7)C(8)A(9)B(10)C
(11)D(12)D
二.填空题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
(13)2π(14)
(15)1(16)2n(n-1)
三.解答题:
(17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算,以及空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.
解:
(Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是
M底面
,……2分
∴四棱锥S—ABCD的体积是
M底面
.……4分
(Ⅱ)延长BA、CD相交于点E,连结SE则SE是所求二面角的棱.……6分
∵AD∥BC,BC=2AD,
∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB,
∵SA⊥面ABCD,得SEB⊥面EBC,EB是交线,
又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB,
故SB是CS在面SEB上的射影,
∴CS⊥SE,
所以∠BSC是所求二面角的平面角.……10分
∵
,BC=1,BC⊥SB,
∴tan∠BSC
.
即所求二面角的正切值为
.……12分
(18)本小题考查复数基本性质和基本运算,以及分析问题和解决问题的能力.满分12分.
解:
(Ⅰ)z1=i(1-i)3=2-2i,
将z1化为三角形式,得
,
∴
,
.……6分
(Ⅱ)设z=cosα+isinα,则
z-z1=(cosα-2)+(sinα+2)i,
(
),……9分
当sin(
)=1时,
取得最大值
.
从而得到
的最大值为
.……12分
(19)本小题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力.满分12分.
证明一:
因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(
,0),所以经过点F的直线的方程可设为
;……4分
代入抛物线方程得
y2-2pmy-p2=0,
若记A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是该方程的两个根,所以
y1y2=-p2.……8分
因为BC∥x轴,且点c在准线x=-
上,所以点c的坐标为(-
,y2),故直线CO的斜率为
.
即k也是直线OA的斜率,所以直线AC经过原点O.
……12分
证明二:
如图,记x轴与抛物线准线l的交点为E,过A作AD⊥l,D是垂足.则
AD∥FE∥BC.……2分
连结AC,与EF相交于点N,则
,
……6分
根据抛物线的几何性质,
,
,……8分
∴
,
即点N是EF的中点,与抛物线的顶点O重合,所以直线AC经过原点O.……12分
(20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力.满分12分.
(Ⅰ)证明:
对于1<i≤m有
=m·…·(m-i+1),
…
,
同理
…
,……4分
由于m<n,对整数k=1,2…,i-1,有
,
所以
,即
.……6分
(Ⅱ)证明由二项式定理有
,
,……8分
由(Ⅰ)知
>
(1<i≤m<n=,
而
,
,……10分
所以,
(1<i≤m<n=.
因此,
.
又
,
,
.
∴
.
即(1+m)n>(1+n)m.……12分
(21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.
解:
(Ⅰ)第1年投入为800万元,第2年投入为800×(1-
)万元,……,第n年投入为800×(1-
)n-1万元.
所以,n年内的总投入为
an=800+800×(1-
)+…+800×(1-
)n-1
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