湖北省武汉市武昌区届高三元月调研考试数学理试题全WORD版1.docx

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湖北省武汉市武昌区届高三元月调研考试数学理试题全WORD版1

武昌区2019届高三元月调研考试

数学理

试题

一、选择题：

本题共

12小题，每小题

5分，共60

分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1

i

（

）

1．

3i

1

i

A．i

B．2i

C．13i

D．13i

2．已知集合A

{x|log2（x

1）1},B

{x|xa

2}，若A

B，则实数a的取值范围为（

）

A．（1,3）

B．

[1,3]

C．[1,

）

D．（

3]

3．已知向量a

（2,1）,b（2,x）不平行，且满足

a2b

a

b，则x

（

）

A．

1

B．

1

C．1或

1

D．1或

1

2

2

2

2

4．函数f（x）

x2ex

）

的图象大致为（

x

5．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的

s

（

）

A．26

B．102

C．410

D．512

x

4y

3≤0

6．设x,y满足约束条件x

2y

9≤0，则z

2x

y的取值范围为（

x≥1

A．[2,6]

B．[3,6]

C．[3,12]

7．已知函数f（x）3sinxcosx（0）的最小正周期为2，则

（）

开始

n1,s0

s2ns

nn2

否

n≥8?

是

输出s

结束

）

D．[6,12]

f（x）的单调递增区间是

A．2k

2k

（kZ）

B．2k

2k

2

（kZ）

6

6

3

3

2

2k

（kZ）

D．2k

5

（kZ）

C．2k

2k

3

3

6

6

8．已知a、b是区间[0,4]

上的任意实数，则函数

f（x）ax2

bx

1在[2,

）上单调递增的概率

为

（）

1

3

5

7

A．

B．

C．

D．

8

8

8

8

9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则此四面体的体积为

（）

3248

A．B．C．32D．48

33

10．已知正三棱锥S

ABC的所有顶点都在球

O的球面上，棱锥的底面是边长为

23的正三角形，

侧棱长为

25

，则球O的表面积为（

）

A．10

B．25

C．100

D．125

11

M

C:

x2

y2

0）

A,F

分别为双曲线C的左顶点

．已知

为双曲线

a2

b21（a0,b

的右支上一点，

和右焦点，线段

FA的垂直平分线过点

M，

MFA60，则C的离心率为（

）

A．6

B．4

C．3

D．2

12．已知函数

f（x）

1x3

a

1x2

x2，则f（x）的零点个数可能有（

）

3

2

A．1个

B．1个或2个

C．1个或2个或3个

D．2个或3个

二、填空题：

本题共

4小题，每小题

5分，共20分．把答案填在题中的横线上．

13．（x

1）（x

2）3的展开式中x2的系数为

．（用数字填写答案）

14．已知f（x）是定义域为R的奇函数，且函数y

f（x1）为偶函数，当

0≤x≤1时，f（x）

x3

，

5

．

则f

2

15．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和．已知S1,S2,S4成等比数列，且a35，

则数列{an}的通项公式为．

16．过点M（m,0）作直线l1、l2与抛物线E:

y24x相交，其中l1与E交于A、B两点，l2与E交

于C、D两点，AD过E的焦点F．若AD、BC的斜率k1、k2满足k12k2，则实数m的值

为．

三、解答题：

共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：

共60分．

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinAsinB

cos2C，

2

（c3b）sinC

（ab）（sinAsinB）．

（1）求

A和

B的大小；

（2）若

△ABC的面积为

3，求BC边上中线AM的长．

18．（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC

A1B1C1中，ABAC

AA1BC1

2,ACA130,BC6．

（1）求证：

平面ABC1

平面AAC11C；

B1

B

（2）求二面角B1

AC1

C的余弦值．

C1

C

A1

A

19．（本小题满分12分）

某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”

（记为l，单位：

cm），先从中随机抽取100件，

测量发现全部介于85cm和155cm之间，得到如下频数分布表：

分组

[85，95）

[95，105）

[105，115）

[115，125）

[125，135）

[135，145）

[145，155]

频数

2

9

22

33

24

8

2

已知该批产品的质量指标值服从正态分布

N（,

2），其中

近似为样本的平均数x，

2近似为样

本方差s2

（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．

（1）求P（132.2l144.4）；

（2）公司规定：

当l≥115

时，产品为正品；当l115

时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，

若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记

为生产一件这种产品的利润，

求随机变量

的分布列和数学期望．

参考数据：

150

12.2

．

若X～N（,

2），则P（

X≤

）0.6826,P（2X≤

2）

0.9544，

P（

3

X≤

3

）

0.9974．

20．（本小题满分12分）

设F1、F2分别为椭圆E:

x2

y2

1的左、右焦点，动点P（x0,y0）（y0

0,y01）在E

2

上．

F1PF2

的平分线交x轴于点M（m,0），交y轴于点N，过F1、N的直线l交E于C、D两点．

（1）若m

1

，求x0的值；

2

（2）研究发现x0

始终为定值，写出该定值（不需要过程）

，并利用该结论求△F2CD面积的取值范

m

围．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）lnx

1

ax2

1

x

3

．

4

2

4

（1）当a

1时，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）存在两个极值点

x1,x2，且x1

f（x1）

f（x2）

1

．

x2，证明：

x2

2a

x1

4

（二）选考题：

共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．

22．【选修4—4：

坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C1

x

t

x轴正

的参数方程为

（t为参数）．在以坐标原点为极点，

y

3t

半轴为极轴的极坐标系中，曲线

C2的极坐标方程为

4cos．

（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2相交于A、B两点，求△OAB的面积．

23．【选修4—5：

不等式选讲】（本小题满分10分）

已知f（x）x1axa1．

（1）当a1时，求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若x≥1时，不等式f（x）≥x2恒成立，求a的取值范围．

武昌区2019届高三年级元月调研考试理科数学参考答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

B

B

A

A

B

C

B

D

A

B

B

A

13

6

14

1

15

an2n

1

16

2

8

17．解析：

（1）因为（c

3b）sinC

（a

b）（sinA

sinB），所以（c

3b）c

（a

b）（a

b），

所以a2

b2

c2

3bc，即cosA

3

，所以A

30

，

2

因为sinAsinB

cos2

C，所以sinAsinB

1cosC，即sinB

1

cosC，

2

2

因为BC

150，所以sinB

1cos（150

B）

1cos150cosB

sin150

sinB，

即1sinB

3cosB

sinB

60

1，所以B

30

．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6

2

2

分

（2）a

b,C

120，因为S△ABC

1absinC

3a2

3，所以a

b2，

2

4

在△ACM中，AM2

AC2

CM2

2AC

CMcos12041

212

1

7，

2

所以AM7．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分

C

M

AB

18．解析：

（1）记

AC

AC1O

，连结

BO．因为

AB

BC1

，所以

BO

AC1

．

1

由题意知△ACC为正三角形，求得

CO

3，在△ABC中求得BO

3，又BC

6，

1

1

所以

2

2

2

O

BC

CO

BO

，所以BO

CO．因为

1

，所以BO

平面

11

．

COAC

AACC

因为BO

平面ABC1

，所以平面ABC1

平面AAC11C．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6分

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则

A（0,1,0）,C1（0,

1,0）,C（

3,0,0）,B1（3,

1,

3），

AC（0,2,0）,AB1（3,2,3）．

因为BO

平面AACC，所以平面AACC的法向量为

m

（0,0,

3）

．

1

1

1

1

设平面AB1C1

的法向量为n

（x,y,z）

n

AC

2y

0

，取x

1，则

，则

AB1

3x

n

2y3z0

y0,z

1，

所以n

（1,0,

1）．

所以cosm,n

mn

3

3

2，因为所求二面角的平面角为钝角，

m

n

2

2

所以所求二面角B1

AC1

C的余弦值为

2

12分

．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2

z

B1B

C1

O

A1

A

x

C

y

19．解析：

（1）抽取产频质量指标值的样本平均数为：

x

90

0.02

100

0.09

110

0.22

120

0.33

130

0.24

140

0.08

150

0.02

120，

抽取产品质量指标值的方差为：

2

900

0.02

400

0.09

100

0.22

0

0.33

100

0.24

400

0.08

900

0.02

150，

因为l～N（120,150）,

150

12.2

，

P（

l≤

）

P（120

l≤132.2）

1

0.3413,

0.6826

2

P（

l≤

2

）

P（120

l≤144.4）

10.9544

0.4772,

2

P（132.2

l144.4）

P（120l≤144.4）

P（120

l≤132.2）

0.1359．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

（2）由频数分布表得：

P（l

115）

0.02

0.09

0.22

0.33,p（l≥115）

10.330.67．

随机变量

的取值为90,

30，且P（

90）

0.67,P（

30）

0.33．

则随机变量

的分布列为：

90

30

P

0.67

0.33

所以E

90

0.67

30

0.33

50.4．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

12

分

20．解析：

（1）由题意知F1（

1,0）,F2（1,0）

．

直线PF的方程为y

0

y0

0（x

1），即yx

（x

0

1）y

y

0

0，

1

x0

1

0

直线PF2的方程为y

0

y0

0

（x

1），即y0x

（x0

1）y

y0

0．

x0

1

1

1y

y

1y

y

由点M

0

到PF1和PF2的距离相等，得

2

0

0

2

0

0

．

（*）

2

y02

y02

（x0

1）2

（x01）2

其中

2

2

1

2

2

2

y0

（x0

1）

1

2

x0

（x01）

2

x0

2，

2

2

1

2

2

2

y0

（x0

1）

1

2x0

（x0

1）

2

x0

2，且

2x0

2．

所以（*）式可化为

3

1

，解得x

1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4

x0

2

2

x0

0

分

（2）定值为

2，即x0

2．

m

直线PM的方程为y

0

y0

0

m），令x0，并考虑x0

2m，得y

y0．

x0

（x

m

所以点N的坐标为（0,y0

），从而过F1、N的直线l的方程为y0

0y0（x1），即

1

0

yy0（x

1）

，