第41 47节课 课时教学设计.docx
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第4147节课课时教学设计
第41节课课时教学设计
第周年月日
(1)关于2×103·a,下列说法中正确的是()
A.系数是2,次数是1B.系数是2,次数是4
C.系数是2×103,次数是0D.系数是2×103,次数是1
(2)下列各式中,哪些是单项式?
哪些是多项式?
哪些不是整式?
-2a2,
xy,
(m-n),0,
,1+
,x2+
+1,x.
前提测评及导入新课
§14.1.1同底数幂的乘法
一、计算机运算次数:
1012×103
计算1012×103=
×(10×10×10)=
=10
二、算一算,找规律
1.25×22=(2×2×2×2×2)×(2×2)=
=27;
2.a3·a2=(a·a·a)·(a·a)=a·a·a·a·a=a5;
3.5m·5n=
×
=
=5m+n
三、同底数幂的乘法法则:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.即am·an=am+n(m、n都是正整数)四、例题讲解:
(由学生板演)
课题与板书设计
教学知识点
1.理解同底数幂的乘法法则.
2.运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.
3.通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用,使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律.
情感与价值观要求
体味科学的思想方法,接受数学文化的熏陶,激发学生探索创新的精神.
教学目标(知识点,能力提高与思想教育,情感目标)
教学重点
正确理解同底数幂的乘法法则.
教学难点
正确理解和应用同底数幂的乘法法则.
教学重点,教学难点
多媒体课件
教学与学习手段
教学方式:
讲解法,引导法,鼓励法,提问法,练习法
学习方式:
听课,做练习,参加思考
教学方法与学习方法
课前三分钟教育
教学过程设计
复习an的意义:
an表示n个a相乘,我们把这种运算叫做乘方.乘方的结果叫幂;a叫做底数,n是指数.(出示投影片)
问题:
一种电子计算机每秒可进行1012次运算,它工作103秒可进行多少次运算?
[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢?
[生]运算次数=运算速度×工作时间
所以计算机工作103秒可进行的运算次数为:
1012×103.
[师]1012×103如何计算呢?
[生]根据乘方的意义可知
1012×103=
×(10×10×10)=
=1015.
[师]很好,通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式,所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法.根据实际需要,我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法.
Ⅱ.导入新课
1.做一做
出示投影片:
计算下列各式:
(1)25×22
(2)a3·a2
(3)5m·5n(m、n都是正整数)
你发现了什么?
注意观察计算前后底数和指数的关系,并能用自己的语言描述.
[师]根据乘方的意义,同学们可以独立解决上述问题.
[生]
(1)25×22=(2×2×2×2×2)×(2×2)
=27=25+2.
因为25表示5个2相乘,;22表示2个2相乘,根据乘方的意义,同样道理可得
a3·a2=(a·a·a)·(a·a)=a5=a3+2.
5m·5n=
×
=5m+n.
(让学生自主探索,在启发性设问的引导下发现规律,并用自己的语言叙述).
[生]我们可以发现下列规律:
(一)这三个式子都是底数相同的幂相乘.
(二)相乘结果的底数与原来底数相同,指数是原来两个幂的指数的和.
2.议一议
am·an等于什么(m、n都是正整数)?
为什么?
am·an表示同底数幂的乘法.根据幂的意义可得:
am·an=
·
=
=am+n
于是有am·an=am+n(m、n都是正整数),用语言来描述此法则即为:
“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”.
[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”的道理,深刻理解同底数幂的乘法法则.
[生]am表示n个a相乘,an表示n个a相乘,am·an表示m个a相乘再乘以n个a相乘,也就是说有(m+n)个a相乘,根据乘方的意义可得am·an=am+n.
[师]也就是说同底数幂相乘,底数不变,指数要降一级运算,变为相加.
3.例题讲解出示投影片
[例1]计算:
(1)x2·x5解:
x2·x5=x2+5=x7.
(2)a·a6解:
a·a6=a1·a6=a1+6=a7.
(3)2×24×23解:
2×24×23=21+4·23=25·23=25+3=28.(4)xm·x3m+1解:
xm·x3m+1=xm+(3m+1)=x4m+1.
[例2]计算am·an·ap后,能找到什么规律?
解法一:
am·an·ap=(am·an)·ap=am+n·ap=am+n+p;
解法二:
am·an·ap=am·(an·ap)=am·an+p=am+n+p.
解法三:
am·an·ap=
·
·
=am+n+p.
评析:
解法一与解法二都直接应用了运算法则,同时还用了乘法的结合律;解法三是直接应用乘方的意义.三种解法得出了同一结果.我们需要这种开拓思维的创新精神.
[生]那我们就可以推断,不管是多少个幂相乘,只要是同底数幂相乘,就一定是底数不变,指数相加.
[师]是的,能不能用符号表示出来呢?
[生]am1·am2·…·amn=am1+m2+mn
[师]太棒了.那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了.
2×24×23=21+4+3=28.
Ⅲ.随堂练习
1.课本P166练习:
计算
(1)b5·b
(2)10×102×103(3)-a2·a6(4)y2n·yn+1
解:
(1)b5·b=b5+1=b6.
(2)10×102×103=101+2+3=106.
(3)-a2·a6=(-1)·(a2·a6)=(-1)·a2+6=(-1)a8=-a8.(4)y2n·yn+1=y2n+n+1=y3n+1.
2.判断(正确的打“∨”,错误的打“×”)
(1)x3·x5=x15(×)
(2)x·x3=x3(×)
(3)x3+x5=x8(×)(4)x2·x2=2x4(×)
(5)a3·a2-a2·a3=0(∨)(6)(-x)2·(-x)3=(-x)5=-x5(∨)
(7)a3·b5=(ab)8(×)(8)y7+y7=y14(×)
Ⅳ.课时小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质,请同学们谈一下有何新的收获和体会呢?
[生]在探索同底数幂乘法的性质时,进一步体会了幂的意义.了解了同底数幂乘法的运算性质.
[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变,指数相加.应用这个性质时,我觉得应注意两点:
一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质;二是运用这个性质计算时一定是底数不变,指数相加,即am·an=am+n(m、n是正整数).
备课资料
一、参考例题
1.计算:
(1)a3·a4
(2)x3·x(3)y5·y3
(4)105·10·103(5)x7·x·xn(6)y·y2·y3·y4
2.利用同底数幂相乘的性质进行计算与利用幂的意义进行计算相比较,有什么简便之处?
(化幂的乘法运算为指数的加法运算)
3.计算
(1)(2a+b)2n+1·(2a+b)3·(2a+b)m-4
(2)(x-y)2·(y-x)5
过程:
①可以把2a+b、x-y看作一个整体.
②(x-y)2=(y-x)2·(y-x)5=-(x-y)5
③同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
所以(2a+b)2n+1·(2a+b)3·(2a+b)m-4(x-y)2·(y-x)5
=(2a+b)2n+1+3+m-4=(y-x)2·(y-x)5
=(2a+b)2n+m;=(y-x)2+5
=(y-x)
[例1]计算:
(1)108·102;
(2)x2·x3;(3)an+2·an+1·an.
分析:
运用同底数幂的运算性质计算.
解答:
(1)108·102=108+2=1010;
(2)x2·x3=x2+3=x5;
(3)an+2·an+1·an=an+2+n+1+n=a3n+3.
二、同底数幂的乘法常用的几种恒等变形.
(a-b)=-(b-a)(a-b)2=(b-a)2
(a-b)3=-(b-a)3(a-b)2n-1=-(b-a)2n-1(n为正整数)
(a-b)2n=(b-a)2n(n为正整数
作
业
练习册有关部分
课
后
反
思
教研组长意见:
年月日
第42节课课时教学设计
第周年月日
计算
(1)35·(-3)3·(-3)2;
(2)xp·(-x)2p·(-x)2p+1(p为正整数);
(3)-a2·(-a)4·(-a)3;
(4)32×(-2)2n·(-2)(n为正整数).
前提测评及导入新课
§14.1.2幂的乘方
一、提出问题:
(102)3、(103)3如何算?
二、温故知新,发现规律:
(102)3=102×102×102=102+2+2=106=102×3(103)3=103×103×103=103+3+3=10+9=103×3
(32)3=32×32×32=32+2+2=36=32×3(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6=a2×3
(am)3=am·am·am=am+m+m=a3m
(am)n=
=
=amn
三、幂的乘方的运算法则
幂的乘方,底数不变,指数相乘.(am)n=amn(m、n都是正整数).
四、例题五、小结
课题与板书设计
教学知识点
1.经历探究幂的乘方的运算法则的过程,进一步体会幂的意义.
2.了解幂的乘方的运算法则,并能解一些实际问题.
3.学习幂的乘方的运算法则,提高解决问题的能力.
情感与价值观要求
在发展推理能力和有条理的表达能力的同时,提高学习数学的兴趣,培养学习数学的信心,感受数学的简洁美.
教学目标(知识点,能力提高与思想教育,情感目标)
教学重点
幂的乘方的运算法则及其应用.
教学难点
幂的运算法则的灵活运用.
教学重点,教学难点
多媒体课件
教学与学习手段
教学方式:
讲解法,引导法,鼓励法,提问法,练习法
学习方式:
听课,做练习,参加思考
教学方法与学习方法
课前三分钟教育
教学过程设计
Ⅰ.提出问题,创设情境
一个正方体的棱长是102mm,你能计算出它的体积吗?
如果将这个正方体的棱长扩大为原来的10倍,则这个正方体的体积是原来的多少倍?
[生]正方体的体积等于棱长的立方,所以棱长为102mm的正方体的体积V=(102)3mm3;如果棱长扩大为原来的10倍,即棱长变为102×10mm=103mm,此时正方体的体积变为V1=(103)3mm3.
[师]很显然,(102)3、(103)3都不是最简,你能利用幂的意义得出最后结果吗?
试试看.
[生](102)3表示三个102相乘,于是就有(102)3=102×102×102=102+2+2=106;同理(103)3=103×103×103=103+3+3=109,所以V=106mm3,V1=109mm3.
我们还可以算出当这个正方体的棱长扩大为原来的10倍时,体积就变为原来的1000倍,即103倍.
也就是说体积扩大的倍数,远远大于棱长扩大的倍数.
[师]是这样的.我们再来看(102)3,(103)3这样的运算,102、103是幂的形式,因此我们把这样的运算叫做幂的乘方,这也正是我们这节课要探究的运算法则──幂的乘方.
Ⅱ.导入新课
探究:
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的结果有什么规律:
(1)(32)3=32×32×32=3()
(2)(a2)3=a2·a2·a2=a()
(3)(am)3=am·am·am=a()(m是正整数).
[师]不难发现,这都是幂的乘方运算,可以根据乘方的意义将它转化为同底数幂的乘法的运算,这种化归的方法和温故知新的方法是解决数学问题常用的方法.同学们可以逐渐体会到.现在请大家用我们学过的知识解决上述问题.
[生]
(1)(32)3
32×32×32
32+2+2=36
[生]
(2)(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6;2×3=6.
(3)(am)3=am·am·am=am+m+m=a3m;m·3=3m.
它们也有这样的规律,幂的乘方运算的结果底数不变,指数相乘.
[师]这三个题都是特殊运算,对一般的乘方运算是否成立呢?
请同学们构造问题,并尝试解决.
将问题一般化,也就是将幂的乘方中两个指数都用字母表示,看它们是不是还满足底数不变,指数相乘的规律.
设m、n都是正整数.则(am)n=
=
=amn.
即(am)n=amn,它符合这个规律.
[师]通过大家的努力,我们得到了幂的乘方的运算法则.
幂的乘方,底数不变,指数相乘.(am)n=amn(m、n都是正整数).
在幂的乘方运算中,指数运算也降了一级,也就是将幂的乘方运算转化为指数的乘法运算,使问题简便化.
例题
[例1]计算:
(1)(103)5
(2)(a4)4(3)(am)2(4)-(x4)3
[例2]计算:
(1)[(2a+b)4]2
(2)(m2n-1)2·(mn+1)3
(3)3(a2)4·(a3)3-(-a)·(a4)4+(-a)3·(a4)2·(a2)3.
(四名学生板演)
(1)(103)5=103×5=1015
(2)(a4)4=a4×4=a16
(3)(am)2=a2m(4)-(x4)3=-x4×3=-x12.
看看例2,谈谈自己的想法.
(1)题中可以把2a+b当作一个整体,然后利用乘方运算法则进行;
(2)、(3)题是一种混合运算.是幂的乘方与同底幂相乘的混合运算,应用这两个运算法则可以进行运算.
遇到混合运算应该是先乘方,再乘除,然后才是加减.如果有括号时,先算小括号内,再算中括号内,然后再算大括号内.
[师]你的叙述很有条理,在遇到较复杂的混合运算时,要冷静细心,相信大家能做好,请同学们做完后与同伴交流.
解:
(1)[(2a+b)4]2=(2a+b)4×2=(2a+b)8.
(2)(m2n-1)2·(mn+1)3=m2(2n-1)·m3(n+1)=m4n-2·m3n+3=m4n-2+3n+3=m7n+1.
(3)3(a2)4·(a3)3-(-a)·(a4)4+(-a)3·(a4)2·(a2)3
=3·a2×4·a3×3+a·a4×4-a3·a4×2·a2×3=3·a8+9+a1+16-a3+8+6
=3a17+a17-a17=3a17.
Ⅲ.随堂练习
1.计算:
(1)(104)4;
(2)-(a2)5;(3)(x3)4·x2;
(4)[(-x)2]3;(5)(-a2)(a2)2;(6)x·x4-x2·x3.
2.判断下面计算是否正确?
如有错误请改正:
(1)(x3)3=x6;
(2)a6·a4=a24.
[生]1.解:
(1)(104)4=104×4=1016;
(2)-(a2)5=-a2×5=-a10;
(3)(x3)4·x2=x3×4·x2=x12·x2=x12+2=x14;(4)[(-x)2]3=(-x)2×3=(-x)6=x6;
(5)(-a)2·(a2)2=a2·a2×2=a2·a4=a2+4=a6;(6)x·x4-x2·x3=x1+4-x2+3=x5-x5=0.
[师]2.
(1)(x3)3=x6不正确,因为(x3)3表示三个x3相乘即x3·x3·x3=x3+3+3=x3×3=x9.
(2)a6·a4=a24不正确.因为a6·a4=(a·a·a·a·a·a)(a·a·a·a)=
=a10或根据同底数幂乘法的运算性质:
底数不变,指数相加,得a6·a4=a6+4=a10.
[师]我们学习了幂的乘方的运算性质很容易与同底数幂的乘法的运算性质混淆.通过练习的第2题,同学们可反思一下做题的过程,注意幂的意义和乘方的意义,真正地去理解这两个幂的运算性质,而不是去单纯地记忆.
Ⅳ.课时小结
温故知新是一种很好的学习方法,在数学中常体现在化归思想上,通过本节学习同学应掌握下列知识:
Ⅴ。
活动与探究
观察下列等式:
1×2=
×1×2×3,
1×2+2×3=
×2×3×4,
1×2+2×3+3×4=
×3×4×5,
1×2+2×3+3×4+4×5=
×4×5×6,
……
根据以上规律,请你猜测:
1×2+2×3+3×4+4×5+…+n(n+1)=________(n为自然数).
过程:
解这一类题目,要用到归纳推理,它是一种很重要的数学思想方法。
数学史上许多重要的发现,如哥德巴赫猜想,四色猜想等,就是由数学家的探索、总结、猜想而得.猜想的结论是否正确,必须经过严格的证明,才能辨明是非,通过观察比较,本题的规律较为明显.
结论:
1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=
n(n+1)(n+2)关于它的证明在以后学习了数学归纳法后一目了然.
作
业
练习册有关部分
课
后
反
思
教研组长意见:
年月日
第43节课课时教学设计
第周年月日
计算
(1)·(35)3·(-3)2;
(2)xp·(-x)2p·(-x)2p+1(p为正整数);
(3)-a2·(-a2)4·(-a4)3;
(4)32×(-2)2n·(-24)4(n为正整数).
前提测评及导入新课
§14.1.3积的乘方
一、自学提纲
二、积的乘方法则
1.积的乘方等于每一个因数乘方的积,即(ab)n=an·bn(n为正整数).
三、闯关练习(学生口答或板演)四、例题讲解:
103m+2n=103m·102n=(10m)3·(10n)2=43×52=64×25=1600.
五、小结
课题与板书设计
教学知识点
1.经历探索积的乘方的运算法则的过程,进一步体会幂的意义.
2.理解积的乘方运算法则,能解决一些实际问题.
3.学习积的乘方的运算法则,提高解决问题的能力.
情感与价值观要求
在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时,进一步体会学习数学的兴趣,提高学习数学的信心,感受数学的简洁美.
教学目标(知识点,能力提高与思想教育,情感目标)
教学重点
积的乘方运算法则及其应用.
教学难点
幂的运算法则的灵活运用.
教学重点,教学难点
多媒体课件
教学与学习手段
教学方式:
讲解法,引导法,鼓励法,提问法,练习法
学习方式:
听课,做练习,参加思考
教学方法与学习方法
课前三分钟教育
教学过程设计
Ⅰ.提出问题,创设情境
[师]还是就上节课开课提出的问题:
若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm,你能计算出它的体积是多少吗?
[生]它的体积应是V=(1.1×103)3cm3.
[师]这个结果是幂的乘方形式吗?
[生]不是,底数是1.1和103的乘积,虽然103是幂,但总体来看,我认为应是积的乘方才有道理.
[师]你分析得很有道理,积的乘方如何运算呢?
能不能找到一个运算法则?
有前两节课的探究经验,老师想请同学们自己探索,发现其中的奥秒.
Ⅱ.导入新课
老师列出自学提纲,引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳.
1.填空,看看运算过程用到哪些运算律,从运算结果看能发现什么规律?
(1)(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a()b()
(2)(ab)3=______=_______=a()b()
(3)(ab)n=______=______=a()b()(n是正整数)
2.把你发现的规律用文字语言表述,再用符号语言表达.
3.解决前面提到的正方体体积计算问题.
4.积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢?
请验证你的想法.
学生探究的经过:
1.
(1)(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a2b2,其中第①步是用乘方的意义;第②步是用乘法的交换律和结合律;第③步是用同底数幂的乘法法则.同样的方法可以算出
(2)、(3)题.
(2)(ab)3=(ab)·(ab)·(ab)=(a·a·a)·(b·b·b)=a3b3;
(3)(ab)n=
=
·
=anbn
2.积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,也就是说积的乘方等于幂的乘积.
用符号语言叙述便是:
(ab)n=an·bn(n是正整数)
3.正方体的体积V=(1.1×103)3它不是最简形式,根据发现的规律可作如下运算:
V=(1.1×103)3=1.13×(103)3=1.13×103×3=1.13×109=1.331×109(cm3)
通过上述探究,我们可以发现积的乘方的运算法则:
(ab)n=an·bn(n为正整数)
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
4.积的乘方法则可以进行逆运算.即:
an·bn=(ab)n(n为正整数)
分析这个等式:
左边是幂的乘积,而且幂指数相同,右边是积的乘方,且指数与左边指数相等,那么可以总结为:
同指数幂相乘,底数相乘,指数不变.
看来这也是降级运算了,即将幂的乘积转化为底数的乘法运算.
对于an·bn=(a·b)n(n为正整数)的证明如下:
an·bn=
·
──幂的意义
=
──乘法交换律、结合律
=(a·b)n──乘方的意义
5.[例3]计算
(1)(2a)3=23·a3=8a3.
(2)(-5b)3=(-5)3·b3=-125b3.
(3)(xy2)2=x2·(y2)2=x2·y2×2=x2·y4=x2y4.
(4)(-2x3)4=(-2)4·(x3)4=16·x3×4=16x12.
发现了积的乘方的运算法则,并能做简单的应用.可以作如下归纳总结:
1.积的乘方法则:
积的乘方等于每一个因式乘方的积.即(ab)n=an·bn(n为正整数).
2.三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质.如(abc)n=an·bn·cn(n为正整数).
3.积的乘方法则也可以逆用.即an·bn=(ab)n,an·bn·cn=(abc)n,(n为正整数).
Ⅲ.随堂练习
1.课本P98练习
[生]解:
(1)(ab)4=a4·b4
(2)(-2xy)3=(-2)3·x3·y3=-8x3y3
(3)(-3×102)3=(-3)3×(102)3=-27×106
(4)(2ab2)3=23·a3·(b2)3=8a3b6.
1.计算:
(1)(-3n)3=(-3)3·n3=-27n3;;
(2)(5xy)3=53x3y3=125x3y3;
(3)-a3+(-4a)2a=-a3+(-4)2a2a=-a3+16a3=15a3..
2.判断题
(1)(ab)4=ab4(×)
(2)(3ab2)2=3a2b4(×)
(3)(-x2yz)2=-x4y2z2(×)(4)(
xy2)2=
x2y4(×)
(5)(-
a2bc3)2=
a4b2c6(∨)(6)(-
)5(
)5=(-
×
)5=-1(∨)
3.不用计算器,你能很快求出下列各式的结果吗?
22×3×52,24×32×53
3.解:
22×3×52解:
24×32×53
=24×32×53=(23×2)×32×53──同底数幂乘法逆用
=(22×52)×3=(23×53)×(2×32)──乘法交换律、
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- 第41 47 节课 课时教学设计 41 课时 教学 设计
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