人教版八年级数学下册全册教案.docx
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人教版八年级数学下册全册教案
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平行四边形及其性质
(一)
一、教学目标
1、理解并掌握平行四边形的定义
2、掌握平行四边形的性质定理1及性质定理2
3、理解两条平行线的距离的概念
4、培养学生综合运用知识的能力
二、重点难点和关键
重点:
平行四边形的概念和性质1和性质2
难点:
平行四边形的性质1和性质2的应用
三、教学过程
复习
1、什么是四边形?
四边形的一组对边有怎样的位置关系?
2、一般四边形有哪些性质?
3、平行线的判定和性质有哪些?
新课讲解
1、引入
在四边形中,最常见、价值最大的是平行四边形,如推拉门、汽车防护链、书本等,都是平行四边形,平行四边形有哪些性质呢?
2、平行四边形的定义:
(1)定义:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
(2)几何语言表述∵AB∥CDAD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形
(3)定义的双重性具备“两组对边分别平行”的四边形,才是“平行四边形”,反过来,“平行四边形”就一定具有“两组对边分别平行”性质。
(4)平行四边形的表示:
用符号表示,如ABCD
3、平行四边形的性质
(1)共性:
具有一般四边形的性质
(2)特性:
(板书)
角平行四边形的对角相等
边平行四边形的对边相等
推论夹在两条平行线间的平行线段相等
4、两条平行线的距离(定义略)
注意:
(1)两相交直线无距离可言
(2)与两点的距离、点到直线的距离的区别与联系
5、例题讲解教材P132例1
已知:
如图A'B'∥BA,B'C'∥CB,C'A'∥AC.
求证:
(1)∠ABC=∠B',∠CAB=∠A',∠BCA=∠C'.
(2)△ABC的顶点分别是△B'C'A'各边的中点.
说明:
(1)引导学生利用平行四边形的性质
(2)师生通过讨论共同写出解题过程
6、巩固练习:
(1)在平行四边形ABCD中,∠A=500,求∠B、∠C、∠D的度数。
(2)在平行四边形ABCD中,∠A=∠B+240,求∠A的邻角的度数。
(3)平行四边形的两邻边的比是2:
5,周长为28cm,求四边形的各边的长。
(4)在平行四边形ABCD中,若∠A:
∠B=2:
3,求∠C、∠D的度数。
(5)如图,AD∥BC,AE∥CD,BD平分∠ABC,求证AB=CE
(6)如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,求证AF=CE
小结
1、平行四边形的概念。
2、平行四边形的性质定理及其应用。
3、两条平行线的距离。
4、学法指导:
在条件中有“平行四边形”你应该想到什么?
作业:
教材P1412
(1)、
(2)3、4。
平行四边形及其性质
(二)
教学目的:
1、知道平行四边形、两条平行线间的距离的概念;会说出并熟记平行四边形对角相等,对边相等的性质。
2、会度量两条平行线间的距离;会利用平行四边形对边相等,对角相等的性质进行有关的论证和计算。
3、在由点到直线的距离来定义两条平行线间的距离的过程中,让学生感受知识之间的联系和发展,培养灵活应用所学知识解决问题的能力
4、渗透从具体到抽象、化未知为已知的数学思想及事物之间相互转化的辩证唯物主义观点
5、培养观察、分析、归纳、概括能力.
教学重点:
两条平行线间的距离的概念平行四边形的进行有关的论证和计算。
教学难点:
探索、寻求解题思路.
教学方法:
讨论法、启发法、发现法、自学法、练习法、类比法
教学过程:
1复习:
四边形的内角和、外角和定理?
平行四边形的性质定理的内容
2.讲解
练一练:
课本例1后练习第1、2题。
说明和建议:
要求学生在解答时先画出图形,写出应用平行四边形性质定理求解的过程
猜一猜:
如图4.3-3,∥,线段AB∥CD∥EF,且点A、C、E在上,B、D、F在上,则AB、CD、EF的大小相等吗?
为什么?
还能画出与AB等长的线段吗?
试一试可以画出几条?
说明和建议:
学生不难猜得结论并加以证明,让学生经历合情推理到逻辑推理的思维过程。
学生通过画图可以进一步感知:
夹在两条平行线间的平行线段相等。
问题:
如图4.3-3中,线段AB、CD、EF都与直线垂直,那么又可以得到什么结论?
说明与建议:
学生由AB∥CD∥EF,得到AB=CD=EF。
教师接着可指出:
这说明夹在平行线间的垂线段相等。
然后,引导学生理解两平行线间的距离的意义,即一条直线上的任一点到另一条直线的距离。
量一量:
在图4.3-4中,AB∥CD,量出AB与CD之间的距离。
建议:
要求学生先画出表示AN、CD间距离的线段,再量出它的长度。
例题解析
例:
(即课本例1)说明:
(1)因为图中的平行线段多,因此可引导学生用“化繁为简”的方法,从图4.3-5(l)中分解出图
(2)、(3)、(4)。
(2)在例中的第2小题,还可以用平行四边形性质定理2的推论来证明,证明如下:
∵A′B′∥BA,BA′∥AC,
∴BA′=AC′(夹在两条平行线间的平行线段相等)。
∵BC∥B′C′,AC∥BC′,
∴AC=BC′(夹在两条平行线间的平行线段相等)。
∴B′A=BC′.∴点B是A′C′的中点。
同理可证C′A=B′A,B′C=A′C。
∴点A、C分别是B′C′和A′B′的中点。
课堂小结:
(师生合作总结)
目前,关于平行四边形的知识中,由平行四边形,我们可以得到哪些隐含的条件?
(关于边和角的关系)
(跟踪练习)
1、在平行四边形ABCD中,AC交BD于O,则AO=OB=OC=OD。
()
2、平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等。
()
3、平行四边形的两组对边分别。
(创新练习)
平行四边形的对角线和它的边,可以组成()对全等三角形。
(A)2(B)3(C)4(D)6
(达标练习)
1、已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点,AC=24mm,BD=38mm,AD=28mm,求三角形OBC的周长。
2、如图,平行四边形ABCD中,AC交BD于O,AE⊥BD于E,∠EAD=60°,AE=2cm,AC+BD=14cm,求三角形BOC的周长。
3、已知:
如图,平行四边形ABCD的一边AB=25cm,对角线AC、BD相交于点O,三角形AOB的周长比三角形BOC的周长少10cm,求平行四边形ABCD的周长。
(综合应用练习)
1、平行四边形的一条对角线与边垂直,且此对角线为另一边的一半,则此平行四边形两邻角的度数之比为()
(A)1∶5(B)1∶4(C)1∶3(D)1∶2
平行四边形的性质及判定(复习课)
教学目的:
1、深入了解平行四边形的不稳定性;
2、理解两条平行线间的距离定义(区别于两点间的距离、点到直线的距离)
3、熟练掌握平行四边形的定义,平行四边形性质定理1、定理2及其推论、定理3和四个平行四边形判定定理,并运用它们进行有关的论证和计算;
4、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点,体验“特殊--一般--特殊”的辨证唯物主义观点。
教学重点:
平行四边形的性质和判定。
教学难点:
性质、判定定理的运用。
教学程序:
一、复习创情导入
平行四边形的性质:
边:
对边平行(定义);对边相等(定理2);对角线互相平分(定理3)夹在平行线间的平行线段相等。
角:
对角相等(定理1);邻角互补。
平行四边形的判定:
边:
两组对边平行(定义);两组对边相等(定理2);对角线互相平分(定理3);一组对边平行且相等(定理4);两组对角分别相等(定理1)
二、授新
1、提出问题:
平行四边形有哪些性质:
判定平行四边形有哪些方法:
2、自学质疑:
自学课本P79-82页,并提出疑难问题。
3、分组讨论:
讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。
4、反馈归纳:
根据预习和讨论的效果,进行点拨指导。
5、尝试练习:
完成习题,解答疑难。
6、深化创新:
平行四边形的性质:
边:
对边平行(定义);对边相等(定理2);对角线互相平分(定理3)夹在平行线间的平行线段相等。
角:
对角相等(定理1);邻角互补。
平行四边形的判定:
边:
两组对边平行(定义);两组对边相等(定理2);对角线互相平分(定理3);一组对边平行且相等(定理4);两组对角分别相等(定理1)
7、推荐作业
1、熟记“归纳整理的内容”;
2、完成《练习卷》;
3、预习:
(1)矩形的定义?
(2)矩形的性质定理1、2及其推论的内容是什么?
(3)怎样证明?
(4)例1的解答过程中,运用哪些性质?
思考题
1、平行四边形的性质定理3的逆命题是否是真命题?
根据题设和结论写出已知求证;
2、如何证明性质定理3的逆命题?
3、有几种方法可以证明?
4、例2的证明中,运用了哪些性质及判定?
是否有其他方法?
5、例3的证明中,运用了哪些性质及判定?
是否有其他方法?
跟踪练习
1、在四边形ABCD中,AC交BD于点O,若AO=12AC,BO=12BD,则四边形ABCD是平行四边形。
()
2、在四边形ABCD中,AC交BD于点O,若OC=且,则四边形ABCD是平行四边形。
3、下列条件中,能够判断一个四边形是平行四边形的是()
(A)一组对角相等;(B)对角线相等;
(C)两条邻边相等;(D)对角线互相平分。
创新练习
已知,如图,平行四边形ABCD的AC和BD相交于O点,经过O点的直线交BC和AD于E、F,求证:
四边形BEDF是平行四边形。
(用两种方法)
达标练习
1、已知如图,O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点,EF经过点O,且与AB交于E,与CD交于F。
求证:
四边形AECF是平行四边形。
2、已知:
如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是OA、OC的中点,求证:
BM∥DN,且BM=DN。
综合应用练习
1、下列条件中,能做出平行四边形的是()
(A)两边分别是4和5,一对角线为10;
(B)一边为4,两条对角线分别为2和5;
(C)一角为600,过此角的对角线为3,一边为4;
(D)两条对角线分别为3和5,他们所夹的锐角为450。
推荐作业
1、熟记“判定定理3”;
2、完成《练习卷》;
3、预习:
(1)“平行四边形的判定定理4”的内容是什么?
(2)怎样证明?
还有没有其它证明方法?
(3)例4、例5还有哪些证明方法?
平行四边形的判定
(二)
一、教学目的和要求
使学生熟练掌握平行四边形判定的五种方法,并通过定理,习题的证明提高学生的逻辑思维能力;进一步掌握平行四边形性质与判定之间的区别与联系。
二、教学重点和难点
重点:
掌握平行四边形的判定定理;
难点:
灵活恰当地运用判定定理。
三、教学过程
(一)复习、引入
提问:
1.平行四边形有什么性质?
2.我们学习了哪些平行四边形的判定定理?
我们学习了利用“边”的条件来判定一个四边形是平行四边形,它是平行四边形边的性质定理的逆定理。
那么平行四边形的对角及对角线的性质定理的逆命题是否成立呢?
(二)新课
平行四边形的判定定理3:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
已知:
如图1,四边形ABCD中。
求证:
四边形ABCD是平行四边形。
图1
分析:
四边形的内角和是,又知道对角相等,容易由同旁内角互补来证明两组对边分别平行。
证明由学生完成。
平行四边形的判定定理4:
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知:
如图2,四边形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,且,。
求证:
四边形ABCD是平行四边形。
图2
分析、证明都可由学生讨论完成,最后指出用一组对边平行且相等来判定最为方便。
例1已知:
如图3,E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点,且AE=CF。
求证:
四边形BFDE是平行四边形。
图3
分析:
已知平行四边形可用平行四边形的性质,求证平行四边形要想判定定理,由于E、F在对角线上,显然用对角线互相平分来判定。
证明:
连结BD交AC于O。
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
这道题,还可以利用
用对边相等或平行来判定平行四边形,相比之下使用对角线较简便。
例2已知:
如图4,
求证:
四边形ABCD是平行四边形。
图4
分析:
1.由于,所以ADBC,只要再证AD=BC即可。
2.由于DE平行且等于BF,可证DB与EF互相平分,但要使DB与AC互相平分,还需证AE=CF。
经过比较两种证法,第一种较简便。
证明:
(三)巩固练习
1.如图5,四边形AECF是平行四边形,。
求证:
四边形ABCD是平行四边形。
分析:
已经使四边形ABCD有一组对角相等了,所以应该再考虑的第二个条件是证明另一组对角相等。
图5
证明:
由于D、B点分别是原平行四边形AECF对边AE、CF延长线上的点,所以可得CDAB,只要再证ADBC即可。
2.如图6,平行四边形ABCD中,BE=DF,AG=CH。
求证:
四边形GEHF是平行四边形。
此题与例1有相似之处,可以用两种判定方法来判定平行四边形都较简便。
图6
证法
(一):
连结EF交AC于O点。
证法
(二):
(四)小结
我们学习了平行四边形的定义,性质、判定、画法。
平行四边形的性质和判定尤为重要,同学们要掌握好。
希望同学们在证明每一道题时,认真分析已知条件,有些题可能是一题多解,比较一下使用哪种判定方法最简便。
往往是已知条件最集中的地方,就是解决问题的突破口。
(五)作业
1.已知:
AC是平行四边形ABCD的对角线,于N。
求证:
四边形BMND是平行四边形。
2.如图7,BD、CE互相平分于M,A、B、C在同一直线上,且AB=BC。
求证:
AEBD。
图7
3.已知:
如图8,平行四边形ABCD中,
。
求证:
MNEF。
图8
4.已知:
如图9,ABDC,,AE=CF,BE=DF。
求证:
EF与AC互相平分。
图9
矩形的性质
(一)
教学目标
1、掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别与联系.
2、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.
3、渗透运动联系、从量变到质变的观点.
教学重点和难点
重点是矩形的性质;难点是性质的灵活运用.
教学过程设计
一、用运动方式探索矩形的概念及性质
1、复习平行四边形的有关概念及边、角、对角线方面的性质.
2、复习平行四边形和四边形的关系.
3、用教具演示如图4-29中,从平行四边形到矩形的演变过程,得到矩形的概念,并理解矩形与平行四边形的关系.
分析:
(1)矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程.
(2)矩形只比平行四边形多一个条件:
“有一个角是直角”,不能用“四个角都是直角的行四边形是矩形”来定义矩形.
(3)矩形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的一切性质(共性),还具有它自己特殊的性质(个性).
(4)从边、角、对角线方面,让学生观察或度量猜想矩形的特殊性质.
①边:
对边与平行四边形性质相同,邻边互相垂直(与性质定理1等价).
②角:
四个角是直角(性质定理1).
③对角钱:
相等且互相平分(性质定理2).
4、证明矩形的两条性质定理及推论.
引导学生利用矩形与平行四边形的从属关系、矩形的概念以及全等三角形的知识,规范证明两条性质定理及推论.指出:
推论叙述了直角三角形中线段的倍分关系,是直角三角形很重要的一条性质.
二、应用举例
例1已知:
如图4-30,矩形ABCD,AB长8cm,对角线比AD边长4cm.求AD的长及A到BD的距离AE的长.
分析:
(1)矩形四个角都是直角,因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质,在此可以让学生作一个系统的复习,在直角三角形中,
边:
角:
两锐角互余.
边角关系:
30°角所对的直角边等于斜边的一半。
(2)利用方程的思想,解决直角三角形中的计算。
设AD=xcm,则对角线长(x+4)cm,由题意,x2+82=(x+4)2.解得x=6.
(3)“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形,利用面积公式,可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式:
AE×DB=AD×AB,解得AE=4.8cm.
例2如图4-31(a),在矩形ABCD中,两条对角线交于点O,∠AOD=120°,AB=4.求:
(1)矩形对角线长;
(2)BC边的长;(3)若过O垂直于BD的直线交AD于E,交BC于F(图4-31(b)).求证:
EF=BF,OF=CF;(4)如图4-31(c),若将矩形沿直线MN折叠,使顶点B与D重合,M,N交AD于M,交BC于N.求折痕MN长.
分析:
(1)矩形ABCD的两条对角线AC,BD把矩形分成四个等腰三角形,即△AOB,△BOC,△COD和△DOA.让学生证明后熟记这个结论,以便在复杂图形中尽快找到解题的思路.
(2)由已知∠AOD=120°及矩形的性质分解出基本图形“含30°角的直角三角形”,经过计算可解决
(2),(3)题.
(3)第(4)题是用“折叠”方式叙述已知,利用轴对称的知识可以得到:
折痕MN应为对角线BD的垂直平分钱,即为第(3)题中的EF.根据第(3)题结论:
MN=BC=2NC=
例3已知:
如图4-32(a),E是矩形ABCD边CB延长线上一点,CE=CA,F为AE中点.求证:
BF⊥FD.
证法一如图4-32(a),由已知“CE=CA,F为AE中点”,联想到“等腰三角形三合一”的性质.
连结FC,证明∠1+∠2=90,问题转化为证明∠1=∠+3,这可通过△AFD≌△BFC(SAS)来实现.
证法二 如图4-32(b),由求证“BF⊥FD”联想“等腰三角形三线合一”,构造以DF为底边上高的等腰三角形,分别延长BF,DA交于G,连结BD,转化为证明△BDG为等腰三角形以及F为GB中点,这可通过△AGF≌△EBF(ASA)及GD=EC=AC=BD来实现。
三、师生共同小结
矩形与平行四边形的关系,如图4-33.指出由平行四边形得到矩形,只需要增加一个条件:
一个角是直角.
矩形的概念及性质。
矩形中常利用直角三角形的性质进行计算和证明。
四、作业:
课本第149页2,4题,第160页第2,5题。
补充题:
1、如图4-34,E为矩形ABCD对角线AC上一点,DE⊥AC于E,∠ADE:
∠EDC=2:
3,求:
∠BDE的度数.(答:
18°)
2、如图4-35,折叠矩形ABCD纸片,先折出折痕BD,再折叠使A落在对角线BD上A′位置上,折痕为DG。
AB=2,BC=1。
求:
AG的长。
(答5-12)。
矩形的性质
(二)
教学目的:
1、理解并掌握矩形的定义;掌握矩形的性质定理1、2及推论;3、会用这些定理进行有关的论证和计算;
2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力;
3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。
教学重点:
矩形的性质定理1、2及推论。
教学难点:
定理的证明方法及运用。
教学方法:
讨论法、启发法、发现法、自学法、练习法、类比法。
教学用具:
小黑板、投影仪、圆规、三角板、矩形木架一个。
一、复习创情导入
1、复习:
(1)平行四边形的对角相等;
(2)平行四边形的对角线互相平分;
?
矩形的角有什么特点呢?
?
矩形的对角线有什么特点呢?
二、授新
1、提出问题
(1)矩形的定义?
(2)矩形的性质定理1的内容是什么?
写出已知、求证,怎样证明
(3)矩形的性质定理2的内容是什么?
写出已知、求证,怎样证明
(4)矩形的性质定理的推论的内容是什么?
写出已知、求证,怎样证明?
(5)例1的解答过程中,运用哪些性质?
2、自学质疑:
自学课本P83-85页,完成预习题,并提出疑难问题。
3、分组讨论:
讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。
4、反馈归纳:
(1)矩形的定义:
它具备两个性质()
(2)矩形的性质定理1:
矩形的四个角都是直角。
已知:
在矩形ABCD中,∠A=900,
求证:
∠B=∠C=∠D=900。
(邻角互补)
(3)矩形的性质定理2:
矩形的对角线相等。
已知:
矩形ABCD,对角线AC、BD,
求证AC=BD。
(证明三角形全等)
(4)推论:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知:
直角三角形ABC中,∠B=900,OA=OC,求证:
OB=AC。
5、尝试练习:
(1)跟踪练习1----4。
(2)运用所学解决实际问题:
例1:
已知:
如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=1200,AB=4cm,求矩形对角线的长。
解:
四边形ABCD是矩形,
所以AC=BD(矩形的对角线相等)
又因为OA=OC=12BD,
所以OA=OD。
所以∠AOD=1200,
所以∠ODA=∠OAD=12()=300。
又因为∠DAB=900(矩形的四个角都是直角)
所以BD=2AB=2×4cm=8cm.
(3)跟踪练习5。
(4)达标练习。
6、深化创新:
通过今天的学习:
(1)矩形的判定有什么依据?
(定义:
有一个角是直角的平行四边形)(两个条件)
(2)矩形有哪些性质?
(矩形是平行四边形(定义))
定理1:
矩形的四个角都是直角。
定理2:
矩形的对角线相等。
推论:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
7、推荐作业:
(1)矩形性质定理1的逆命题是否是真命题?
根据题设和结论写出已知、求证;
(2)如何证明?
(3)矩形性质定理1的逆命题是否是真命题?
根据题设和结论写出已知、求证;
(4)如何证明?
(5)例2的解答中,运用了哪些性质及判定?
预习思考题:
(1)矩形的定义?
(2)矩形的性质定理1的内容是什么?
写出已知、求证,怎样证明?
(3)矩形的性质定理2的内容是什么?
写出已知、求证,怎样证明?
(4)矩形的性质定理的推论的内容是什么?
写出已知、求证,怎样证明?
(5)例1的解答过程中,运用哪些性质或判定?
跟踪练习题:
(1)矩形的定义中有两个条件:
一是,二是。
(2)有一个角是直角的四边形是矩形。
()
(3)矩形的对角线互相平分。
()
(4)矩形的对角线。
(5)矩形的一边长为15cm,对角线长17cm,则另一边长为,该矩形的面积为。
创新练习题:
(1)矩形的对角线把矩形分成()对全等的三角形。
(A)2(B)4(C)6(D)8
达标练习题:
(1)已知矩形的一条对角线长为8cm,两条对角线的一个交角为600,则矩形的边长分别为、、、。
(2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为300,则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、。
(3)矩形的两条对角线的夹角为600,对角线长为15cm,较短边的长为()
(A)12cm(B)10cm(C)7.5cm(D)5cm
(4)在直角三角形ABC中,∠C=900,AB=2AC,求∠A、∠B的度数。
综合应用练习:
(1)已知:
矩形ABCD中,BC=2AB,E是BC的中点,求证:
EA⊥ED。
(2)如图,矩形ABCD中,AB=2BC
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