知识点整合与训练第5章 平面向量 第3节 平面向量的数量积及其应用.docx
- 文档编号:3562144
- 上传时间:2022-11-23
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:75.56KB
知识点整合与训练第5章 平面向量 第3节 平面向量的数量积及其应用.docx
《知识点整合与训练第5章 平面向量 第3节 平面向量的数量积及其应用.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《知识点整合与训练第5章 平面向量 第3节 平面向量的数量积及其应用.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
知识点整合与训练第5章平面向量第3节平面向量的数量积及其应用
第3节 平面向量的数量积及其应用
最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义;2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系;3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系;5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题;6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
知识梳理
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角:
已知两个非零向量a和b,记=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义:
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cos__θ.规定:
零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.
(3)数量积的几何意义:
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
(1)数量积:
a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2.
(2)模:
|a|==.
(3)夹角:
cosθ==.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件:
a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|≤·.
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a(交换律).
(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
[微点提醒]
1.两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2.
(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.( )
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( )
(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )
(4)若a·b=a·c(a≠0),则b=c.( )
解析
(1)两个向量夹角的范围是[0,π].
(4)由a·b=a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a,b〉=|a||c|·cos〈a,c〉,所以向量b和c不一定相等.
答案
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
2.(必修4P108A10改编)设a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 设a与b的夹角为θ.因为a·b=|a|·|b|cosθ=|a|·|b|,所以cosθ=1,即a与b的夹角为0°,故a∥b.
当a∥b时,a与b的夹角为0°或180°,
所以a·b=|a|·|b|cosθ=±|a|·|b|,
所以“a·b=|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要条件.
答案 A
3.(必修4P108A2改编)在圆O中,长度为的弦AB不经过圆心,则·的值为________.
解析 设向量,的夹角为θ,
则·=||||·cosθ=||cosθ·||=||·||=×()2=1.
答案 1
4.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )
A.4B.3C.2D.0
解析 a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2×12-(-1)=3.
答案 B
5.(2018·云南11校跨区调研)平面向量a与b的夹角为45°,a=(1,1),|b|=2,则|3a+b|等于( )
A.13+6B.2
C.D.
解析 依题意得a2=2,a·b=×2×cos45°=2,|3a+b|====.
答案 D
6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=________.
解析 由题意得a+b=(m-1,3),
因为a+b与a垂直,所以(a+b)·a=0,所以-(m-1)+2×3=0,解得m=7.
答案 7
考点一 平面向量数量积的运算
【例1】
(1)若向量m=(2k-1,k)与向量n=(4,1)共线,则m·n=( )
A.0B.4C.-D.-
(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,=2,=2,则·的值为( )
A.-15B.-9C.-6D.0
解析
(1)由题意得2k-1-4k=0,解得k=-,
即m=,
所以m·n=-2×4+×1=-.
(2)连接OA.在△ABC中,=-=3-3=3(-)-3(-)=3(-),
∴·=3(-)·=3(·-2)=3×(2×1×cos120°-12)=3×(-2)=-6.
答案
(1)D
(2)C
规律方法 1.数量积公式a·b=|a||b|cosθ在解题中的运用,解题过程具有一定的技巧性,需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形;也可建立平面直角坐标系,借助数量积的坐标运算公式a·b=x1x2+y1y2求解,较为简捷、明了.
2.在分析两向量的夹角时,必须使两个向量的起点重合,如果起点不重合,可通过“平移”实现.
【训练1】
(1)在△ABC中,AB=4,BC=6,∠ABC=,D是AC的中点,E在BC上,且AE⊥BD,则·等于( )
A.16B.12C.8D.-4
(2)(2019·皖南八校三模)已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,则(a+2b)·a=________.
解析
(1)以B为原点,BA,BC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系(图略),A(4,0),B(0,0),C(0,6),D(2,3).设E(0,t),·=(2,3)·(-4,t)=-8+3t=0,∴t=,即E,·=·(0,6)=16.
(2)因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,
所以(a+2b)·a=a2+2a·b=|a|2+2|a|·|b|cos45°=1+.
答案
(1)A
(2)1+
考点二 平面向量数量积的应用
多维探究
角度1 平面向量的垂直
【例2-1】
(1)(2018·北京卷)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=________.
(2)(2019·宜昌二模)已知△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若=λ+,且⊥,则实数λ的值为( )
A.B.C.6D.
解析
(1)a=(1,0),b=(-1,m),∴a2=1,a·b=-1,
由a⊥(ma-b)得a·(ma-b)=0,即ma2-a·b=0.
∴m-(-1)=0,∴m=-1.
(2)因为=λ+,且⊥,
所以有·=(λ+)·(-)=λ·-λ2+2-·=(λ-1)·-λ2+2=0,
整理可得(λ-1)×3×4×cos120°-9λ+16=0,
解得λ=.
答案
(1)-1
(2)A
规律方法 1.当向量a,b是非坐标形式时,要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角,从而进行运算.
2.数量积的运算a·b=0⇔a⊥b中,是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.
角度2 平面向量的模
【例2-2】
(1)已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是________.
(2)(2019·安阳调研)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为________.
解析
(1)由α⊥(α-2β)得α·(α-2β)=α2-2α·β=0,
所以α·β=,
所以(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4×12+22+4×=10,
所以|2α+β|=.
(2)建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),
设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).
所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),
所以|+3|=(0≤y≤b),
所以当y=b时,|+3|取得最小值5.
答案
(1)
(2)5
规律方法 1.求向量的模的方法:
(1)公式法,利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;
(2)几何法,利用向量的几何意义.
2.求向量模的最值(范围)的方法:
(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;
(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.
角度3 平面向量的夹角
【例2-3】
(1)(2019·衡水中学调研)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,则向量a+b与a-b的夹角为________.
(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是________.
解析
(1)将|a+b|=|a-b|两边平方,得a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,∴a·b=0.
将|a+b|=|a|两边平方,得a2+b2+2a·b=a2,
∴b2=a2.
设a+b与a-b的夹角为θ,
∴cosθ====.
又∵θ∈[0,π],∴θ=.
(2)∵2a-3b与c的夹角为钝角,∴(2a-3b)·c<0,
即(2k-3,-6)·(2,1)<0,解得k<3.
又若(2a-3b)∥c,则2k-3=-12,即k=-.
当k=-时,2a-3b=(-12,-6)=-6c,
此时2a-3b与c反向,不合题意.
综上,k的取值范围为∪.
答案
(1)
(2)∪
规律方法 1.研究向量的夹角应注意“共起点”;两个非零共线向量的夹角可能是0或π;注意向量夹角的取值范围是[0,π];若题目给出向量的坐标表示,可直接套用公式cosθ=求解.
2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
【训练2】
(1)(2017·全国Ⅲ卷)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=________.
(2)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________.
(3)(2017·山东卷)已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是________.
解析
(1)由a⊥b,得a·b=0,
又a=(-2,3),b=(3,m),
∴-6+3m=0,则m=2.
(2)法一 |a+2b|==
===2.
法二 (数形结合法)
由|a|=|2b|=2知,以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB,如图,则|a+2b|=||.
又∠AOB=60°,所以|a+2b|=2.
(3)由题意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,
|e1-e2|====2.
同理|e1+λe2|=.
所以cos60°=
===,
解得λ=.
答案
(1)2
(2)2 (3)
考点三 平面向量与三角函数
【例3】(2019·广州海珠区摸底)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cosB,-sinB),且m·n=-.
(1)求sinA的值;
(2)若a=4,b=5,求角B的大小及向量在方向上的投影.
解
(1)由m·n=-,
得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 知识点整合与训练第5章 平面向量 第3节 平面向量的数量积及其应用 知识点 整合 训练 平面 向量 数量 及其 应用
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)