九年级数学人教版第27章《相似》全章教案.docx
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九年级数学人教版第27章《相似》全章教案
第27章《相似》全章教案
27.1图形的相似
(1)
教学目标:
1、知识与技能:
通过实例知道相似图形的意义.通过对生活中的事物或图形的观察,
得理性认识,从而加以识别相似的图形.
2、过程与方法:
通过观察、归纳等数学活动,与他人交流思维的过程和结果,能用所学的知识去解决问题.
3、情感态度与价值观:
在获得知识的过程中培养学习的自信心.
教学重点:
相似图形和相似多边形的意义.
教学难点:
探索相似多边形对应角相等,对应边的比相等.
教学过程:
一、创设情境,导入新课
引导学生观察课本p24-图27.1—1每两个图形之间的相同之处与不同之处---这两个图形形状相同,大小不相同,它们叫什么图形?
这两个图形只是形状相同,大小不相同,它们叫相似图形.也可以说,这两个图形相似.
二、师生互动,探索新知:
1、观察下列几组几何图形,你能发现它们之间有什么关系?
从而得出:
具有相同形状的图形叫相似形.(出示课题——图形的相似)
2、对上面的3组图形,通过图形的缩小或放大,再利用图形的平移或旋转等变换,使它与另一个图形能够重合,从而加以验证它们是相似的图形。
归纳定义:
相似图形----形状相同的两个图形叫做相似图形.
3、你还见过哪些相似的图形,请举出一些例子与同学们交流.
三、探究:
1、思考教科书第25页的思考,哈哈镜里看到的不同镜像它们相似吗?
2、观察下图中的3组图形,它们是不是相似形?
为什么?
(激发学生的求知欲,为下一节课“相似图形的特征”做好准备)
四、课堂练习
完成课本第25页练习第1、2题。
五、课堂小结
这节课你有哪些收获?
六、课时作业
1、根据今天所学的内容,请你收集或设计一些相似的图案.
2、习题27.1第1、2题.
27.1图形的相似
(2)
教学目标:
1、知识与技能:
通过对生活中的事物或图形的观察,获得理性认识,从而加以识别相似的图形.
2、过程与方法:
经历对相似图形观察、分析、欣赏以及动手操作、画图、测量等过程,能用所学的知识去解决问题;回顾相似图形的性质、定义,得出相似三角形的定义及其基本性质。
3、情感态度与价值观:
通过观察、归纳等数学活动,与他人交流思维的过程和结果,在获得知识的过程中培养学习的自信心.发展审美能力,增强对图形欣赏的意识。
教学重点:
相似图形和相似多边形的意义.
教学难点:
探索相似多边形对应角相等,对应边的比相等.
教学过程:
一、创设情境,导入新课
观察这两个图形,它们的对应角有什么关系?
对应边呢?
这两个三角形的形状相同,所以它们是相似三角形.从图上看,这两个相似三角形的角有什么关系?
(都等于60度)
∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′.
这两个相似三角形的边有什么关系?
AB与A′B′的比是
(板书:
),BC与B′C′的比是
(板书:
),CA与C′A′的比是
(板书:
),这三个比相等吗?
----相等.为什么相等?
△A′B′C′可以看成是△ABC缩小得到的,假如AB是A′B′的2倍,那么可以想象,BC也是B′C′的2倍,CA也是C′A′的2倍,所以这三个比相等。
观察相似三角形的特征,得出:
三角相似的对应角相等、对应边成比例以及相似比.
二、师生互动,探索新知:
如图;这两个四边形形状相同,所以它们是相似四边形吗?
.从图上看,这两个相似四边形的角有什么关系?
∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,∠D=∠D′.
=
=
=
.
这四个比为什么相等?
四边形A′B′C′D′可以看成是四边形ABCD放大得到的,假如AB是A′B′的一半,那么可以想象,BC也是B′C′的一半,CD也是C′D′的一半,DA也是D′A′的一半,所以这四个比相等.
归纳总结:
从这两个例子,大家想一想,你能得出一个什么结论?
相似多边形对应角相等,对应边的比也相等.
我们知道,形状相同的多边形是相似多边形.但是,什么样才算形状相同呢?
从这两个
论我们可以看到,对多边形来说,所谓形状相同,实际上指的就是对应角相等,对应边的比也相等.对应角相等,对应边的比也相等的多边形是相似多边形.所以,现在我们可以给相似多边形下一个更明确的定义.
对应角相等,对应边的比也相等的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形对应边的比叫做相似比.
三、例题讲解
例1:
(教材P26-例)如图,四边形ABCD和EFGH相似,求角
、
的大小和EH的长度x.
解:
四边形ABCD和EFGH相似,它们的对应角相等,由此可得:
∠
=∠C=83°,∠A=∠E=118°
在四边形ABCD中,∠
=360°-(78°+83°+118°)=81°
四边形ABCD和EFGH相似,它们的对应边的比相等,由此可得
即解得x=28
四、课堂练习
完成课本第27页练习第1、2、3题。
五、课堂小结
这节课你哪些收获?
六、课时作业
习题27.1第5、6题.
27.2.1相似三角形的判定
(1)
教学目标:
1、知识与技能:
了解相似比的定义,掌握判定两个三角形相似的方法“平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”。
2、过程与方法:
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力。
3、情感态度与价值观:
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的合情推理能力。
教学重点:
平行线分线段成比例定理和推论及其应用.
教学难点:
平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.
教学过程:
一、创设情境,导入新课
1、复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义
2、相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义
对应角相等,三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形。
相似三角形对应边的比叫相似比。
那么,怎样判断两个三角形相似呢?
这节课我们就来探究这个问题。
二、师生互动,探索新知:
师生共同探究,归纳得出:
平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得到的对应线段的比相等
把这个定理应用到三角形中,会出现下面两种情况如下图:
提出问题:
如图,在∆ABC中,点D是边AB的中点,DE∥BC,DE交AC于点E,
∆ADE与∆ABC有什么关系?
分析:
观察右图易知AD=
,AE=
,∠A=∠A,
∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,只需引导学生证得DE=
即可,学生不难想到过E作
EF∥AB。
∆ADE∽∆ABC,相似比为
。
延伸问题:
改变点D在AB上的位置,先让学生猜想∆ADE与∆ABC仍相似,然后验证。
归纳:
平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
三、课堂练习
教材P31-练习第1、2题
四、课堂小结
1、平行线分线段成比例定理
2、平行线分线段成比例定理推论
3、判定三角形相似的定理
五、作业布置
教材P42-习题27·2第1题
27.2.1相似三角形的判定
(2)
教学目标:
1、知识与技能:
掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似的判定定理;掌握两组对应边
的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似的判定定理。
2、过程与方法:
会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理。
3、情感态度与价值观:
通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动,培养学生获得数学猜想的经验,激发学生探索知识的兴趣。
教学重点:
掌握两个判定定理,会运用两个判定定理判定两个三角形相似
教学难点:
探究两个三角形相似的条件;运用两个三角形相似的判定定理解决问题。
教学过程:
一、创设情境,导入新课
学习三角形全等时,我们知道,除了可以利用全等三角形定义来判定两个三角形全等,还有四个简便的判定方法.哪四个简便的判定方法?
就是SSS、SAS、ASA、AAS.同样,判定两个三角形相似,有没有简便的判定方法?
相似三角形的定义,可以用来判定两个三角形相似,但利用定义判定,既要证明三组对应角相等,又要证明三组对应边的比相等,所以比较麻烦.怎么解决这个问题呢?
下面我们一起来探究这个问题.
二、师生互动,探索新知:
探究:
任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边长都是原三角形各边长的K倍,度量这两个三角形的对应角,它们相等吗?
这两个三角形相似吗?
与同学交流一下,看看是否有同样的结论。
容易发现,这两个三角形是相似的,我们可以利用上面的定理进行证明。
如图:
27.2-4,在△ABC和△A′B′C′中,
,
求证:
△ABC~△A′B′C′
证明:
在线段AB、AC上截取AD=A′B′,过点D作DE∥BC,交AC于点E,根据前面的定理可得△ABC~△ADE
∴
又∵
∴
∴AE=A′C′,DE=B′C′
又∵AD=A′B′
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC~△A′B′C′
从而得出:
相似三角形的判定定理---如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.简单说成:
三边成比例的两个三角形相似
全等三角形判定定理SAS是怎么说的?
如果两个三角形两边对应相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形全等.类似的,也有一个相似三角形的判定定理.
提出问题:
利用刻度尺和量角器画∆ABC与∆A1B1C1,使∠A=∠A1,
和
都等于给定的值k,量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长,它们的比等于k吗?
另外两组对应角∠B与∠B1,∠C与∠C1是否相等?
(学生独立操作并判断)
分析:
学生通过度量,不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k,另外两组对应角∠B=∠B1,∠C=∠C1。
延伸问题:
改变∠A或k值的大小,再试一试,是否有同样的结论?
(利用刻度尺和量角器,让学生先进行小组合作再作出具体判断。
)
归纳得出
相似三角形的判定定理-----如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
简单说成:
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
符号语言:
若∠A=∠A1,
=
=k,则∆ABC∽∆A1B1C1
(定理的证明由学生独立完成)
三、例题讲解
例1:
(教材P33-例1)根据下列条件,判断∆ABC与∆A1B1C1是否相似,并说明理由:
(1)AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm;
A、B、=12cm,B、C、=18cm,A、C、=24cm
(2)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm;
∠A、=1200,A、B、=3cm,A、C、=6cm。
解:
略
四、课堂练习
教材P34-练习第1、2、3题
五、课堂小结:
说说你在本节课的收获。
六、布置作业:
教材P42-习题27·2第2
(1)、4题
27.2.1相似三角形的判定(3)
教学目标
1、知识与技能:
掌握判定两个三角形相似的方法——如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
2、过程与方法:
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力,感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法(AAS﹑ASA)的区别与联系,体验事物间特殊与一般的关系。
3、情感态度与价值观:
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的合情推理能力。
教学重点:
两个三角形相似的判定方法3及其应用
教学难点:
探究两个三角形相似判定方法3的过程
教学过程:
一、创设情境,导入新课
复习两个三角形相似的判定方法1﹑2与全等三角形判定方法(SSS﹑SAS)的区别与联系:
1、如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。
(相似的判定方法1)
2、如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
(相似的判定方法2)
观察两副三角尺,其中同样角度(300与600,或450与450)的两个三角尺大小可能不同,但它们看起来是相似的。
如果两个三角形有两组角对应相等,它们一定相似吗?
二、师生互动,探索新知:
作∆ABC与∆A1B1C1,使得∠A=∠A1,∠B=∠B1,这时它们的第三角满足∠C=∠C1吗?
分别度量这两个三角形的边长,计算
﹑
﹑
,你有什么发现?
(学生独立操作并判断)
分析:
学生通过度量,不难发现这两个三角形的第三角满足
∠C=∠C1,三边满足
=
=
。
分别改变这两个三角形边的大小,而不改变它们的角的大小,再试一试,是否有同样的结论?
(利用刻度尺和量角器,让学生先进行小组合作再作出具体判断。
)
归纳:
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
简单说成:
两角对应相等,两三角形相似
(定理的证明由学生独立完成)
符号语言:
若∠A=∠A1,∠B=∠B1,则∆ABC∽∆A1B1C1
思考
我们知道,两个直角三角形全等可以用“HL”来判定,那么,满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似吗?
已知:
如图,在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中,∠C=90°,
∠C1==90°,
求证:
Rt△ABC∽Rt△A′B′C′
由勾股定理得:
∴Rt△ABC∽Rt△A1B1C1.
三、例题讲解
例1(教材P35-例2)
例2(补充)如图,弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证:
PA·PB=PC·PD。
四、课堂练习
教材P36-练习第1、2、3题
五、课堂小结:
说说你在本节课的收获。
六、布置作业:
教材P42-习题27·2第2
(2)、7题
27.2.2相似三角形的性质
教学目标
1、知识与技能:
理解掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)、周长比与相似比之间的关系,掌握定理的证明方法;并能灵活运用相似三角形的判定和性质,提高分析,推理能力。
2、过程与方法:
对性质定理的探究学生经历观察-——猜想——论证——归纳的过程。
培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度,并在其中体会类比的数学思想。
3、情感态度与价值观:
在学习和探讨的过程中,体验特殊到一般的认知规律,通过学生之间的交流合作,在合作中体验成功的喜悦,树立学习的自信心。
教学重点:
掌握相似三角形的相关性质,了解相关性质的证明方法
教学难点:
掌握命题证明方法、步骤,灵活运用性质解决问题。
教学过程:
一、创设情境,导入新课
(1)什么叫相似三角形?
如何判断两三角形相似?
(2)如果两个三角形相似,那么它们的边和角各有什么性质?
①相似三角形的对应边______________
②相似三角形的对应角______________
[问题]:
两个相似三角形除了以上两条性质外,它们还有哪些性质呢?
二、师生互动,探索新知:
一个三角形有三条重要线段:
高、中线、角平分线。
如果两个三角形相似,那么这些对应线段有什么关系呢?
探究1相似三角形对应边上的高有什么关系呢?
在下图中△ABC和△A、B、C、是两个相似三角形,相似比为k,其中AD、A′D′分别为BC、
B′C′边上的高,那么AD、A′D′之间有什么关系?
已知:
△ABC∽△A、B、C、,△ABC与△A′B′C′的相似比是k,AD、A′D′是对应高。
求证:
=k
结论:
相似三角形对应边上的高之比等于相似比。
自主思考---类似结论
探究2△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的中线,求证:
=k
结论:
相似三角形对应中线的比等于相似比.
类似地可得结论:
相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
三、例题讲解
例教材P38--例3
问题:
两个相似三角形的周长比会等于相似比吗?
学生自主探究,互相交流,归纳
结论:
相似三角形的周长比等于相似比。
四、课堂练习
教材P39—练习第1、2、3题
五、课堂小结:
说说你在本节课的收获。
六、布置作业:
教材P42-习题27·2第6题
27.2.3相似三角形应用举例
教学目标
1、知识与技能:
通过本节相似三角形应用举例,发展学生综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力,提高学生的数学应用意识,加深对相似三角形的理解与认识.
2、过程与方法:
经历动手作图的过程,提高学生将实际问题转化为数学问题的方法,以及运用相似三角形的知识解决问题
3、情感态度与价值观:
在活动过程中使学生积累经验与成功体验,激发学生学习数学的热情与兴趣.
教学重点:
运用两个三角形相似解决实际问题
教学难点:
在实际问题中建立数学模型
教学过程
一、创设情境,导入新课
问:
世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家,叫什么金字塔?
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的4个斜面正对东南西北四个方向,塔基呈正方形,每边长约230多米.据考证,为建成大金字塔,共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米,但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀,所以高度有所降低.
在古希腊,有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说:
“听说你什
么都知道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!
”,这在当时条件下是个大难题,因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗?
二、师生互动,探索新知:
提出问题:
你看过或听说过埃及金字塔解秘的故事吗?
神秘的金字塔引来无数游客观光旅游。
据史料记载,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾用相似三角形的原理测量出金字塔的高度,他是怎样求出金字塔的高度的?
三、例题讲解
例1(教材P39—例4)据史料记载,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根本杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度。
如图:
如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测得OA为201m,求金字塔的高度BO.
(1)太阳光线BA、ED之间有什么关系?
(2)△ABO和△DEF有什么特殊关系?
(3)由EF=2m,FD=3m,OA=201m,怎样求BO?
解:
∵BA∥ED,∴∠BAO=∠EDA又∵∠BOA=∠EFD=90°,∴△ABO∽△DEF
∴
∴BO=134
因此,金字塔的高度为134米。
例2(教材P40—例5)如图27.2—12,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R,如果测得QS=45m。
ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.
解:
∵∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P,
∴△PQR∽△PST
∴PQ/PS=QR/ST
即PQ/PQ+QS=QR/ST,PQ/PQ+45=60/90
PQx90=(PQ+45)x60PQ=90
因此河宽大约为90米。
例3(教材P40—例6)如图27.2-13,左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m,两树的根部的距离BD=5m。
一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进,当他与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶点C?
分析:
(1)何时不能看到点C?
如图27.2-13,设观察者眼睛的位置为点F,画出观察者的水平视线FG,分别交AB,CD于点H,K.视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角。
类似地,∠CFK是观察点C时的仰角,由于树的遮挡,区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域之内。
(2)线段CK、AH、HK的长度是多少?
(3)AH与CK有什么位置关系,为什么?
(2)△FAH与△FCK有什么关系,为什么?
(3)怎样求FH?
解:
如图27.2-13,假设观察者从左向右走到点E时,他的眼睛的位置点F与两棵树的顶端点A,C恰在一条直线之内。
由题意可知,AB⊥L,CD⊥L.
∴△AFH∽△CFK∴FH/FK=AH/CK
即FH/FH+5=8-1.6/12-1.6=6.4/10.4FH=8
由此可知,如果观察者继续前进,当他与左边的树的距离小于8米,由于这棵树的遮挡,观察者看不到右边树的顶端点C.
四、课堂练习
教材P41--练习第1、2题
五、课时小结
(1)相似三角形的应用:
用三角形的相似,解决不能直接测量的物体长度。
(2)实际应用题的解决方法:
解决实际应用题的关键是将题中的信息转化到数学图形中去。
六、布置作业:
教材P42-习题27·2第9、10题
27.3位似
(1)
教学目标:
1、知识与技能:
掌握位似图形的定义;掌握位似图形的性质;
2、过程与方法:
学生经历将一个图形放大或缩小的方法,并且在学习和运用过程中发展数学应用意识。
3、情感态度与价值观:
培养学生动手操作的良好习惯,以积极进取的思想探究数学学科知识,体会本节知识的实际应用价值和文化价值。
教学重点:
能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小。
教学难点:
位似图形的画法。
教学过程:
一、创设情境 引入新课
1、回顾相似多边形的有关概念和性质,为新课引入进行铺垫,同时渗透爱国主义教育,激发学生的学习兴趣和爱国热情。
2、操作实验:
指导全班同学动手操作、进行实验,每位同学拿出自备的两个相似图形纸片,位置任意摆放,连接对应点,观察对应点的连线是否经过一点。
同时请三位同学上黑板前台选取不同类型的相似图形(三角形、四边形、五边形)进行演示,供班级同学参考并猜想。
3、这几副图片表示出了图形之间的什么特殊的关系?
引出课题——位似。
教师板书。
二、师生互动,探索新知:
1、建构新知:
位似图形及其有关概念
如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.
2、让学生进一步操作,亲身感受位似图形与相似图形的联系与区别。
通过观察、思考、交流、讨论得出如下结论:
位似图形是一种特殊的相似图形,而相似图形未必都能构成位似关系。
三、例题讲解
例1下列说法正确的是()
A.两个图形如果是位似图形,那么这两个图形一定全等;
B.两个图形如果是位似图形,那么这两个图形不一定相似;
C.两个图形如果是相似图形,那么这两个图形一定位似;
D.两个图形如果是位似图形,那么这两个图形一定相似。
例2下列每组图中的两个多边形,是位似图形的是()
图1
例3如图1,四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形,它们的位似中心是()
A.点EB.点FC.点GD.点D
例4已知图1中,AE∶ED=3∶2,则四边形ABCD与四边形EFGD的位似比为()
A.3∶2B.2∶3C.5∶2D.5∶3
四、课堂练习
教材P48-练习第1、2题
五、归纳小结
1、畅谈这节课你的收获与感受。
2、总结:
位似图形的概念、性质、应用。
3、实际应用:
位似图形在家庭装潢设计
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- 相似 九年级 学人 教版第 27 教案
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