二次函数解析式求法及图象与系数关系举例.docx

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二次函数解析式求法及图象与系数关系举例

二次函数解析式求法及图象与系数关系举例

1.已知二次函数

中自变量x和函数y的部分对应值如下表

X

…

-1

0

1

…

y

…

-2

-2

0

…

求该二次函数的解析式；

[解1]：

观察所给的表格此函数图象关于x=

对称，它的顶点坐标是（

，

）

所以不妨设二次函数解析式为

又因为当x=0时y=-2

所以有 

a=1

所以此二次函数的解析式为

[解2]设此二次函数解析式为

当x=0时，y=-2; 当x=-1时，y=-2;当x=1时，y=0;可以列出如下方程：

解之得：

a=1,b=1,c=-2

所以此二次函数的解析式为 

;

2.已知抛物线

关于直线x=1轴对称，它的最低点的纵坐标为-2，且抛物线与y轴交于点（0,1），求这个二次函数的解析式；

[解1]：

因为抛物线

关于直线x=1轴对称，它的最低点的纵坐标为-1，可知此抛物线的顶点坐标是（1，-2）

所以不妨设抛物线的解析式为

；

又抛物线与y轴交于（0，1）

所以有  

  a=3

所以抛物线的解析式为：

[解2] 依题意有：

 ①

② 

③

联立①②③解之得 a=3 b=-6 c=1

所以此抛物线的解析式是：

3.已知当x=1时，二次函数的最大值为2，且过点（2，-3），求此二次函数的解析式；

[解1]：

依题意设抛物线的解析式为

当x=1时

① 

②

③

解之得 a=-5 b=10 c=-3

所以抛物线的解析式是：

[解2] 依题意抛物线的顶点坐标是（1,2）

所以不妨设抛物线的解析式为

有抛物线过（2，-3）

所以 

 解之得 a=-5 

所以抛物线的解析式为

4.抛物线

的图象如图所示，求抛物线的解析式

[解1]从抛物线图象可知:

图象关于x=1对称，与x轴相交于两点（

，0），（3,0），

这两点也关于x=1对称；

所以有：

=-1

所以可以设抛物线解析式为

而点（0,3）在抛物线上，所以 

 a=-1

因此，抛物线的解析式是

即

[解2]：

从抛物线图象可知 

① 

②

解之得 b=2,c=3

因此，抛物线的解析式是:

5．二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，求m的值并写出抛物线的解析式；

x

...

﹣2

﹣1

0

1

2

3

4

...

y

...

7

2

﹣1

﹣2

m

2

7

...

[解1]：

根据二次函数的对称性可以知道：

m=-1;函数对应图象的对称轴为x=1，

且当x=1时，y=-2;

所以不妨设二次函数的解析式为：

当x=0时，y=-1;即 

 a=1

所以此二次函数为

[解2]：

因为当x=-1,0,1时，y=2，-1，-2；所以把相应值代入得到一个三元一次方程组，解之得a=1,b=-2,c=-1;

6.抛物线y=-x2图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，求所得图象的解析式。

再把所得的解析式向左平移5个单位，向上平移4个单位，求所得抛物线解析式；

[解] 

7将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，求所得抛物线的解析式。

[解] 将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°就是求原抛物线过原顶点垂直对称轴的对称图形；所以先要对原抛物线配方得：

所以所得抛物线的解析式是

；

练习：

1.抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x

…

﹣2

﹣1

0

1

2

…

y

…

0

4

6

6

4

…

求抛物线的解析式。

2.若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，求原二次函数解析式。

3.如图A（﹣1，m）、B（n，﹣3）两点是一次函数y2=﹣x-1与二次函数y1=ax2+bx﹣3图象的交点．

（1）求m、n的值和二次函数的解析式．

（3）说出所求的抛物线y1=ax2+bx﹣3可由

抛物线y=x2如何平移得到？

4.已知点A（1，1）在二次函数y=x2﹣2ax+b图象上．且该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的解析式．

5.已知二次函数

的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．求这个二次函数的解析式．

6.已知二次函数

的对称轴为

，且图象经过A（-1,0），B（0，-3）两点。

求二次函数的解析式。

7.已知抛物线上有三点A（0,3），B（1,6），C（-1,2）求此抛物线的解析式。

8.若抛物线

与

轴交点的横坐标为-1，与y轴交点的纵坐标为2；求抛物线的解析式；

9.抛物线

与x轴交于两点A、B,且A（2,0），B（-4.0），与y轴交点的纵坐标是5；求抛物线的解析式；

10.抛物线

过两点A、B,且A（2,5），B（-4.5），与y轴交点的纵坐标是-3；求抛物线的解析式；

【例题1】.二次函数

的图象如图所示。

下列说法正确的是（D）

A a＞0 ;    B C＜0;  

C 

＜0;  Da+b+c＞0

[分析]：

从图象上可以看出：

抛物线与x轴有两个交点

所以

﹥0；因为抛物线开口向下，所以

a＜0;抛物线与y轴交于y轴正半轴，所以

c＞0;对称轴在y轴右边，所以

＞0，a＜0,所以b＞0；

（a、b异号，对称轴在y轴右边，a、b同号，对称轴在y轴左边）；

***又因为1＜3，当0＜x＜3时，函数y由+变到0；所以当x=1时，函数y＞0,即

＞0；

【例题2】已知二次函数

的图象如图所示，且关于

的一

元二次方程

没有实数根，有下列结论：

①

；

②

；③

.其中，正确结论的个数是（D ）

（A）0    （B）1    

（C）2    （D）3

[分析]

从图象上可以看出：

抛物线与x轴有两个交点

所以

﹥0；因为抛物线开口向下，所以a＜0;抛物线与y轴交于y轴正半轴，所以c＞0;对称轴在y轴右边，所以

＞0，a＜0,所以b＞0；（a、b异号，对称轴在y轴右边，a、b同号，对称轴在y轴左边）；

***方程

可以看成抛物线

与直线y=m相交的情况；从图象可以知道，当m=2,抛物线与直线有一个（或两个重合的）交点；当m＜2,抛物线与直线有两个交点；当m＞2,抛物线与直线没有交点；（对应方程有无实根情况）

练习：

1.（3分）（2014?

莱芜）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：

①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2

其中正确的个数有（ ）

2.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示．给出下列说法：

①抛物线与y轴的交点为（0，6）；②抛物线的对称轴是在y轴的右侧；③抛物线一定经过点（3，0）；④在对称轴左侧，y随x增大而减小．从表可知，下列说法正确的个数有（ ）

x

…

-3

-2

-1

0

1

…

y

…

-6

0

4

6

6

…

A 1    B  2       C 3     D 4

3.（2011山东菏泽，8，3分）如图为抛物线

的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是  

A．a＋b=－1  　B．a－b=－1    C．b<2a  　 D． ac<0 

4.（2011山东泰安）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：

X

-7

-6

-5

-4

-3

-2

y

-27

-13

-3

3

5

3

则当x=1时，y的值为

A.5       B.-3     C.-13     D.-27

5.（2011山东威海，7，3分）二次函数

的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范

围是（  ）．

A．－1＜x＜3    B．x＜－1    

C．x＞3    D．x＜－1或x＞3

6.（2011山东烟台，10,4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的

对称轴，则下列关系正确的是（  ）

A．m＝n，k＞h      B．m＝n，k＜h 

C．m＞n，k＝h       D．m＜n，k＝h

【答案】A

7.（2011浙江温州，9，4分）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（  ）

A．有最小值0，有最大值3      

B．有最小值－1，有最大值0

C．有最小值－1，有最大值3    

D．有最小值－1，无最大值

8．（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A． a>0   B．b＜0 

C．c＜0  D．a＋b＋c>0

9.（2011台湾全区，28）图（十二）为坐标平面上二次函数

的图形，且此图形通（－1,1）、（2,－1）两点．下列关于此二次函数的叙述，何者正确？

A．y的最大值小于0       B．当x＝0时，y的值大于1

C．当x＝1时，y的值大于1    D．当x＝3时，y的值小于0

10.（2011甘肃兰州，5，4分）抛物线

的顶点坐标是

A．（1，0）    B．（－1，0）    C．（－2，1）    D．（2，－1）

11.（2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数

的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：

（1）

；

（2）c>1；

（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。

你认为其中错误的有

A．2个    B．3个  

C．4个    D．1个

12.（2011江苏宿迁,8,3分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（▲）

A．a＞0　  　B．当x＞1时，y随x的增大而增大

C．c＜0    D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根

13.（2011山东济宁，8，3分）已知二次函数

中，其函数

与自变量

之间的部分对应值如下表所示：