高考数学总复习第34直线与圆锥曲线的综合问题训练练习试题.docx

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高考数学总复习第34直线与圆锥曲线的综合问题训练练习试题

第34　直线与圆锥曲线的综合问题

[题型分析·高考展望]　本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在选择题或填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查，探索类和存在性问题考查的概率也很高.

体验高考

1.（2018·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|＝2|AB|，求直线AB的方程.

解　

（1）由题意，得＝且c＋＝3，

解得a＝，c＝1，则b＝1，

所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.

（2）当AB⊥x轴时，AB＝，又CP＝3，不合题意.

当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为

y＝k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），

将AB的方程代入椭圆方程，

得（1＋2k2）x2－4k2x＋2（k2－1）＝0，

则x1，2＝，

C的坐标为，且

AB＝＝＝.

若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意.

从而k≠0，故直线PC的方程为

y＋＝－，

则P点的坐标为，

从而PC＝.

因为|PC|＝2|AB|，

所以＝，

解得k＝±1.

此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.

2.（2018·湖南）如图，设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.

（1）求p的值；

（2）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围.

解　

（1）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义得＝1，即p＝2.

（2）由

（1）得，抛物线方程为y2＝4x，F（1，0），

可设A（t2，2t），t≠0，t≠±1.

因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：

x＝sy＋1（s≠0），由消去x得y2－4sy－4＝0.

故y1y2＝－4，所以B.

又直线AB的斜率为，

故直线FN的斜率为－，

从而得直线FN：

y＝－（x－1），直线BN：

y＝－.

所以N.

设M（m，0），由A，M，N三点共线得＝，

于是m＝，所以m＜0或m＞2.

经检验，m＜0或m＞2满足题意.

综上，点M的横坐标的取值范围是（－∞，0）∪（2，＋∞）.

3.（2018·四川）已知椭圆E：

＋＝1（a>b>0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P在椭圆E上.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：

|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.

（1）解　由已知，得a＝2b，

又椭圆＋＝1（a>b>0）过点P，故＋＝1，解得b2＝1.所以椭圆E的方程是＋y2＝1.

（2）证明　设直线l的方程为y＝x＋m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）.

由方程组得x2＋2mx＋2m2－2＝0，①

方程①的判别式为Δ＝4m2－4（2m2－2），由Δ>0，

即2－m2>0，解得－

由①得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.

所以M点坐标为，直线OM方程为y＝－x，

由方程组得C，D.

所以|MC|·|MD|＝（－m＋）·（＋m）＝（2－m2）.

又|MA|·|MB|＝|AB|2

＝[（x1－x2）2＋（y1－y2）2]＝[（x1＋x2）2－4x1x2]

＝[4m2－4（2m2－2）]＝（2－m2）.

所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.

高考必会题型

题型一　直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用

例1　设焦点在x轴上的椭圆M的方程为＋＝1（b>0），其离心率为.

（1）求椭圆M的方程；

（2）若直线l过点P（0，4），则直线l何时与椭圆M相交？

解　

（1）因为椭圆M的离心率为，

所以＝2，得b2＝2.

所以椭圆M的方程为＋＝1.

（2）①过点P（0，4）的直线l垂直于x轴时，直线l与椭圆M相交.

②过点P（0，4）的直线l与x轴不垂直时，可设直线l的方程为y＝kx＋4.由消去y，

得（1＋2k2）x2＋16kx＋28＝0.

因为直线l与椭圆M相交，

所以Δ＝（16k）2－4（1＋2k2）×28＝16（2k2－7）>0，

解得k<－或k>.

综上，当直线l垂直于x轴或直线l的斜率的取值范围为∪时，直线l与椭圆M相交.

点评　对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题，一是利用方程的根的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零；二是利用图形来处理和理解；三是直线过定点位置不同，导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同.

变式训练1　（2018·安徽）设椭圆E的方程为＋＝1（a>b>0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.

（1）求椭圆E的离心率e；

（2）设点C的坐标为（0，－b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.

解　

（1）由题设条件知，点M的坐标为，

又kOM＝，从而＝，

进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.

（2）由题设条件和

（1）的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.

设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，

则线段NS的中点T的坐标为.

又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，

从而有解得b＝3.

所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.

题型二　直线与圆锥曲线的弦的问题

例2　已知椭圆＋＝1（a>b>0）的两个焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0）（c>0），过点E（，0）的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|.

（1）求椭圆的离心率；

（2）求直线AB的斜率.

解　

（1）由F1A∥F2B，且|F1A|＝2|F2B|，

得＝＝，从而＝，

整理，得a2＝3c2，故离心率e＝.

（2）由

（1）得b2＝a2－c2＝2c2，

所以椭圆的方程可写为2x2＋3y2＝6c2，

设直线AB的方程为y＝k（x－），即y＝k（x－3c）.

由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），

则它们的坐标满足方程组消去y并整理，得（2＋3k2）x2－18k2cx＋27k2c2－6c2＝0，

依题意，Δ＝48c2（1－3k2）>0，得－

而x1＋x2＝，①

x1x2＝，②

由题设知，点B为线段AE的中点，

所以x1＋3c＝2x2，③

联立①③解得x1＝，x2＝，

将x1，x2代入②中，解得k＝±满足（*）式，

故所求k的值是±.

点评　直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程，弦长，弦的位置确定，弦中点坐标轨迹等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，利用几何性质列方程（组），不等式（组）或利用一元二次方程根与系数的关系，使问题解决.

变式训练2　设F1，F2分别是椭圆E：

＋＝1（a>b>0）的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.

（1）求椭圆E的离心率；

（2）设点P（0，－1）满足|PA|＝|PB|，求椭圆E的方程.

解　

（1）由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a，

l的方程为y＝x＋c，其中c＝.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则A，B两点的坐标满足方程组消去y，

化简得（a2＋b2）x2＋2a2cx＋a2（c2－b2）＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

因为直线AB的斜率为1，

所以|AB|＝|x2－x1|＝，

即a＝，

故a2＝2b2，

所以E的离心率e＝＝＝.

（2）设AB的中点为N（x0，y0），由

（1）知

x0＝＝＝－，y0＝x0＋c＝.

由|PA|＝|PB|，

得kPN＝－1，即＝－1，

得c＝3，从而a＝3，b＝3.

故椭圆E的方程为＋＝1.

高考题型精练

1.（2018·北京）已知椭圆C：

x2＋3y2＝3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.

解　

（1）椭圆C的标准方程为＋y2＝1，

所以a＝，b＝1，c＝.

所以椭圆C的离心率e＝＝.

（2）因为AB过点D（1，0）且垂直于x轴，

所以可设A（1，y1），B（1，－y1），

直线AE的方程为y－1＝（1－y1）（x－2），

令x＝3，得M（3，2－y1），

所以直线BM的斜率kBM＝＝1.

（3）直线BM与直线DE平行，证明如下：

当直线AB的斜率不存在时，由

（2）可知kBM＝1.

又因为直线DE的斜率kDE＝＝1，所以BM∥DE，

当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k（x－1）（k≠1），设A（x1，y1），B（x2，y2），

则直线AE的方程为y－1＝（x－2）.

令x＝3，得点M，

由

得（1＋3k2）x2－6k2x＋3k2－3＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝，

直线BM的斜率kBM＝，

因为kBM－1＝

＝＝＝0，

所以kBM＝1＝kDE.

所以BM∥DE，

综上可知，直线BM与直线DE平行.

2.（2018·课标全国甲）已知A是椭圆E：

＋＝1的左顶点，斜率为k（k>0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（1）当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；

（2）当2|AM|＝|AN|时，证明：

（1）解　设M（x1，y1），则由题意知y1>0，由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.

又A（－2，0），因此直线AM的方程为y＝x＋2.

将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0，

解得y＝0或y＝，所以y1＝.

因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.

（2）证明　将直线AM的方程y＝k（x＋2）（k>0）代入＋＝1得（3＋4k2）x2＋16k2x＋16k2－12＝0，

由x1·（－2）＝得x1＝，

故|AM|＝|x1＋2|＝.

由题设，直线AN的方程为y＝－（x＋2），

故同理可得|AN|＝.

由2|AM|＝|AN|，得＝，

即4k3－6k2＋3k－8＝0，

设f（t）＝4t3－6t2＋3t－8，

则k是f（t）的零点，

f′（t）＝12t2－12t＋3＝3（2t－1）2≥0，

所以f（t）在（0，＋∞）单调递增，

又f（）＝15－26<0，f

（2）＝6>0，

因此f（t）在（0，＋∞）有唯一的零点，

且零点k在（，2）内，

所以

3.已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c>0）到直线l：

x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；

（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值.

解　

（1）依题意知＝，c>0，解得c＝1.

所以抛物线C的方程为x2＝4y.

（2）由y＝x2得y′＝x，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，

所以切线PA的方程为y－y1＝（x－x1），

即y＝x－＋y1，

即x1x－2y－2y1＝0.

同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0，

又点P（x0，y0）在切线PA和PB上，

所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，

所以（x1，y1），（x2，y2）为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解，所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.

（3）由抛物线定义知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，

所以|AF|·|BF|＝（y1＋1）（y2＋1）＝y1y2＋（y1＋y2）＋1，

联立方程

消去x整理得y2＋（2y0－x）y＋y＝0，

所以y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y，

所以|AF|·|BF|＝y1y2＋（y1＋y2）＋1

＝y＋x－2y0＋1

＝y＋（y0＋2）2－2y0＋1

＝2y＋2y0＋5

＝22＋，

所以当y0＝－时，

|AF|·|BF|取得最小值，

且最小值为.

4.已知椭圆C1：

＋＝1（a>b>0）的右顶点为A（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设点P在抛物线C2：

y＝x2＋h（h∈R）上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值.

解　

（1）由题意，得

从而

因此，椭圆C1的方程为＋x2＝1.

（2）如图，

设M（x1，y1），N（x2，y2），P（t，t2＋h），

则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′.

直线MN的方程为y＝2tx－t2＋h.

将上式代入椭圆C1的方程中，

得4x2＋（2tx－t2＋h）2－4＝0，

即4（1＋t2）x2－4t（t2－h）x＋（t2－h）2－4＝0.①

因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，

所以①式中的Δ1＝16[－t4＋2（h＋2）t2－h2＋4]>0.②

设线段MN的中点的横坐标是x3，

则x3＝＝.

设线段PA的中点的横坐标是x4，

则x4＝.

由题意，得x3＝x4，

即t2＋（1＋h）t＋1＝0.③

由③式中的Δ2＝（1＋h）2－4≥0，

得h≥1，或h≤－3.

当h≤－3时，

h＋2<0，4－h2<0，

则不等式②不成立，所以h≥1.

当h＝1时，

代入方程③得t＝－1，

将h＝1，t＝－1代入不等式②，检验成立.

所以，h的最小值为1.