卢清扬七年级数学维修定律.docx
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卢清扬七年级数学维修定律
卢清扬数学维修定律
错误
正确
1
A(B+C)=AB+C
基本乘法分配律A(B+C)=AB+AC
扩展一下,括号外的乘数应该分配给括号内的每一个项。
A(B+C+D+E+F+G)=AB+AC+AD+AE+AF+AG
2
-(B+C)=-B+C
-(B+C)
=(-1)
(B+C)
=(-1)
B+(-1)
C
=-B-C
单独的负号可以看做乘-1
3
A+B-C=D
A+B=D-C
A+B-C=D
A+B-C+C=D+C
A+B=D+C
方程里面挪动一个加减项,实质是等式左右同时加上或减去这个项。
4
(-2)
(-3)
=?
卢清扬:
!
@#¥%……&*()
(-2)
(-3)
=
(2
3
)
=-720
连乘和连除,利用乘法交换律,可以把所有的-1都提取出来先行计算,奇数个-1则最终结果为负,偶数个-1则最终结果为正,先确定正负号后再计算。
5
一件售价100元的商品赚了25%,赚了多少元?
卢清扬:
100
赚是相对买入价,而不是卖出价的。
需要先算出来买入价是多少,再通过买入价和卖出价的差来计算赚了多少。
设买入价为X列方程
(1+25%)X=100
X=80
赚钱=买入价-卖出价
100-80=20
6
两个棱长为a的立方体,一个棱长增加了3,体积分别扩大多少?
卢清扬:
9?
27?
凭借印象写答案就是蒙,先算出棱长增加3后的立方体体积再说。
(a+3)
(a+3)
(a+3)
=[(a+3)
a+(a+3)
3]
(a+3)
=[
+3a+3a+9]
(a+3)
=[
+6a+9]
(a+3)
=
(a+3)+6a
(a+3)+9
(a+3)
=
+3
=
+27a+27
原来立方体的体积是
+27a+27
注意计算中连续两次使用了乘法分配律
卢清扬几何维修定律
错误
正确
1
一个等腰三角板,按图旋转一定角度后,已知∠AOD=80,求∠COB。
几何和代数不同的是,几何的线和角有位置关系,位置通常会传达几种隐含信息:
1.某几个角的单独一个的度数未知,但他们的和是已知的。
2.平角、直角是隐含的90和180,等边三角形是隐含的60.
3.等腰或等边三角形是隐含的某些角相等关系。
4.同在一个三角形内的角,其和是180.
5.平分、三等分之类比例关系是隐含的,某些角之间的度数相等。
如果某个角同时符合上述多个标准,围绕这个角的条件就更多,也越容易成为突破口。
线索1:
从∠AOD=80出发,从图可知,∠AOB=∠AOC+∠COB+∠BOD,虽然这三个角都不知道具体的角度,但是其和是确定的。
线索2:
等腰三角板这个词,传递给我们一个很重要的线索,也就是∠AOB=∠COD=45。
仔细观察图,先把∠COD看做上面的三角形的一部分,不难发现=∠AOC+∠COB=∠AOB=45。
再回到线索1:
∠AOB=∠AOC+∠COB+∠BOD
=∠AOB+∠BOD
=45+∠BOD
所以,∠BOD=80-45=35。
再把∠COB看做下面的三角形的一部分。
∠COB=∠COD-∠BOD
=45-35
=10
本题的关键,是将∠COB分别视为两个角的一部分,以及题目中没有直接给出的45这个数字。
七年级数学应用题类型总概
一. 和、差、倍、分问题:
(1)倍数关系:
通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率„„”来体现。
(2)多少关系:
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余„”来体现。
1.1、甲比乙大15岁,5年前甲的年龄是乙的两倍,乙现在的年龄是多少岁?
二.行程问题:
(1)行程问题中的三个基本量及其关系:
路程=速度×时间
(2)基本类型有
①相遇问题;
②追击问题;一般情况下:
相背而行;相向而行;行船问题;环形跑道问题.
a、相背而行;总路程=甲路程+乙路程
甲----------------------
总路程
-------------------------乙
b、相向而行;总路程=甲路程+乙路程
-------------------------甲
总路程
乙----------------------
c、同向而行:
总路程=慢车路程+距离差=快车路程
距离差
慢车----------------------
总路程
快车-----------------------------------------------------
d、行船问题:
总路程=顺水速度×时间=逆水速度×时间
甲---------------------船速度+水速度---------------------
总路程
---------------------船速度-水速度---------------------乙
e、环形跑道的追击:
快车路程=慢车路程+一圈路程
一圈路程
慢车----------------------
总路程
快车-----------------------------------------------------
③行船中的顺逆水问题、飞行中的顺逆风问题。
a、顺水速度=静水速度+水流速度 。
b、逆水速度=静水速度-水流速度。
c、(顺水速度-逆水速度)÷2=水流速度。
(注:
顺逆风的情况和这一样的思路)
(3)速度在部分情况下,并不是用公里/小时这样的绝对数值来表示,而是2小时走完全程这样的方式,来隐晦表达速度为1/2。
2.1、甲、乙两人练习50米短距离赛跑,甲每秒钟跑7米,乙每秒钟跑6.5米。
(1)几秒后,甲在乙前面2米?
(2)如果甲让乙先跑4米,几秒可追上乙?
2.2、一艘船在两个码头之间航行,水流速度是3千米每小时,顺水航行需要2小时,逆水航行需要3小时,求两码头的之间的距离?
2.3、甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的A站向下游的B站驶去,与此同时乙轮船自B站出发逆水向A站驶来;7.2小时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇。
已知甲轮船与自漂水流测试仪行2.5小时后相距31.25千米,甲、乙两船的航速相等。
A.B两站之间的距离是多少千米?
设船的航速为a千米/小时,水流速度为b千米/小时,A.B两站之间的距离是s千米。
三 劳力调配问题:
这类问题要搞清人数的变化,常见题型有:
(1)既有调入又有调出;
(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;
(3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变;
3.1、苹果单价是每筐60元,香蕉单价是每筐40元,初三某班要搞毕业联欢会,共买了12筐,合计付款620元,问苹果和香蕉各多少筐?
3.2、甲车队有15辆汽车,乙车队有28辆汽车,现调来10辆汽车分给两个车队,使甲车队车数比乙车队车数的一半多2辆,应分配到甲乙两车队各多少辆车?
四 工程问题:
工程问题中的三个量及其关系为:
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率在部分情况下,并不是用件/天这样的绝对数值来表示,而是20天做完总量这样的方式,来隐晦表达工作效率为1/20。
4.1、修一条路,A队单独修完要20天,B队单独修完要12天。
现在A队单独修4天后,A、B两队合修还需多少天才能完成?
4.2、某人看一本书,第一天看20页,第二天看整本书的1/4 ,第三天看整本书的1/3 ,第四天看了整本书的2/5 刚好看完。
问这本书一共有多少页?
五. 商品销售问题
商品销售问题中几个重要的关系式:
买入价
利润
卖出价
折后价
折扣
买入价
卖出价
亏损
(1)商品利润=商品售价-商品进价
(2)商品利润率=商品利润
商品进价
(3)商品折后售价=商品折前售价×折扣率=商品标价×折扣率
折扣率=折扣
商品折前售价
5.1、某种商品每件的进价为250元,按标价的9折销售时,利润率为15.2%,这种商品每件标价多少元?
六. 数字问题
(1)要搞清楚数的表示方法:
一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9)则这个三位数表示为:
100a+10b+c
(2)数字问题中一些表示:
两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示.
(3)按照某种规律连续的一组数字,比方说7的倍数,可以假定第一个数字为
,则后续的数字可以用
表示。
6.1、有一些分别标有5,10,15,20,25„„的卡片,后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大5,小明拿到了相邻的3张卡片,且这些卡片上的数之和为240。
(1)小明拿到了哪3张卡片?
(2)你能拿到相邻的3张卡片,使得这些卡片上的数之和是63吗?
七. 储蓄问题
(1)顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率,利息的20%付利息税。
(2)利息=本金×利率×期数
(3)本息和=本金+利息
(4)利息税=利息×税率(20%)
7.1、为了准备小颖6年后上大学的费用5000元,她的父母现在就参加了教育储蓄。
下面有两种储蓄方式:
(1)直接存入一个6年期(4.9%);
(2)先存一个3年期(4.75%)的,3年后将本息和自动转存一个3年期。
你认为那种储蓄方式开始存入的本金少?
八.按比例分配问题
甲:
乙:
丙=a:
b:
c,全部数量=各部分成分含量之和,一般设的的时候为:
ax,bx,cx。
例如:
甲、乙、丙的和为369,且甲:
乙:
丙=3:
5:
9,则设甲为3x,乙为5x,丙为9x,则:
3x+5x+9x=369。
甲1
乙2
甲2
乙4
甲3
乙6
8.1、甲、乙、丙三村集资140万元办学,经协商甲、乙、丙三村的投资之比是5:
2:
3。
问他们应各投资多少万元?
九.日历中的问题
日历中的每一行上相邻两数,右边比左边大日历中每一列上相邻的两数下面的数比上面的大7,且日历中数字a的取值是在1~31之间。
9.1、日历上同一竖列上3日,日期之和为75,第一个日期是几号?
十.比赛得分规则
①总积分=胜场得分+平场得分+负场得分
②胜场得分=胜一场分数×胜场数
③平场得分=平一场分数×平场数
④负场得分=平一场分数×负场数
⑤总场数= 胜场数+平场数+负场数
注意,某些运动负场也是有得分的,不能认为负场就一定是0分。
10.1、在学完“有理数的运算”后,实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队,在数学张老师的组织下进行一次知识竞赛. 竞赛规则是:
每队都分别给出50道题,答对一题得3分,不答或答错一题倒扣1分.
(1)如果㈡班代表队最后得分142分,那么㈡班代表队回答对了多少道题?
(2)㈠班代表队的最后得分能为145分吗?
请简要说明理由
十一.等积变形问题:
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提,有时候也会出现周长或面积不变,常用等量关系为:
(1)绳子周长:
形状变了,周长没变;
(2)水箱体积:
从一个形状的水箱将谁转移到另一个水箱,形状变了,体积没变。
(3)原料体积:
钢锭融化为铁水,再铸成其他形状,形状变了,体积没变。
(4)包装纸面积:
圆柱形侧面,或者长方体表面,包装纸展开后形状变了,面积没变。
11.1、将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米,300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的水,倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中,正好倒满,求圆柱形水桶的高(精确到0.1毫米,
≈3.14).
十二.分阶段问题
这种问题一般情况下分两个阶段:
(1)在某一范围内收费标准。
(2)超出范围的收费标准的计算方法,有时候还会有多个范围和多个计算方法。
(3)总费用=范围内的费用+超出范围的费用
12.1、某地上网有两种收费方式,用户可以任选其一:
(A)记时制:
2.8元/小时。
(B)包月制:
16元/月。
此外还加收通讯费1.2元/小时。
(1)某用户上网20小时,选用哪种上网方式比较合算?
(2)当上网时间在什么小时时,两种上网费用一样多?
12.2、为鼓励节约用水,某地按以下规定收取每月水费,如果每月每户用水不超过20吨,那么每吨水费按1.2元收费,如果每月每户用水超过20吨,那么超过部分按每吨2元收费,若某用户五月份的水费平均每吨1.5元,问该用户应交水费多少元?
卢清扬七年级上考前突击
E
题目:
直线BA和CD相较于点O,OE评分∠AOD,∠FOC=102°,∠1=32°,求∠2和∠3的度数。
D
2
B
A
3
1
O
F
C
提示:
1、画图,将已知条件全部标注在图上;
2、通过已知条件,推导出中间结果,并标注在图上,逐渐增加已知条件;
3、中间结果可以直接标注具体数字,也可以标注已知还是未知;
4、从结果出发,反推需要知道哪些条件才能计算出结果;
题目:
一个等腰三角板,按图旋转一定角度后,已知∠AOD=70,求∠COB。
A
C
B
O
D
提示:
1、平角、直角、等腰、等边……这些语言中包含隐藏的已知条件;
题目:
某景点门票为:
成年100元,学生80元,在此基础上,淡季优惠成人8折,学生6折。
某旅行团在淡季前往,打折后门票节约了1228元,已知该旅行团成人比学生多12人,求成人和学生各多少人?
提示:
1、根据结果设定未知数x;
2、从基本的等量关系出发,建立基本的方程关系,不要带入任何具体的数字;
3、检查等量关系的两边,是否都可以用已知条件和x进行替换;
4、确定等量关系和方程逻辑正确后,进行计算;
5、计算过程警惕维修定律中典型错误;
6、验算,如果不对,从第4步开始检查,注意正负号和括号;
题目:
有线段MN,有AB两个动点从M出发,到达N点后立即折返。
已知MN=100米,A速度为3米/秒,B速度为2米/秒。
AB同时从M出发,经过多少秒第一次相遇?
MN
A---
B--
提示:
1、画图,根据题目条件画出答案发生时刻的场景;
2、分析答案发生时刻,每个动点经过的路径,必要的话应在图上画出;
3、寻找题目已知条件中直接给出,以及通过画图得出条件中的等量关系;
4、确定等量关系和方程逻辑正确后,进行计算;
5、验算,将答案视为已知条件,计算每个动点的路径,并检查结果是否符合答案发生时刻的条件;
题目:
某工厂承接一个订单,如每天生产30件产品则在规定时间内,只能提供订单要求产品数量的80%。
如果将生产速度提高到每天50件,则提前1天完成,还能多生产25件。
求规定时间的天数和订单产品的数量?
提示:
1、多个问题通常可以被各个击破,首先需要确定一个相对简单的作为突破口;
2、将突破口设为x,寻找题目中的等量关系,如果不能找到等量关系,要考虑是否找错了突破口;
3、确定等量关系和方程逻辑正确后,进行计算;
4、验算,将答案视为已知条件,计算题目中不同场景是否成立,如果不成立说明方程可能有误;
5、确定突破口是正确的结果后,再进行其他提问的解答;
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