《连续体力学》习题及解答4分析.docx
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《连续体力学》习题及解答4分析
4守恒定律应力场方程
(一)概念、理论和公式提要
4-1质量守恒定律
物体
只与物体有关,与物体的变形运动无关。
假定质量在物体内是连续分布的,不存在集中质量;当物体的体积趋于零时,
。
物体的质量
是与观察者无关的客观的量。
从以上关于
的特性,应有
(4-1-1)
这是质量守恒质量的总体形式。
又有
(4-1-2)
(4-1-3)
与构形无关,即
(4-1-4)
都独立于时间。
式(4-1-4)对任意大小的构形都成立,于是可以引出
(4-1-5)
上式是质量守恒定律的局部形式,称为Lagrange连续性方程。
对式(4-1-5)求物质导数,可得
(4-1-6)
上式是质量守恒定律的动力局部形式,称为Euler连续性方程。
4-2体积分的时间导数输运定理
(1)设
为单位质量所具有(或携带)的力学(热学)量,
内的质量密度,则
是区域
内所包含的总力学量。
时间变化,
都变化。
此处所谓体积分的时间导数是
内所包含的总力学量的时间变率。
这个变率有两种不同的情况。
如果区域的边界
是物质边界,即位在
上的质点始终不变,从而
内的总质量不变,称这类体积分的时间导数为体积分的物质时间导数,简称为体
积分的物质导数,记作
,边界的运动速度等于边界上
质点的速度。
如果区域
是空间边界,位在边界上的质点不总在边界上,从而
内的总质量不固定或不守恒;边界的运动速度
正交于边界,
,它不
等于边界上质点的速度
。
称此类体积分的时间导数为体积分的空间时间导数,简称为体积分的空间导数,记作
。
两种时间导数有如下的关系
(4-2-1)
式中横线表示先将
点乘。
(2)输运定理体积分的物质导数对应于物体或其任何部分所占区域
内包含的质量不变,即有
。
于是可证
(4-2-2)
上式称为输运定理;其适用条件为:
内的质量守恒,
内连续,以及被积函数具有形式
。
4-3应力张量
(1)应力矢Cauchy应力张量变形体内任一点处方向
上的应力矢为
(4-3-1)
此处认为变形体内任一物质面元上所传递的内力可合成一合力,这一看法或假定设称为Euler-Cauchy应力原理,它适用于非极性物质。
按此原理定义的应力称为Cauchy应力。
假定在给定点处任一方向
的线性矢量值张量函数,从而有
(4-3-2)
无关的Euler型二阶张量,称为Cauchy应力张量,其分量式为
或者按一般习惯,记
。
Cauchy应力是实际存在于
内的应力,一般地它是
的函数。
将后可以证明,对于非极性物质,
是对称张量。
(2)Pila-Kirchhoff应力张量Cauchy应力是实际存在于
内的应力。
有时,我们要在
内讨论问题,为此要导出
内与Cauchy应力等价的应力。
记此等价应力张量为
,等价的条件是
内面元
的内力
等于
面元上的内力
,根据式(3-2-30)
,可以导出
是不对称的两点张量,称为第一Piola-Kirchhoff应力张量或Piola应力张量。
有些作者将
(4-3-4)
为了得到
内对称的应力张量,取
(4-3-5)
是对称的Lagrange型张量,称为第二Pila-Kirchhoff应力张量或Pila-Kirchhoff应力张量。
记
(4-3-6)
称为Kirchhoff应力张量。
由于
应满足
(4-3-7)
是文献中常用到的,用以量度应力状态的应力张量。
4-4动量守恒定律
(1)线动量守恒定律常称为动量守恒定律,它可陈述为:
系统的总动量的时间变率(物质导数)等于施加于系统的力系的合力
(4-4-1)
式中
的面元。
应用输运定理及Green公式
(4-4-2)
可得下列动量守恒定律的总体形式
(4-4-3)
其局部形式为(即运动方程)
(4-4-4)
式中
时,上式变为Euler型平衡方程。
在
内动量守恒定律可表示为
(4-4-5)
式中
为Lagrange型矢性算子。
上式的局部形式为
(4-4-6)
或者
(4-4-7)
式中
。
上式的分量式为
(4-4-8)
式(4-4-7)或(4-4-8)是
上的运动方程,所有的量都采用Lagrange描述。
(2)角动量守恒定律角动量又称为动量矩,它是相对于给定的参考点的。
为简单计,取坐标原点为参考点。
于是角动量守恒定律表示为
(4-4-9)
应用动量守恒方程,经运算后,上式简化为
其局部形式为
上式要求
(4-4-10)
即Cauchy应力张量是对称张量。
下列制约连续介质变形运动的方程称为场方程
Euler场方程(以
为变量)
(4-4-11)
Lagrange场方程(以
为变量)
(4-4-12)
4-5能量守恒定律
(1)能量守恒方程的总体形式为
(4-5-1)
式中
(4-5-2)
分别是系统的总内能和总动能的物质导数,
是施加于系统的外功率;
是单位质量的内能。
此处假定系统与外界没有热、电等非机械能的交换。
由式(4-5-2)的第三式可以导出
(4-5-3)
或者记作
(4-5-4)
上式称为机械能守恒定律,其中
(4-5-5)
是系统的总应变能率或应力功率,
是Cauchy应力张量,
是伸长率张量。
由式(4-5-1)和(4-5-4)可得
(4-5-6)
上式的局部形式为
(4-5-7)
上式表明,当系统与外界没有非机械能的交换时,内能的变率等于应变能率。
(2)功共轭应力上面提到的
是现时或瞬时构形内单位体积的应力功率。
记
为单位质量的应力功率,则有
应用
,由上式可以导出
(4-5-8)
上式是
的功共轭应力。
由于
不是任何应变的时间变率,所以
不是任何应变的功共轭应力。
将式(4-5-8)推广
(4-5-9)
式中
为应变
的功共轭应力
已知
同轴,其主方向为Lagrange主轴
。
记
(4-5-10)
即
同轴。
已知(式3-8-23、3-8-27)
于是由式(4-5-9)可得
(4-5-11)
上式对任意的
都成立,于是得到
(4-5-12)
式中
分别是
相对于Euler主轴
和Lagrange主轴
的分量。
例如Biot应变
的功共轭应力
相对于Lagrange主轴
的分量可如下计算:
此时
,于是
代入式(4-5-12),得到
(4-5-13)
4-6虚功率原理
由式(4-5-2)的第三式,应用Green公式,可以导出
(4-6-1)
如果系统处于平衡状态,
,上式变为变形体的虚功率原理
(4-6-2)
其中
彼此独立,但分别满足平衡方程和几何方程
当
同时满足边界条件
上标“
”表示给定量,则式(4-6-2)可写作
(4-6-3)
4-7间断面和间断条件
(1)守恒方程的统一形式守恒方程可统一写成
(9-7-1)
式中
为单位质量所拥有的力学量,它包括质量、动量、动量矩、动能、内能等等。
为系统内分布的源,
为流经系统边界的流动通量。
上式适用于
连续可微、质量不变的情况。
例如
质量守恒定律:
动量守恒定律:
能量守恒定律:
(2)场量有间断时的输运定理和 Green公式
设在
各有间断值
,
,
分别表示
两侧的区域。
于是输运定理应改为
(4-7-2)
式中
为扣去间断面后的区域,在
。
上式是
有间断时的输运定理。
类似地可得
有间断时的Green公式
(4-7-3)
(3)场量有间断时的守恒方程动力连续条件设在
不连续,则守恒方程的统一形式为
(4-7-4)
应用式(4-7-2)和(4-7-3),上式可写成
(4-7-5)
由于
彼此独立,上式的局部形式为
(4-7-6)
(4-7-7)
对于质量守恒定律,
,式(4-7-6)恒满足,式(4-7-7)变为
(4-7-8)
对于动量守恒定律,
;代入式(4-7-6)和(4-7-7),分别得到
(4-7-9)
(4-7-10)
在推导式(4-7-10)时,已应用式(4-7-8)。
上式称为间断面上的动力连续条件,它是间断面上动量守恒定律的局部形式。
如果
,式(4-7-10)变为
(4-7-11)
亦即在
,应力矢连续,即在
上,法向正应力和剪应力连续,只允许切向正应力间断。
当
,如在波动问题中,波的传播速度
甚大于质点的运动速度
,这时式(4-7-10)可近似地写作
(4-7-12)
式中
。
(4)间断面上的运动连续条件
设在
,间断面的运动速度为
应满足下式
(4-7-13)
上式称为函数
在间断面上的一阶运动条件。
设
(质点的位移),上式变为
(4-7-14)
上式称为间断面上的运动连续条件。
如果
,上式变为
(4-7-15)
在小位移梯度情况下,
,则式(4-7-15)
可近似地写成
(4-7-16)
式中的
是Gauchy应变张量或小变形条件下的应变张量。
(二)习题和解答
4-1设
为现时构形内的质量密度,
分别是物体或其任一部分的现时构形和参考构形的体积,试证质量守恒方程可表示为
式中
是参考构形内的质量密度。
解根据质量守恒定律,物体或其任一部分的质量保持不变,即有
应用
,将上式变换到参考构形内,得
由于
不因时间而变化,上式可写成
由于
可以是任意大小,从而由上式可得
(a)
亦即
,在参考构形内,质量密度为
,从而有
(b)
上式是质量守恒方程的Lagrange形式。
由于
不因时间而变,可得
考虑到
,则展开此式得到
注意到
,由上式可得
(c)
(d)
式(c)或(d)称为质量守恒方程的Euler形式,或者称为连续性方程。
4-2试应用上题的结果(式c),证明输运定理
为矢量。
解上题的式(c)表明
,于是
类似地可证
式中
。
4-3设某物体在参考构形内的表面(边界)记为
;证明
式中
。
解已知
(参阅第3章式3-6-6),于是
式中
。
4-4设
分别是物质线段在参考和现时构形内的长度,证明
式中
解已知
(第3章式3-6-5),则
或用分量表示
式中
。
4-5设
流经物质表面
的通量的变化率。
解在下面的式子中,
。
于是(要应用式3-6-6,参考习题4-3)
式中
。
注意到
及
最后得到
4-6证明
式中
是Euler时间导数。
解在现时构形内,总动量为
,于是根据输运定理,有
(a)
又
,应用Green公式,可得
(b)
根据局部性假定,由式(a)和(b),可得
证毕。
4-7证明
可表示为
解
证毕。
注意式中
,表示Euler时间导数。
上式表明,在
瞬时,区域
(假定不变)内总质量的变率等于单位时间内经区域
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- 连续体力学 连续 体力 习题 解答 分析