河北省石家庄市高考一模考试数学试题理含答案.docx
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河北省石家庄市高考一模考试数学试题理含答案
河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试
(一)
理科数学(A卷)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合_,_,则_()
A._B._C._D._
2.已知_为虚数单位,_,其中_,则_()
A._B._C.2D.4
3.函数_,其值域为_,在区间_上随机取一个数_,则_的概率是()
A._B._C._D._
4.点_是以线段_为直径的圆上的一点,其中_,则_()
A.1B.2C.3D.4
5._,_满足约束条件:
_,则_的最大值为()
A.-3B._C.3D.4
6.程序框图如图所示,该程序运行的结果为_,则判断框中可填写的关于_的条件是()
_
A._B._C._D._
7.南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式:
“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减之,以四约之,为实,一为从隅,开方得积.”(即:
_,_),并举例“问沙田一段,有三斜(边),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何?
”则该三角形田面积为()
A.82平方里B.83平方里C.84平方里D.85平方里
8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()
_
A._B._C._D._
9.已知_是定义在_上的偶函数,且在_上为增函数,则_的解集为()
A._B._C._D._
10.在_中,_,_,则_的最大值为()
A._B._C._D._
11.过抛物线_焦点_的直线交抛物线于_,_两点,点_在直线_上,若_为正三角形,则其边长为()
A.11B.12C.13D.14
12.设_,_为两个平面直角坐标系,它们具有相同的原点,_正方向到_正方向的角度为_,那么对于任意的点_,在_下的坐标为_,那么它在_坐标系下的坐标_可以表示为:
_,_.根据以上知识求得椭圆_的离心率为()
A._B._C._D._
二、填空题:
本大题共4小题,每题5分,共20分.
13.命题_:
_,_的否定为.
14.甲、乙、丙三位同学,其中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,已知丙的年龄比学委的大,甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小.据此推断班长是.
15.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上,则该直角三角形斜边的最小值为.
16.已知函数_,_,若函数_有三个不同的零点_,_,_(其中_),则_的取值范围为.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分
17.已知等比数列_的前_项和为_,且满足_.
(Ⅰ)求数列_的通项公式;
(Ⅱ)若数列_满足_,求数列_的前_项和_.
18.四棱锥_的底面_为直角梯形,_,_,_,_为正三角形.
_
(Ⅰ)点_为棱_上一点,若_平面_,_,求实数_的值;
(Ⅱ)若_,求二面角_的余弦值.
19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:
底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:
底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的部分每单奖励12元.
(Ⅰ)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪_(单位:
元)与送货单数_的函数关系式;
(Ⅱ)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足以下条件:
在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图,其中当某天的派送量指标在__时,日平均派送量为_单.
若将频率视为概率,回答下列问题:
_
①根据以上数据,设每名派送员的日薪为_(单位:
元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪_的分布列,数学期望及方差;
②结合①中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并说明你的理由.
(参考数据:
_,_,_,_,_,_,_,_,_)
20.已知椭圆_:
_的左、右焦点分别为_,_,且离心率为_,_为椭圆上任意一点,当_时,_的面积为1.
(Ⅰ)求椭圆_的方程;
(Ⅱ)已知点_是椭圆_上异于椭圆顶点的一点,延长直线_,_分别与椭圆交于点_,_,设直线_的斜率为_,直线_的斜率为_,求证:
_为定值.
21.已知函数_,_,在_处的切线方程为_.
(Ⅰ)求_,_;
(Ⅱ)若方程_有两个实数根_,_,且_,证明:
_.
(二)选考题:
共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系_中,曲线_的参数方程为_(_,_为参数),以坐标原点_为极点,_轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线_的极坐标方程为_,若直线_与曲线_相切;
(Ⅰ)求曲线_的极坐标方程;
(Ⅱ)在曲线_上取两点_,_与原点_构成_,且满足_,求面积_的最大值.
23.[选修4-5:
不等式选讲]
已知函数_的定义域为_;
(Ⅰ)求实数_的取值范围;
(Ⅱ)设实数_为_的最大值,若实数_,_,_满足_,求_的最小值.
石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题
理科数学答案
一、选择题
1-5:
AABDC6-10:
CCDBD11、12:
BA
二、填空题
13._14.乙15._16._
三、解答题
17解:
(1)
法一:
由_得_,
当当_时,_,即_,
又_,当_时符合上式,所以通项公式为_.
法二:
由_得_,
从而有_,
所以等比数列公比_,首项_,因此通项公式为_.
(2)由
(1)可得_,
_,
_.
18.
(1)因为_平面SDM,
__平面ABCD,
平面SDM_平面ABCD=DM,
所以_,
因为_,所以四边形BCDM为平行四边形,
又_,所以M为AB的中点.
因为_,
_.
_
(2)因为__,__,
所以_平面_,
又因为_平面_,
所以平面_平面_,
平面_平面_,
在平面_内过点_作_直线_于点_,
则_平面_,
在_和_中,
因为_,所以_,
又由题知_,
所以_
所以_,
以下建系求解.
以点E为坐标原点,EA方向为X轴,EC方向为Y轴,ES方向为Z轴建立如图所示空间坐标系,则_,_,_,_,_,
_,_,_,_,
设平面_的法向量_,则_,所以_,令_得_为平面_的一个法向量,
同理得_为平面_的一个法向量,
_,
因为二面角_为钝角,
所以二面角_余弦值为_.
_
19.
解:
(1)甲方案中派送员日薪_(单位:
元)与送单数_的函数关系式为:
_,
乙方案中派送员日薪_(单位:
元)与送单数_的函数关系式为:
_,
①由已知,在这100天中,该公司派送员日平均派送单数满足如下表格:
单数
52
54
56
58
60
频率
0.2
0.3
0.2
0.2
0.1
所以_的分布列为:
_
152
154
156
158
160
_
0.2
0.3
0.2
0.2
0.1
所以_,
_,
所以_的分布列为:
_
140
152
176
200
_
0.5
0.2
0.2
0.1
所以_,
_,
②答案一:
由以上的计算可知,虽然_,但两者相差不大,且_远小于_,即甲方案日工资收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案.
答案二:
由以上的计算结果可以看出,_,即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望,所以小明应选择乙方案.
20解:
(1)设_由题_,
解得_,则_,
_椭圆_的方程为_.
(2)设_,_,
当直线_的斜率不存在时,设_,则_,
直线_的方程为_代入_,可得_
_,_,则_
_直线_的斜率为_,直线_的斜率为_,
_,
当直线_的斜率不存在时,同理可得_.
当直线_、_的斜率存在时,_
设直线_的方程为_,则由_消去_可得:
_,
又_,则_,代入上述方程可得
_,
_,则_
_,
设直线_的方程为_,同理可得_,
_直线_的斜率为_,
_直线_的斜率为_,
__.
所以,直线_与_的斜率之积为定值_,即_.
21.解:
(Ⅰ)由题意_,所以_,
又_,所以_,
若_,则_,与_矛盾,故_,_.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知_,_,
设_在(-1,0)处的切线方程为_,
易得,_,令_
即_,_,
当_时,_
当_时,
设_,_,
故函数_在_上单调递增,又_,
所以当_时,_,当_时,_,
所以函数_在区间_上单调递减,在区间_上单调递增,
故_,
_,
设_的根为_,则_,
又函数_单调递减,故_,故_,
设_在(0,0)处的切线方程为_,易得_,
令_,_,
当_时,_,
当_时,
_
故函数_在_上单调递增,又_,
所以当_时,_,当_时,_,
所以函数_在区间_上单调递减,在区间_上单调递增,
_,
_,
设_的根为_,则_,
又函数_单调递增,故_,故_,
又_,
_.
选作题
22
(1)由题意可知直线_的直角坐标方程为_,
曲线_是圆心为_,半径为_的圆,直线_与曲线_相切,可得:
_;可知曲线C的方程为_,
所以曲线C的极坐标方程为_,
即_.
(2)由
(1)不妨设M(_),_,(_)
_
_
_.
当__时,_,
所以△MON面积的最大值为_.
23.【解析】
(1)由题意可知_恒成立,令_,
去绝对值可得:
_,
画图可知_的最小值为-3,所以实数_的取值范围为_;
(2)由
(1)可知_,所以_,
_
_,
当且仅当_,即_等号成立,
所以_的最小值为_.
石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题
理科数学答案
选择题
(A卷答案)
1-5AABDC6-10CCDBD11-12BA
(B卷答案)
1-5BBADC6-10CCDAD11-12AB
填空题
13._14.乙15._16._
三、解答题(解答题仅提供一种或两种解答,其他解答请参照此评分标准酌情给分)
17解:
(1)
法一:
由_得_………………2分
当当_时,_,即_………………4分
又_,当_时符合上式,所以通项公式为_………………6分
法二:
由_得_………………2分
从而有_………………4分
所以等比数列公比_,首项_,因此通项公式为_………………6分
(2)由
(1)可得_…………………8分
_………………………10分
_……………12分
18
(1)因为_平面SDM,
__平面ABCD,
平面SDM_平面ABCD=DM,
所以_……………………2分
因为_,所以四边形BCDM为平行四边形,又,
_,所以M为AB的中点。
…………………4分
因为_
_………………5分
(2)因为__,__,
所以_平面_,
又因为_平面_,
所以平面_平面_,
平面_平面_,
在平面_内过点_作_直线_于点_,
则_平面_,………………6分
在_和_中,
因为_,所以_,
又由题知_,
所以_
所以_,…………………………7分
以下建系求解。
以点E为坐标原点,EA方向为X轴,EC方向为Y轴,ES方向为Z轴建立如图所示空间坐标系,则_,_,_,_,_,…………………………………………………………8分
_,_,_,_,
设平面_的法向量_,则_,所以_,令_得_为平面_的一个法向量,…………………………………………9分
同理得_为平面_的一个法向量,……………10分
_,
因为二面角_为钝角
所以二面角_余弦值为_…………………………………………12分
19.
解:
(1)甲方案中派送员日薪_(单位:
元)与送单数_的函数关系式为:
_…………………………2分
乙方案中派送员日薪_(单位:
元)与送单数_的函数关系式为:
_………………………4分
①由已知,在这100天中,该公司派送员日平均派送单数满足如下表格:
单数
52
54
56
58
60
频率
0.2
0.3
0.2
0.2
0.1
所以_的分布列为:
_
152
154
156
158
160
_
0.2
0.3
0.2
0.2
0.1
-----------5分
所以_----6分
_-------7分
所以_的分布列为:
_
140
152
176
200
_
0.5
0.2
0.2
0.1
-----------8分
所以_-----------9分
_-------10分
②答案一:
由以上的计算可知,虽然_,但两者相差不大,且_远小于_,即甲方案日工资收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案。
--------12分
答案二:
由以上的计算结果可以看出,_,即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望,所以小明应选择乙方案。
--------12分
20解:
(1)设_由题_,--------------------2分
解得_,则_,
_椭圆_的方程为_.-------------------------------------------4分
(2)设_,_,
当直线_的斜率不存在时,设_,则_,
直线_的方程为_代入_,可得_
_,_,则_
_直线_的斜率为_,直线_的斜率为_,
_,
当直线_的斜率不存在时,同理可得_.----------------------------5分
当直线_、_的斜率存在时,_
设直线_的方程为_,则由_消去_可得:
_,
又_,则_,代入上述方程可得
_,
_,则_
_7分
设直线_的方程为_,同理可得_----------------------------9分
_直线_的斜率为_----------------11分
_直线_的斜率为_,
__.
所以,直线_与_的斜率之积为定值_,即_.-----------------12分
21.解:
(Ⅰ)由题意_,所以_,
又_,所以_,…………2分
若_,则_,与_矛盾,故_,_…………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知_,_,…………5分
设_在(-1,0)处的切线方程为_,
易得,_,令_
即_,_,
当_时,_
当_时,
设_,_,
故函数_在_上单调递增,又_,
所以当_时,_,当_时,_,
所以函数_在区间_上单调递减,在区间_上单调递增,
故_…………7分
_
设_的根为_,则_
又函数_单调递减,故_,故_,…………8分
设_在(0,0)处的切线方程为_,易得_
令_,_,
当_时,_
当_时,
_
故函数_在_上单调递增,又_,
所以当_时,_,当_时,_,
所以函数_在区间_上单调递减,在区间_上单调递增,
_…………10分
_
设_的根为_,则_
又函数_单调递增,故_,故_,………11分
又_,
_…………12分
选作题
22
(1)由题意可知直线_的直角坐标方程为_,…………2分
曲线_是圆心为_,半径为_的圆,直线_与曲线_相切,可得:
_;可知曲线C的方程为_,…………4分
所以曲线C的极坐标方程为_,
即_…………5分
(2)由
(1)不妨设M(_),_,(_)
_…………7分
_
_………………9分
当__时,_
所以△MON面积的最大值为_.………………10分
23.【解析】
(1)由题意可知_恒成立,令_,
去绝对值可得:
_,
………………3分
画图可知_的最小值为-3,所以实数_的取值范围为_;………………5分
(2)由
(1)可知_,所以_,
_………………7分
_………………9分
当且仅当_,即_等号成立,
所以_的最小值为_.………………10分
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