误差理论与测量平差基础习题集.docx
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误差理论与测量平差基础习题集
第一章绪论
§1-1观测误差
1.1.01为什么说观测值总是带有误差,而且观测误差是不可避免的?
1.1.02观测条件是由哪些因素构成的?
它与观测结果的质量有什么联系?
1.1.03测量误差分为哪几类?
它们各自是怎样定义的?
对观测成果有何影响?
试
举例说明。
1.1.04用钢尺丈量距离,有下列几种情况使量得的结果产生误差,试分别判定
误差的性质及符号:
(1)长不准确;
(2)尺尺不水平;
(3)估读小数不准确;
(4)尺垂曲;
(5)尺端偏离直线方向。
1.1.05在水准测量中,有下列几种情况使水准尺读数带有误差,试判别误差的
性质及符号:
(1)视准轴与水准轴不平行;
(2)仪器下沉;
(3)读数不准确;
(4)水准尺下沆。
§1-2测量平差学科的研究对象
何谓多余观测?
测量中为什么要进行多余观测?
测量平差的基本任务是什么?
§1-3测量平差的简史和发展
高斯于哪一年提出最小二乘法?
其主要是为了解决什么问题?
自20世纪五六十年代开始,测量平差得到了很大发展,主要表现在那些方面?
§1-4本课程的任务和内容
本课程主要讲述哪些内容?
其教学目的是什么?
第二章误差分析与精度指标
§2-1正态分布
为什么说正态分布是一种重要的分布?
试写出一维随机变量X的正态分布概率密度式。
§2-2偶然误差的规律性
观测值的真误差是怎样定义的?
三角形的闭合差是什么观测值的真误差?
在相同的观测条件下,大量的偶然误差呈现出什么样的规律性?
偶然误差*服从什么分布?
它的数学期望和方差各是多少?
§2-3衡量精度的指标
何谓精度?
通常采用哪几种指标来衡量精度?
在相同的观测条件下,对同一个量进行若干次观测得到一组观测值,这些观测值的精度是否相同?
能否认为误差小的观测值比误差大的观测值精度高?
若有两个观测值的中误差相同,那么,是否可以说这两个观测值的真误差一定相同?
为什么?
为了鉴定经纬度的精度,对已知精确测定的水平角α=45O00’00”作12次观测,结果为:
45o00’06”44o59’55”44o59’58”45o00’04”
45o00’03”45o00’04”45o00’00”44o59’58”
44o59’59”44o59’59”45o00’06”45o00’03”
设α没有误差,试求观测值的中误差。
有一段距离,其观测值及其中误差为345.67m+_15mm。
试估计这个观测值的真误差的实际可能范围是多少?
并求出该观测值的相对中误差。
已知两段距离的长度及其中误差分别为300.465m+_4.5cm及660.894m+_4.5cm,试说明这两段距离的真误差是否相等?
它们的精度是否等?
§2-4精度、准确度与精确度
试写出协方差的定义式,并说明它是怎样描述这两个观测值之间的相互关系的。
两个独立观测值是否可称为不相关观测值?
而两个观测值是否就是不独立观测值呢?
相关测量值向量X的协方差阵是怎样定义的?
试说明DXX中各个元素的含义。
当向量X中的各个分量两两相互独立式,其协方差阵有什么特点?
试写出描写两个观测值向量X和Y之间相互关系的互协方差阵的定义式,并说明DXY中各个元素的含义。
何谓准确度?
何谓精确度?
当观测值中不存在系统误差时,精确度就是精度吗?
§2-5测量不确定度
测量数据的不确定性和不确定度是怎样定义的?
不确定度评定的标准是什么?
§2-6综合练习题
社队某量进行了两组观测,它们的真误差分别为:
第一组:
3,-3,2,4,-2,-1,0,-4,3,-2
第二组:
0,-1,-7,2,1,-1,8,0,-3,1
试求两组观测值的平均误差
、
和中误差
、
,并比较两组观测值的精度。
设有观测值向量
=【L1L2】T,已知σt1=2秒,σt2=3秒,σt1t2=-2秒2,试写出其协方差阵DXX。
设有观测值向量
=【L1L2L3】T的协方差阵
={},试写出观测值L1、L2及L3的中误差以及协方差σL1L2、σL1L3和σL2L3。
第三章协方差传播律及权
§3-1数学期望的传播
3.1.01数学期望是怎祥定义的?
何谓数学期望的传播?
试写出数学期望传播的运算公式.例如.已知同精度观测值=xi(i=1,2,```,n)的数学期望均为µ,问其算术平均值x=
xi的数学期望等于多少?
§3-2协方差传播律
,应用协方差传播律应注意哪些问題?
试举
例说明之。
3.2.06试简述应用协方差传播律的计算步骤。
=l,2,3)均为等精度独立观测值,其中误差为σ,试求X的
中误差:
(1)X=1/2(L1+L2)+L3
(2)X=L1L2/L3
巳知观测值的中误差σ1=σ2=σ,σ12=0,设X=2L2+5,Y=L1-2L2,
Z=L1L2,t=X+Y,试求X,Y,Z和t的中误差。
3.2.09已知独立观測值L1,L2的中误差为σ1和σ2,试求下列函数的中误差:
(1)X=L1-2L2;
(2)Y=0.5L12+L1L2;
(3)Z=sinL1/sin(L1+L2).
3.2.10设有观测值向量L=[L1L2L3]T,其协方差阵为
DLL=
试分别求下列函数的方差:
⑴F1-L1-3L3;
(2)F2=3L2L3。
(3)=[LlL2L3]T,其协方差阵为DLL=
试分别求下列函数的方差:
(1)F1=L1+3L2-2L3;
(2)F2=L12+L2+
。
3.2.12已知观测值向量L及其协方差阵DLL,组成函数X=AL,Y=BX,试求协方差阵
DXL,DYL和DXY.
3.2.13设有观测值向量
=[L1L2L3]T,其协方差阵为
DLL=
3.2.14已知观测值向量
1,
2和
3及其协方差阵为
现组成函数
X=AL1+A0
Y=BL2+B0
Z=CL3+C0
式中,A,B,C为系数阵,A0,B0,C0为常数阵.令W=[XYZ]T,试求协方差阵DWW。
3.2.15已知边长S及坐标方位角α的中误差各位σs和σα,试求坐标增量ΔX=S·cosα和ΔY=S·sinα的中误差。
32.16设有同精度独立观测值向量
=[L1L2L3]T的函数为
Y1=SAB
,Y2=αAB-L2
式中,aAB和SAB为无误差的已知值,测角中误差σ=1",试求函数的方差
,
及协方差
。
3.2.17在图3-1的ΔABC中,由直接观测得b=106.00m±0.06m,β=29°39'土1'和γ=120°07'±2',试计算边长c及其中误差σc
3.2.18在图3-2的ΔABC中测得∠A±σA,边长b±σb,a±σc,试求三角形面积的中误差σs。
如图3-3所示。
a。
为起算方位角,其中σ0,观测角β和边长S的中误差分别为σβ和σS,试求P点坐标X,Y的协方差阵。
3.2.20为了确定图3-4中测站A上B、C、D方向间的关系,同精度观测了三个角,其值为L1=45°02',L2=85°00,'L3=40°01'。
设测角中误差σ=1",试求:
(1)观测角平差值的协方差阵;
(2)观测角平差值
1关于
3的协方差。
§3-3协方差传播律的应用
3-3.21水准测量中两种计算高差中误差的公式为σhAB=
σ站和σhAB=
σ公里,它们各在什么前提条件下使用?
3.3.22试简述同精度独立观测值的算术平均值中误差的计算公式σx=
的推导过程,并说明此式使用的前提条件。
,如图3-5所示。
路线长为S1=2km,S2=6km,S3=4km,设每千米观测高差中误差a=1.0mm,试求:
(1)将闭合差按距离分配之后P1,P2两点间高差的中误差;
(2)分配闭合差后P1点高程的中误差。
,设每站观测高差的中误差均为1cm,今要求从已知点推算待定点的髙程中误差不大于5cm,问可以设多少站?
,已知每千米观测中误差等于5.0mm,欲使平差后线路中点C点髙程中误差不大于lOmm,问该线路长度最多可达几千米?
(提示:
=HA+h1,
=HB-h2,HC=(
+
)/2)
3.3.27在图3-7中,由已知点A丈量距离S并测量坐标方位角α,借以计算P点的坐标。
观测值及其中误差为S=127.00mm±0.03m,α=30°00'±2.5',设A点坐标无误差,试求待定点P的点位中误差σP。
3.28有一角度测4测回,得中误差0.42'问再增加多少测回其中误差为0.28"?
3,3.29在图3-8的梯形稻田中,测量得上底边长为a=50.746m,下底边长为b=86.767m,髙为h=67.420m,其中误差分别为σa=0.030m,σb=0.040m,σh=0.034m,试求该梯形的面积S及其中误差σS
,观测边长和角度得观测值为b±σb=1000m±0.015m,α=β=60°00'00",且为使算得的边长a具有中误差σa=0.02m,试问角α和β的观測精度应为多少?
§3-4杈与定权的常用方法
,
表示什么?
能否是不同量的观测值的方差?
它们的值是惟一的吗?
为什么?
3,4.34水准测量中的两种常用定权公式Pi=
和Pi=
各在什么前提条件下使用?
试说明两式中C的含义。
3.4.35设某角的三个观测值及其中误差分别为
30°41'20"±2.0"
30°41'26"±4.0"
30°41'16"±1.0"
现分别取2.0"、4.0〃及1.0"作为单位权中误差.试按权的定义计算出三组不同的观测值的
权,再按各组权分别计箅这个角的加权平均值
及其中误差
3.4.36在相同观测条件下,应用水准测量測定了三角点A,B,C之间的髙差,设该三角形边长分别为S1=10km,S2=8km,S3=4km,令40km的髙差观测值为单位权观测,试求各段观测高差之权及单位权中误差。
,其算术平均值的权为
,问P与
的关系如
何?
3.4.38设一长度为d的直线之丈量结果的权为1,求长为D的直线之丈量结果的权。
3.4.39在图3-10中,设巳知点A,B之间的附合水准路线长为80km,令每千米观测髙差的权等于1,求平差后线路中点(最弱点)C点高程的权及该点平差前的权。
其权分别为PA=
PB=
,已知σB=8"试求单
位权中误差σ0和∠A的中误差σA。
,一次
测角中误差为2.4"已知4次算术平均值的权为2。
试问:
(1)单位权观測是什么?
(2)单位权中误差等于多少?
(3)欲使∠A的权等于6,应观测几次?
取平均得α值,每次观测中误差为3",对B角观测9次,取平均得β值,每次观测中误差为4"试确定α,β的,权各是多少?
[解]令C'=l,则由定权公式
Pi=
得
Pα=4,Pβ=9。
试问以上这样定权对吗?
为什么?
,已知一次观测中误差σ=2mm,设4次观测值平均值的权为3。
试求:
(1)单位权中误差σ。
;
(2)—次观测值的权;(3)欲使平均值的权等于9,应观测几次?
,S2=900m,设对S1丈量3次平均值的权PS1=2mm,试求对S2丈量5次平均值的权PS2。
B和C向待定点D进行水准测量,以测定D点髙程(图3-11)。
各线路长度为S1=2km,S2=S3=4km,S4=1km,设2km线路观测高差为单位权观测值,其中误差σ0=2mm.试求:
(1)D点高程最或是值(加权平均值)的中误差σD;
(2)A、D两点间髙差最或是值的中误差σAD。
B和C为已知水准点,P1=P3=P5=2,P2=P4=5,单位权中误差σ0=2mm试求:
(1)D点高程最或是值(加权平均值)之中误差;
(2)C、D两点间高差最或是值之中误差σCD。
§3-5协因数和协因数传播律
35.49设观测值向量
的协因数阵为
LL,权阵为
LL,试问
(1)协因数阵的对角元
素Qii是观测值Li的权倒数吗?
(2)权阵的对Pii是观测值Li的权吗?
为什么?
3.5.50何谓协因数传播律?
其主要用来解决什么问题?
3-5.51协因数传播律主要包含哪几个公式?
试写出其推导过程。
3.5.53巳知观測值向量L的协因数阵为
QLL=
,试求观测值的权PL1和PL2。
已知观测值向量
的权阵为
PLL=
,
试求观测值的权PL1和PL2。
L2]T的权阵为
PLL=
,
单位权方差
=3.试求
,
,σ12以及PL1和PL2。
已知观测值向量
的协方差阵为
DLL=
以及L1的协因数Q11=
,试求单位权方差
,权阵PLL和PL1,PL2。
已知观测值向量
的协方差阵为
DLL=
,
单位权方差
=2,现有函数F=L1+3L2-2L3,试求:
(1)函数F的方差DF和协因数QF;
(2)函数F关于观测值向量
的协方差阵DFL和协因数阵QFL
已知观测值向量
=
的权阵为
PZZ=
,
试求PXX,PYY以及Px1,Px2和Py。
3.5.59 已知观测值向量
的协方差阵为
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- 误差 理论 测量 基础 习题集