数学一次函数教案.docx
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数学一次函数教案
19.2 一次函数
19.2.2 一次函数
第1课时 一次函数的定义
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1.掌握一次函数解析式的定义.
2.知道一次函数与正比例函数关系.
3.会根据实际问题写出一次函数的表达式.
【过程与方法】
通过类比的方法学习一次函数,体会数学研究方法的多样性.
【情感态度与价值观】
培养独立思考、合作探究、培养科学的思维方法.
二、重难点目标
【教学重点】
一次函数的概念及列一次函数表达式.
【教学难点】
理解一次函数与正比例函数的关系.
教学过程
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P89~P90的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.教材第90页“思考”.
解:
(1)c=7t-35(20≤t≤25).
(2)G=h-105.
(3)y=0.1x+22.
(4)y=-5x+50(0≤x≤10).
这些函数关系式与y=-6x+15一样,函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和.
2.一般地,形如y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.当b=0时,y=kx(k是常数,k≠0),故正比例函数是一种特殊的一次函数.因此正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.
3.一般情况下,一次函数的自变量的取值范围是全体实数,在实际问题中,受实际情况限制可能取不到全体实数.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】下列函数是一次函数的是( )
A.y=-8x B.y=-
C.y=-8x2+2 D.y=-
+2
【互动探索】(引发学生思考)一次函数的定义是什么?
正比例函数是不是一次函数?
【分析】A.它是正比例函数,属于特殊的一次函数,正确;B.自变量次数不为1,不是一次函数,错误;C.自变量次数不为1,不是一次函数,错误;D.自变量次数不为1,不是一次函数,错误.
【答案】A
【互动总结】(学生总结,老师点评)一次函数解析式y=kx+b的结构特征:
k≠0;自变量的次数为1;常数项b可以为任意实数.
【例2】写出下列各题中y与x的函数关系式,并判断y是否是x的一次函数或正比例函数.
(1)某村耕地面积为106(平方米),该村人均占有耕地面积y(平方米)与人数x(人)之间的函数关系;
(2)地面气温为28℃,如果高度每升高1km,气温下降5℃,气温x(℃)与高度y(km)之间的函数关系.
【互动探索】(引发学生思考)
(1)根据人均占有耕地面积y等于总面积除以总人数得出即可;
(2)根据高度每升高1km,气温下降5℃,得出即可.
【解答】
(1)根据题意,得y=
,不是一次函数.
(2)根据题意,得28-5y=x,则y=-
x+
,是一次函数.
【互动总结】(学生总结,老师点评)根据实际问题确定一次函数关系式的关键是读懂题意,建立一次函数的数学模型来解决问题.需要注意的是实例中的函数要考虑自变量的取值范围.
【例3】已知一次函数y=kx+b中,当x=3时,y=5;当x=-4时,y=-9.求k和b的值.
【互动探索】(引发学生思考)把两组对应值分别代入y=kx+b得到关于k、b的方程组,然后解方程组求出k和b.
【解答】∵当x=3时,y=5,
当x=-4时,y=-9,
∴
解得
【互动总结】(学生总结,老师点评)解决此类问题就是将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组解答即可.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.下列函数关系式:
①y=-2x+1;②y=x;③y=2x2+1;④y=
.其中一次函数有( B )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.要使函数y=(m-2)xn-1+n是一次函数,应满足( C )
A.m≠2,n≠2 B.m=2,n=2
C.m≠2,n=2 D.m=2,n=0
3.写出下列各题中x与y之间的解析式,并判断y是否是x的一次函数.
(1)在时速为70千米的匀速运动中,路程y(千米)与时间x(小时)的关系;
(2)居民用电标准是每千瓦时0.53元,则电费y(元)与用电量x(千瓦时)之间的关系;
(3)汽车离开A站4千米,再以40千米/时的平均速度行驶,那么汽车离开A站的距离y(千米)与时间t(小时)之间的关系;
(4)某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李,超过部分每千克收取1.5元的行李费用,则旅客需交的行李费y(元)与携带行李重量x(千克)之间的关系.
解:
(1)y=70x,是一次函数.
(2)y=0.53x,是一次函数.
(3)y=4+40x,是一次函数.
(4)y=1.5(x-20),是一次函数.
4.已知y=(k-1)x|k|-k是一次函数.
(1)求k的值;
(2)若点(2,a)在这个一次函数的图象上,求a的值.
解:
(1)∵y是一次函数,
∴|k|=1,解得k=±1.
又∵k-1≠0,∴k≠1.∴k=-1.
(2)由
(1)知一次函数的解析式为y=-2x+1.
∵(2,a)在函数y=-2x+1的图象上,
∴a=-4+1=-3.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】已知y=(m-1)x2-|m|+n+3.
(1)当m、n取何值时,y是x的一次函数?
(2)当m、n取何值时,y是x的正比例函数?
【互动探索】一次函数与正比例函数的关系是什么?
解决此题的关键是什么?
【解答】
(1)根据一次函数的定义,得2-|m|=1,解得m=±1.
又∵m-1≠0,即m≠1,
∴当m=-1,n为任意实数时,这个函数是一次函数.
(2)根据正比例函数的定义,得2-|m|=1,n+3=0,解得m=±1,n=-3.
又∵m-1≠0,即m≠1,
∴当m=-1,n=-3时,这个函数是正比例函数.
【互动总结】(学生总结,老师点评)一次函数解析式y=kx+b的结构特征:
k≠0,自变量的次数为1,常数项b可以为任意实数.正比例函数解析式y=kx的结构特征:
k≠0,自变量的次数为1.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
1.一次函数的定义
2.一次函数与正比例函数的区别和联系
3.根据实际问题求一次函数解析式
练习设计
请完成本课时对应训练!
第2课时 一次函数的图象与性质
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1.理解一次函数图象特征与解析式的联系.
2.会画出一次函数的图象.
【过程与方法】
1.通过对应描点来研究一次函数的图象,经历知识的归纳、探究过程.
2.通过一次函数的图象归纳函数的性质,体会数形结合思想.
【情感态度与价值观】
在探究函数的图象与性质的活动中,通过一系列的探究问题,渗透与人交流合作的意识和探究精神.
二、重难点目标
【教学重点】
一次函数的图象与性质.
【教学难点】
利用一次函数的图象与性质解决问题.
教学过程
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P91~P93的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.教材第91页“思考”.
比较教材上面两个函数y=-6x与y=-6x+5的图象的相同点与不同点得出:
这两个函数的图象形状都是直线,并且倾斜程度相同.函数y=-6x的图象经过原点,函数y=-6x+5的图象与y轴交于点(0,5),即它可以看作由直线y=-6x向上平移5个单位长度而得到.
2.一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的图象是一条过点(0,b)且和直线y=kx重合或平行的直线,我们称它是直线y=kx+b(k、b为常数,k≠0).
3.一次函数y=kx+b(k≠0)和正比例函数y=kx(k≠0)的增减性一致,一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定:
当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.b决定直线y=kx+b与y轴交点的坐标(0,b),当b>0时,交点在原点上方;当b=0时,交点即原点;当b<0时,交点在原点下方.
4.一次函数图象的画法:
(1)两点法:
由于一次函数y=kx+b的图象是一条直线,因此作一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两个点作直线就可以了.一般地,一次函数y=kx+b的图象是经过点(0,b)和
的一条直线,当b=0时,即为正比例函数,其图象是经过原点(0,0)和点(1,k)的一条直线.
(2)平移法:
一次函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的图象是一条直线,直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx平移∣b∣个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小,则一次函数y=x+k的图象大致是( )
A BC D
【互动探索】(引发学生思考)一次函数图象与k、b有什么样的关系?
【分析】∵正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小,∴k<0.
∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0,常数项小于0,∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三、四象限,且与y轴的负半轴相交.故选B.
【答案】B
【互动总结】(学生总结,老师点评)一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的图象是一条直线.当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.图象与y轴的交点坐标为(0,b).
【例2】在同一平面直角坐标中,作出下列函数的图象.
(1)y=2x-1;
(2)y=x+3;
(3)y=-2x;(4)y=5x.
【互动探索】(引发学生思考)可以类比画正比例函数图象的方法画一次函数的图象,即用“两点法”画一次函数的图象.
【解答】用两点法画函数图象.
(1)一次函数y=2x-1的图象过点(1,1),(0,-1);
(2)一次函数y=x+3的图象过点(0,3),(-3,0);
(3)正比例函数y=-2x的图象过点(1,-2),(0,0);
(4)正比例函数y=5x的图象过点(0,0),(1,5).
如图所示.
【互动总结】(学生总结,老师点评)此题考查了一次函数的作图,解题关键是分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标,经过这两点作直线即可.
【例3】已知函数y=(2m-2)x+m+1.
(1)当m为何值时,图象过原点?
(2)已知y随x增大而增大,求m的取值范围;
(3)函数图象与y轴交点在x轴上方,求m的取值范围;
(4)函数图象过第一、二、四象限,求m的取值范围.
【互动探索】(引发学生思考)
(1)根据函数图象过原点可知,m+1=0,求出m的值即可;
(2)根据y随x增大而增大,可知2m-2>0,求出m的取值范围即可;(3)由于函数图象与y轴交点在x轴上方,故m+1>0,进而可得出m的取值范围;(4)根据图象过第一、二、四象限列出关于m的不等式组,求出m的取值范围.
【解答】
(1)∵函数图象过原点,
∴m+1=0,即m=-1.
(2)∵y随x增大而增大,
∴2m-2>0,解得m>1.
(3)∵函数图象与y轴交点在x轴上方,
∴m+1>0,解得m>-1.
(4)∵函数图象过第一、二、四象限,
∴
解得-1<m<1.
【互动总结】(学生总结,老师点评)一次函数y=kx+b(k≠0)中,当k<0,b>0时,函数图象过第一、二、四象限.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.若实数满足a+b+c=0,且a<b<c,则函数y=cx+a的图象可能是( C )
A BC D
2.对于函数y=-2x+2,下列结论:
①当x>1时,y<0;②它的图象经过第一、二、三象限;③它的图象必经过点(-2,2);④y的值随x的增大而增大.其中正确结论的个数是( A )
A.1B.2
C.3D.4
3.已知一次函数y=(k+1)x+b的图象与x轴的负半轴相交,且函数值y随自变量x的增大而增大,则k,b的取值情况为( A )
A.k>-1,b>0 B.k>-1,b<0
C.k<-1,b>0 D.k<-1,b<0
4.已知一次函数y=2x-6.
(1)画出该函数的图象;
(2)判断点(4,3)是否在此函数的图象上;
(3)观察画出的图象,说一说当x为何值时y<0.
解:
(1)∵一次函数y=2x-6与坐标轴的交点为(0,-6),(3,0),
∴函数图象如图所示:
(2)∵当x=4时,y=8-6=2≠3,
∴该点不在函数的图象上.
(3)由图可知,当x<3时,y<0.
5.在平面直角坐标系xOy中,直线y=x向下平移2个单位后和直线y=kx+b(k≠0)重合,直线y=kx+b(k≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)请直接写出直线y=kx+b(k≠0)的表达式和点B的坐标;
(2)求△AOB的面积.
解:
(1)∵直线y=x向下平移2个单位后和直线y=kx+b(k≠0)重合,
∴直线AB的表达式为y=x-2,
∴点B的坐标是(0,-2).
(2)当y=0时,x=2,
∴点A的坐标为(2,0),∴OA=2.
又∵OB=2,∴S△AOB=
OA·OB=2.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】一次函数y=-2x+4的图象如图,图象与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)求A、B两点坐标;
(2)求图象与坐标轴所围成的三角形的面积.
【互动探索】
(1)x轴上所有的点的纵坐标均为0,y轴上所有的点的横坐标均为0;
(2)利用
(1)中所求的点A、B的坐标可以求得OA、OB的长度.然后根据三角形的面积公式可以求得△OAB的面积.
【解答】
(1)对于y=-2x+4,令y=0,得-2x+4=0,∴x=2.
∴一次函数y=-2x+4的图象与x轴交于点A(2,0).
令x=0,得y=4,
∴一次函数y=-2x+4的图象与y轴交于点B(0,4).
(2)由
(1)中知OA=2,OB=4,
∴S△AOB=
OA·OB=
×2×4=4,
∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4.
【互动总结】(学生总结,老师点评)求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,一般地应先求出一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标,进而求出三角形的底和高,即可求面积.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
一次函数
练习设计
请完成本课时对应训练!
第3课时 用待定系数法求一次函数解析式
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1.学会用待定系数法确定一次函数的解析式.
2.了解两个条件确定一个一次函数、一个条件确定一个正比例函数.
3.掌握在不同问题情境下,函数关系式的确定.
【过程与方法】
1.经历待定系数法应用过程,提高研究数学问题的技能.
2.能根据函数的图象确定一次函数的表达式,体会数形结合思想在一次函数中的应用.
【情感态度与价值观】
能把实际问题抽象为数学问题,也能把所学的知识运用于实际,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
二、重难点目标
【教学重点】
用待定系数法确定一次函数解析式.
【教学难点】
在不同问题情境下,确定一次函数关系式.
教学过程
环节1 自学提纲,生成问题
【5min阅读】
阅读教材P93~P95的内容,完成下面练习.
【3min反馈】
1.先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而得出函数解析式的方法,叫做待定系数法.
2.用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤:
(1)设一次函数解析式为y=kx+b;
(2)把满足条件的两个点(x1,y1),(x2,y2)代入解析式,得到关于待定系数的方程组;
(3)解方程组,求出k、b的值;
(4)将求出的待定系数的值代回所设的函数解析式,即可得到所求函数的解析式;
3.教材第95页“思考”.
解:
由上面的函数解析式能解决以下问题,由函数图象不能求出具体数值.
(1)当x=1.5,y=5×1.5=7.5,
即需付款7.5元.
(2)当x=3时,y=4×3+2=14,
即需付款14元.
环节2 合作探究,解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知一次函数图象经过点A(3,5)和点B(-4,-9).
(1)求此一次函数的解析式;
(2)若点C(m,2)是该函数图象上一点,求C点坐标.
【互动探索】(引发学生思考)已知函数图象上两点如何求一次函数的解析式?
点在函数图象上应满足什么条件?
【解答】
(1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k、b是常数,且k≠0),则
∴
∴一次函数的解析式为y=2x-1.
(2)∵点C(m,2)在直线y=2x-1上,
∴2=2m-1,∴m=
,
∴点C的坐标为
.
【互动总结】(学生总结,老师点评)用待定系数法求函数解析式的一般步骤:
(1)设表达式;
(2)代入点的坐标求参数值;(3)写出函数表达式
【例2】如图,一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A,B两点,如果A点的坐标为(2,0),且OA=OB,试求一次函数的解析式.
【互动探索】(引发学生思考)已知A(2,0),且OA=OB→点B的坐标→运用待定系数法求解.
【解答】∵OA=OB,点A的坐标为(2,0),
∴点B的坐标为(0,-2).
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
解得
∴一次函数的解析式为y=x-2.
【互动总结】(学生总结,老师点评)本题先求出点B的坐标,再根据待定系数法即可求得函数解析式,解题关键是利用所给条件得到关键点的坐标,进而求得函数解析式.
活动2 巩固练习(学生独学)
1.如图,直线AB对应的函数表达式是( C )
A.y=-
x+2 B.y=
x+3
C.y=-
x+2 D.y=
x+2
2.若点A(2,-3)、B(4,3)、C(5,a)在同一条直线上,则a的值是( B )
A.6或-6 B.6
C.-6 D.6和3
3.已知一次函数的图象经过A(-2,-3),B(1,3)两点.
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上;
(3)求此函数图象与x轴、y轴围成的三角形的面积.
解:
(1)设一次函数的表达式为y=kx+b,
则
解得
∴函数解析式为y=2x+1.
(2)将点P(-1,1)代入函数解析式,
1≠-2+1,
∴点P不在这个一次函数的图象上.
(3)当x=0时,y=1,当y=0时,x=-
,
∴此函数图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为
×1×
=
.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图,A、B是分别在x轴上位于原点左右两侧的点,点P(2,m)在第一象限内,直线PA交y轴于点C(0,2),直线PB交y轴于点D,S△AOP=12.
(1)求点A的坐标及m的值;
(2)求直线AP的解析式;
(3)若S△BOP=S△DOP,求直线BD的解析式.
【互动探索】
(1)由S△POA=S△AOC+S△COP,根据三角形面积公式得OA=10,然后再利用S△AOP=12求出m;
(2)已知A点和C点坐标,可利用待定系数法确定直线AP的解析式;(3)由S△BOP=S△DOP得PB=PD,即点P为BD的中点,则可确定B,D两点坐标,然后利用待定系数法确定直线BD的解析式.
【解答】
(1)∵S△POA=S△AOC+S△COP,
∴
×OA×2+
×2×2=12,
∴OA=10,
∴A点坐标为(-10,0).
∵S△AOP=
×10×m=12,
∴m=
.
(2)设直线AP的解析式为y=kx+b.
把A(-10,0),C(0,2)代入,
得
解得
∴直线AP的解析式为y=
x+2.
(3)∵S△BOP=S△DOP,
∴PB=PD,即点P为BD的中点,
∴B点坐标为(4,0),D点坐标为
.
设直线BD的解析式为y=k′x+b′,
把B(4,0),D
代入,
得
解得
∴直线BD的解析式为y=-
x+
.
【互动总结】(学生总结,老师点评)待定系数法求函数解析式一般步骤:
(1)先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;
(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式.
环节3 课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
1.待定系数法的定义
2.用待定系数法求一次函数解析式
练习设计
请完成本课时对应训练!
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