压轴题冲关系列3数学.docx
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压轴题冲关系列3数学
压轴题冲关系列(三)
(时间:
45分钟 分数:
60分)
1.(2015·贵州七校联考)已知中心在原点O,左焦点为F1(-1,0)的椭圆C的左顶点为A,上顶点为B,F1到直线AB的距离为
|OB|.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C1方程为:
+
=1(m>n>0),椭圆C2方程为:
+
=λ(λ>0,且λ≠1),则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆.已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆,若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M,N,试求弦长|MN|的取值范围.
解:
(1)设椭圆C1方程为
+
=1(a>b>0),
∴直线AB方程为
+
=1,
∴F1(-1,0)到直线AB距离为d=
=
b,
化为a2+b2=7(a-1)2,
又b2=a2-1,解得:
a=2,b=
.
∴椭圆C1方程为
+
=1.
(2)椭圆C1的3倍相似椭圆C2的方程为
+
=1.
①若切线m垂直于x轴,则其方程为x=±2,易求得|MN|=2
.
②若切线m不垂直于x轴,可设其方程为y=kx+m.
将y=kx+m代人椭圆C1方程,得
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
∴Δ=48(4k2+3-m2)=0,即m2=4k2+3,(*)
记M,N两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
将y=kx+m代人椭圆C2方程,得
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-36=0,
∴x1+x2=-
,x1x2=
,
∴|x1-x2|=
=
=
,
∴|MN|=
|x1-x2|=
=2
∵3+4k2≥3,
∴1<1+
≤
,
即2
<2
≤4
,
综合①②,得弦长|MN|的取值范围为[2
,4
].
2.(2015·广西三市模拟)已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+
=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B,设P为椭圆上一点,且满足
+
=t
(O为坐标原点),当|
-
|<
时,求实数t的取值范围.
解:
(1)由题意知,e=
=
,
所以e2=
=
=
,即a2=2b2.
又∵以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+
=0相切,
∴b=
=1,则a2=2.
故椭圆C的方程为
+y2=1.
(2)由题意知直线AB的斜率存在.
设AB的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
由
得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.
Δ=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)>0,
解得k2<
,
且x1+x2=
,x1x2=
.
∵
+
=t
,
∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y).
当t=0时,不满足|
-
|<
;
当t≠0时,解得x=
=
,
y=
=
=
,
∵点P在椭圆
+y2=1上,
∴
+2×
=2,
化简,得16k2=t2(1+2k2),
∵|
-
|<
,
∴
|x1-x2|<
,
化简,得(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<
,
∴(1+k2)
<
,
∴(4k2-1)(14k2+13)>0,
解得k2>
,
即
, ∵16k2=t2(1+2k2), ∴t2= =8- , ∴-2 或 ∴实数取值范围为 ∪ . 3.(2015·四川宜宾二诊)已知函数f(x)= (a,b∈R,a,b为常数),且y=f(x)在x=1处切线方程为y=x-1. (1)求a,b的值; (2)设函数g(x)=f(ex), ①求g(x)的单调区间; ②设h(x)= ,k(x)=2h′(x)x2,求证: 当x>0时,k(x)< + . 解: (1)由题意知,f′(x)= , 故f (1)=ln(1+a)+b=0, f′ (1)= -[ln(1+a)+b]=1, 解得a=b=0. (2)①g(x)=f(ex)= ,g′(x)= , 则当x>1时,g′(x)<0, 当x<1时,g′(x)>0. 故g(x)的单调增区间是(-∞,1), 单调减区间是(1,+∞). ②证明: h(x)= = , h′(x)= , k(x)=2h′(x)x2= . 由①知,当x>0时, ∈ , 设m(x)=1-2xlnx-2x, m′(x)=-2lnx-4=-2(lnx+2), 故m(x)在 上单调递增, 在 上单调递减, 故m(x)max=m =1+ 且g(x)与m(x)不于同一点取等号, 故k(x)< = + . 4.(2015·河北石家庄二模)已知椭圆C: + =1(a>b>0)经过点 ,离心率为 . (1)求椭圆C的方程; (2)不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过坐标原点,且线段AB的垂直平分线交y轴于点P ,求直线l的方程. 解: (1)由题意得 解得 所以椭圆C的方程是 +y2=1. (2)解法一: 设直线的方程设为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 消去y,得 (1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0, 则有x1+x2= ,x1x2= , Δ>0⇒4k2+2>t2, y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t= , y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2 =k2 +kt +t2= . 因为以AB为直径的圆过坐标原点, 所以 · =0⇒x1x2+y1y2=0. x1x2+y1y2= + =0⇒5t2=4+4k2, Δ>0⇒4k2+1>t2⇒t<- 或t> . 又设A,B的中点为D(m,n),则 m= = , n= = . 因为直线PD与直线l垂直, 所以kPD=- = 得 = , 由 解得 当t=- 时,Δ>0不成立. 当t=1时,k=± , 所以直线l的方程为y= x+1或y=- x+1. 解法二: 设直线的l斜率为k,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为D(x0,y0), 所以k= ,x0= ,y0= . 由题意 ①-②,得 +(y1-y2)(y1+y2)=0⇒ + =0⇒ +k =0, 又因为直线PD与直线l垂直, 所以 ·k=-1. 由 解得 设直线l的方程设为y-y0=k(x-x0), 得y=kx+2k2+ , 联立 消去y,得 (1+4k2)x2+4k(k2+1)x+(4k2+1)2-4=0, x1+x2=2x0=-4k, x1x2= , y1y2=k2 -2k2(4k2+1)+ 2 = . 因为以AB为直径的圆过坐标原点, 所以 · =0⇒x1x2+y1y2=0. x1x2+y1y2= + =0. ⇒5(4k2+1)2=16(1+k2). 解得k=± , 所以直线l的方程为y= x+1或y=- x+1.
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- 压轴 冲关 系列 数学
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