期中复习人教版 九年级数学上册 期中复习 旋转 解答题 专项复习含答案.docx

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期中复习人教版九年级数学上册期中复习旋转解答题专项复习含答案

2018年九年级数学上册期中复习旋转解答题专项复习

如图所示，正方形ABCD中,点F在边BC上，E在边BA的延长线上.

（1）若△DCF按顺时针方向旋转后恰好与△DAE重合，则旋转中心是点________，最少旋转了_______度；

（

2）在

（1）的条件下，若AE=3，BF=2,求四边形

的面积.

如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）

（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；

（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；

（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．

（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；

（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．

如图，已知Rt△ABC中，AB=AC=

，点D为直线BC上的动点（不与B、C重合），以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE（点A，D，E按逆时针顺序排列），连结CE．

（1）当点D在线段BC上时，

①求证：

BD=CE；②求CD+CE的值；

（2）当点D在直线BC上运动时，直接写出CD与CE之间的数量关系．

如图，已知在△ABC中，∠BAC=1200，以BC为边向形外作等边三角形△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转600后得到△ECD，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数与AD的长.

如图，△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=45°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，且0°＜α≤180°，连接BE、CF相交于点D．

（1）求证：

BE=CF；

（2）当α=90°时，求四边形AEDC的面积．

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．

（1）求证：

△ABD≌△ACE；

（2）求∠ACE的度数；

（3）求证：

四边形ABFE是菱形．

如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．

（1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值．

如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AB/C/D/，点C的对应点C/恰好落在CB的延长线上，边AB交边C/D/于点E．

（1）求证：

BC=BC/．

（2）若AB=2，BC=1，求AE的长．

如图所示,已知正方形ABCD的对角线交于O点,O是正方形A′B′C′O′的一个顶点,两个正方形的边长都为a,若正方形A′B′C′O绕点O任意转动.试观察其重叠部分OEBF的面积有无变化,请说明理由;若无变化,求出四边形OEBF的面积.

如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：

（1）EA是∠QED的平分线；

（2）EF2=BE2+DF2．

（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2

，PC=5，求∠BQC的度数．

（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．

如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，

，

．△ADP沿点A旋转至△ABP/，连结PP/，并延长AP与BC相交于点Q．

（1）求证：

△APP’是等腰直角三角形；

（2）求∠BPQ的大小；（3）求CQ的长．

已知△ABC是等腰三角形,AB=AC．

（1）特殊情形：

如图1,当DE∥BC时，有DBEC．（填“＞”，“＜”或“=”）

（2）发现探究：

若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°

＜α＜180°）到图2位置，则

（1）中的结论还成立吗？

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展运用：

如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点,∠ACB=90°,且PB=1,PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑动△MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为E、F．

（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是__．

（2）当△MPN移动到图2的位置时，

（1）中的结论还成立吗？

请说明理由．

（3）如图3，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，Rt△MPN的边PM与AB的延长线交于点E，直线B

C与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且EH：

HO=2：

5，则BE的长是多少？

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形,ÐAOB=ÐCOD=90°．若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．

小明是这样思考的：

要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E,使得OE=CO,连接BE,可证△OBE≌△OAD,从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）．

请你回答：

图2中△BCE的面积等于．

请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：

如图3，已知△ABC,分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI,连接EG、FH、ID．

（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

（2）若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于．

如图1，四边形ABCD是正方形，△ADE经旋转后与△ABF重合．

（1）旋转中心是；

（2）旋转角是度；

（3）如果连接EF，那么△AEF是三角形．

（4）用上述思想或其他方法证明：

如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°．

求证：

EF=BE+DF．

直角坐标系中，已知点P（﹣2，﹣1），点T（t，0）是x轴上的一个动点．

（1）求点P关于原点的对称点P′的坐标；

（2）当t取何值时，△P′TO是等腰三角形？

如图在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6．

（1）请你画出将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°，得到的△OA1B1；

（2）线段OA1的长度是，∠AOB1的度数是；

（3）连接AA1，求证：

四边形OAA1B1是平行四边形．

探究：

如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．

（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得

EF=BE+DF，请写出推理过程；

②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有EF=BE+DF；

（2）拓展:

如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2

点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.若BD=1,求DE长．

参考答案

解：

（1）

，90.

（2）∵△

旋转后恰好与△

重合，∴△

≌△

∴

又

∴

∴

解：

（1）如图1所示：

（2）如图2所示：

（3）找出A的对称点A′（﹣3，﹣4），连接BA′，与x轴交点即为P；如图3所示：

点P坐标为（2，0）．

解：

（1）如图所示：

△AB′C′即为所求；

（2）∵AB=

=5，∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为：

=

π．

（1）证明：

∵△BCD为等边三角形，∴∠3=∠4=60°，DC=DB，

∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，

∴∠5=∠1+∠4=∠1+60°，∴∠2+∠3+∠5=∠2+∠1+120°，

∵∠BAC=120°，∴∠1+∠2=180°-∠BAC=60°，

∴∠2+∠3+∠5=60°+120°=180°，∴点A、C、E在一条直线上；

（2）∵点A、C、E在一条直线上，

而△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴∠ADE=60°，DA=DE，

∴△ADE为等边三角形，∴∠DAE=60°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°；

（3）∵点A、C、E在一条直线上，∴AE=AC+CE，

∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴CE=AB，

∴AE=AC+AB=2+3=5，∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE=5．

（1）证明：

∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，

∴∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE=100°，

又∵AB=AC，∴AB=AC=AD=AE，

在△ABD与△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

（2）解：

∵∠CAE=100°，AC=AE，∴∠ACE=

=

=40°；

（3）证明：

∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，

∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．

∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，

∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，∴∠BAE=∠BFE，

∴四边形ABFE是平行四边形，∵AB=AE，∴平行四边形ABFE是菱形．

解：

（1）在△ABC中，∵AC=1，AB=x，BC=3﹣x．∴

，解得1＜x＜2．

（2）①若AC为斜边，则1=x2+（3﹣x）2，即x2﹣3x+4=0，无解．

②若AB为斜边，则x2=（3﹣x）2+1，解得

，满足1＜x＜2．

③若BC为斜边，则（3﹣x）2=1+x2，解得

，满足1＜x＜2．∴

或

．

解：

（1）连结AC、AC/，如图．

∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°，即AB⊥CC/．由旋转，得AC=AC/，∴BC=BC/．

（2）∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC,∠D=∠ABC/=90°．∵BC=BC/，∴BC/=AD/．

由旋转，得AD=AD/，∴BC/=AD/．∴△AD/E≌△C/BE．∴BE=D/E．

设AE=x，则D/E=2-x．在Rt△AD/E中，∠D/=90°，由勾股定理，得x2-（2-x）2=1．解得x=

．∴AE=

．

解:

其重叠部分OEBF的面积无变化.∵四边形ABCD为正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∠OAE=∠OBF=45°.

∵四边形A′B′C′O为正方形,∴∠C′OA′=90°,即∠BOF+∠BOE=90°.

又∵∠AOE+∠BOE=90°,∴∠BOF=∠AOE.在△OAE和△OBF中,OA=OB,∠OAE=∠OBF=45°,∠AOE=∠BOF

∴△AOE≌△BOF,∴S△AOE=S△BOF.∴S△AOE+S△OBE=S△BOF+S△OBE,即S△AOB=S四边形OEBF.

∵S△AOB=

OA·OB=

.∴S四边形OEBF=

.

证明：

（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，

在△AQE和△AFE中

，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；

（2）由

（1）得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，

在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．

解：

（1）连接PQ．由旋转可知：

，QC=PA=3．

又∵ABCD是正方形，∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，即∠PBQ=90°，

∴∠PQB=45°，PQ=4．则在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，∴PC2=PQ2+QC2．即∠PQC=90°．

故∠BQC=90°+45°=135°．

（2）将此时点P的对应点是点P′．

由旋转知，△APB≌△CP′B，即∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12．

又∵△ABC是正三角形，∴△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，才使点A与C重合，得∠PBP′=60°，

又∵P′B=PB=5，∴△PBP′也是正三角形，即∠PP′B=60°，PP′=5．

因此，在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12，∴PC2=PP′2+P′C2．即∠PP′C=90°．

故∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°．

证明略；45°；

解：

（1）∵DE∥BC，∴

，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为=，

（2）成立．证明：

由①易知AD=AE，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，

在△DAB和△EAC中得

∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，

（3）如图，

将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，∴△CPB≌△CEA，

∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，

在Rt△PCE中，由

勾股定理可得，PE=2

，

在△PEA中，PE2=（2

）2=8，AE2=12=1

，PA2=32=9，

∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形

∴∠PEA=90°，∴∠CEA=1

35°，

又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．

解：

△BCE的面积等于2.

（1）如图：

以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形是△EGM.

（2）以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于3．

解：

（1）由图1可得，旋转中心是点A，故答案为：

点A；

（2）由图1可得，旋转角=∠DAB=90°，故答案为：

90；

（3）根据∠EAF=∠DAB=90°，AE=AF可得，△AEF是等腰直角三角形；故答案为：

等腰直角；

（4）如图所示，将△ABE绕A点逆时针旋转90°，得到△ADE′，

因为∠EAF=45°，所以∠BAE+∠DAF=45°，

因为∠BAE=∠DAE′，所以∠FAE′=45°，所以∠FAE′=∠FAE，

因为∠ADE′=∠ADF=90°，所以E'、D、F三点共线，

又因为AF=AF，AE=AE′，所以△EAF≌△E′AF（SAS），所以EF=E′F，

因为E′F=DF+DE′，E′D=BE，所以EF=BE+DF．

解：

（1）解：

△OA1B1如图所示．

（2）解：

根据旋转的性质知，OA1=OA=6．

∵将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°，得到的△OA1B1，∴∠BOB1=90°．

∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6，∴∠BOA=∠OBA=45°，

∴∠AOB1=∠BOB1+∠BOA=90°+45°=135°，即∠AOB1的度数是135°．

故答案是：

6，135°；

（3）证明：

根据旋转的性质知，△OA1B1≌△OAB，

则∠OA1B1=∠OAB=90°，A1B1=AB，

∵将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°，得到的△OA1B1，

∴∠A1OA=90°，∴∠OA1B1=∠A1OA，∴A1B1∥OA．

又∵OA=AB，∴A1B1=OA，∴四边形OAA1B1是平行四边形．