北师大版五年级数学下册概念重新整理详细讲解分数应用题解法网.docx
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北师大版五年级数学下册概念与公式整理版
一、分数乘法、分数除法
1.分数乘法的意义:
求几个相同分数的和的简便运算
2.分数除法的意义:
已知两个乘数的积和其中一个乘数,求另一个乘数的运算。
如:
25÷5=?
已知两个乘数(因数)的积是25,其中的一个因数是5,求另一因数是多少?
3.分数乘法的运算法则:
1)分数与整数相乘:
分子和整数相乘,分母不变;
2)分数与分数相乘:
分子与分子相乘,分母与分母相乘,能约分的可以先约分。
4.分数除法的运算法则:
1)一个数除以一个整数(0除外)等于这个数乘以这个整数的倒数;
2)一个数除以一个分数等于这个数乘以这个分数的倒数;
3)除以一个数(0除外)等于乘这个数的倒数;
4)当除数<1时,商大于被除数;(商就是得数)
5)当除数=1时,商等于被除数;
6)当除数>1时,商小于被除数。
5.分数除法的意义:
如果两个数的乘积是1,那么这两个数叫做互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数。
6.注意:
1的倒数是1,而0没有倒数。
7.分数乘整数的意义:
与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算。
如:
×5表示求5个
的和是多少,或者表示
的5倍是多少。
8.一个数乘分数的意义:
就是求这个数的几分之几是多少。
如:
4×
表示求4的
是多少。
3×
表示3的
是多少。
9.分数乘、除法的实际问题
1)求一个数的几分之几是多少,用乘法。
2)已知一个数的几分之几是多少,求这个数,用除法,也可以用解方程。
10.原价×折扣=现价;现价÷原价=折扣;现价÷折扣=原价。
11.找单位“1”的方法:
①总数量是单位“1”;
例如:
小红看完整本书的
,那么单位“1”是整本书的页码。
②原价就是单位“1”;
例如:
笔记本电脑原价是3000元,现在降价了
,那么单位“1”是原价3000元。
③分数比率之前的“的”字前面的量是单位“1”;
例如:
全校男生的人数是女生人数的
,那么单位“1”是女生人数。
④一个东西比另一个东西多几分之几中“比”后面的东西是单位“1”。
例如:
商店卖的苹果比橘子多
,那么单位“1”是橘子数量。
总结:
单位“1”在总数、原价、的前面、比后面。
12.分数应用题的解题方法:
(分率就是几分之几)
●题型1:
商店卖出的苹果6千克,卖出的苹果比橘子多
,求卖出橘子多少千克?
【解题思路】
第一步:
找单位“1”
该题中:
单位“1”是“比”字后面的东西——橘子数量。
第二步:
判断单位“1”已知还是未知?
已知用乘,未知用除。
如果单位“1”已知,就用乘法解,用单位“1”的量乘以谁的分率就算谁的具体量。
如果单位“1”未知,说明题目是求单位“1”的量。
要用除法或者列X方程计算单位“1”的量,用已知量除以它对应的分率。
该题中:
单位“1”橘子数量未知,是题目要求出的数量,用除法,把已知量苹果作为被除数。
第三步:
某物比单位“1”多几分之几就写:
(1+分数),;
某物比单位“1”少几分之几就写:
(1-分数),或说减少了几分之几。
该题中:
苹果比橘子多
,也就是苹果是橘子的
,根据前一步所得的被除数是苹果数量6千克,因此最后列式为:
。
注意:
同学们可以用具体数字带进去理解,例如:
苹果为3千克,橘子为2千克。
●题型2:
商店卖出苹果6千克,卖出橘子4千克,问卖出的苹果是橘子的几分之几?
【解题思路】
第一步:
求分率的应用题,我们同样要找单位“1”。
该题问卖出的苹果是橘子的几分之几?
单位“1”是橘子。
第二步:
单位“1”的量做除数,求谁的分率就用谁的具体量除以单位“1”的量。
该题单位“1”是橘子,因此橘子做除数,苹果做被除数来除以单位“1”,因此最终得出:
。
●题型3:
求平均数的应用题,求谁的量就把谁做除数。
例:
一堆煤,5天烧了10吨,求平均每天烧多少吨?
求每天,天就作为除数,把5天做除数,即10÷5=2(吨);
例:
一堆煤,5天烧了10吨,求平均每吨烧多少天?
求每吨,吨就做除数,即5÷10=0.5(天)。
注意:
得数的单位应该与被除数的单位一致。
13.分数应用题如何列式:
用乘法的情况如下
用除法的情况如下
知道单位“1”时
不知道单位“1”时
知道总数求部分的公式:
总数×对应的分数=部分
知道部分求总数的公式:
知道的部分÷对应的分数=总数
题目形式
题目形式
已知一个数,求这个数的几分之几是多少。
已知一个数,求这个数的百分之几数多少。
已知一个数的几分之几数多少,求这个数
已知一个数的百分之几数多少,求这个数
注意:
以上11、12、13项请结合题目理解!
!
!
二、分数的混合运算
1.分数混合运算的顺序和整数混合运算的顺序相同,都是先算乘除法,再算加减法,有括号的先算括号里面的,再算括号外面的。
【整数的运算律在分数运算中同样适用】
2.运算定律:
1)乘法分配律:
←(请特别注意这个公式!
)
2)乘法结合律:
3)乘法交换律:
运用运算定律可对分数的混合运算进行简便运算。
3.分数与整数相乘,分母不变,分子和整数相乘的积作分子。
分数与分数相乘,分子与分子相乘,分母与分母相乘,能约分的先约分。
4.一个数乘一个真分数,所得的积一定小于原来的数;
一个数乘一个等于1的数,所得的积等于原来的数;
一个数乘一个大于1的假分数,所得积一定大于原来的数。
三、长方体的认识、表面积、体积和容积
1.两个面相交的边叫做棱。
三条棱相交的点叫做顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高
2.长方体有6个面,每个面一般都是长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形),相对的面的面积相等。
有12条棱,12条棱可以分为三组:
4条长,4条宽,4条高,长、宽、高分别相等。
有8个顶点,每个顶点处由3条棱组成,长、宽、高各一条。
3.正方体有6个面,每个面都相等,都是正方形。
有12条棱,12条棱长度相等,叫做正方体的棱长。
有8个顶点。
正方体是特殊的长方体。
3.a3读作“a的立方”表示3个a相乘,(即a×a×a)
4.长方体的棱长和=(长+宽+高)×4;正方体的棱长和=棱长×12
5.长方体6个面的面积之和叫做长方体的表面积。
长方体上表面或下表面的面积=长×宽,用字母表示为:
底面积S=a×b
长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2,用字母表示为:
表面积S=a×b×2+a×h×2+b×h×2
5.正方体的6个面的面积之和叫做正方体的表面积。
正方体每个面的面积=棱长×棱长。
表面积等于所有面的总和,有6个相同的面,所以正方体的表面积=6×每个面的面积=6×棱长×棱长,用字母表示为:
S=6×a2
6.正方体露在外面的面积=一个面的面积×露在外面的面的个数。
把正方体放在桌面上,最多可以看见三个面。
7.物体所占空间的大小,称物体的体积。
常用的体积单位有立方米,立方分米,立方厘米。
8.容器所能容纳物体的体积,叫做容器的容积。
常用的容积单位有升和毫升。
9.计算物体的体积用体积单位,计算液体、气体的体积一般用容积单位。
10.单位换算:
1立方米=1000立方分米
1立方米=1000000立方厘米
1立方分米=1000立方厘米
1立方分米=1升
1升=1000毫升
1立方厘米=1毫升
11.相邻的的体积单位之间的互化。
进率表示单位之间差10的多少倍。
÷进率
低级单位高级单位
12.测量不规则形状的物体的体积时,可以将不规则物体放入盛有水的容器中,上升的水的体积或者溢出的水的体积就是这个物体的体积。
13.一般来说,一个物体的体积比它的容积大(想想为什么?
)。
四、百分数
1.百分数表示一个数是另一个数的百分之几。
写作22%,读作:
百分之二十二。
2.求一个数的几分之几(或百分之几)是多少,用乘法计算;
已知一个数的几分之几是多少,求这个数,用除法计算。
3.百分数也叫百分比、百分率。
4.生活中的“率”:
及格率=及格的人数÷总人数
成活率=成活的棵数÷种植的总棵数
出粉率=面粉的重量÷小麦的重量
合格率=合格的产品数÷产品总数
出勤率=出勤人数÷总人数
命中率=命中次数÷总次数
优秀率=优秀人数÷总人数
发芽率=发芽的种子数÷种子总数
5.小数化成百分数:
先把小数点向右(→)移动两位,再在后面添上%(0.20→20→20%)。
6.分数化成百分数:
先把分数化成小数(除不尽时保留三位小数),再把小数化成百分数。
7.百分数化成小数:
先去掉%,再把小数点向左(←)移动两位(20%→20→0.20→0.2)。
8.百分数化成分数:
先把百分数化成分母是100的分数,然后约分、化简;或者先把百分数化成小数,再化成分数。
五、统计
1.条形统计图能清楚地看出每个项目的数量,并且方便进行比较。
2.扇形统计图能清楚地看出各部分分别占总量的百分之几。
3.折线统计图能清楚地看出数量的变化情况。
4.一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数。
5.把一组数据从小到大(或从大到小)排列,中间的数叫这组数据的中位数。
当一组数据的个数是偶数时,中位数取中间两个数的平均数。
6.平均数=总数量÷总份数
长方体和正方体公式大总结
(1)长方体公式:
●长方体棱长之和=(长+宽+高)×4
逆运用:
长=长方体棱长之和÷4-宽-高
长方体的高=长方体棱长之和÷4-长-宽
●相交于一个顶点的三条棱的和=长+宽+高÷4=长方体棱长之和÷4
●底面积(占地面积、上面积)=长×宽
✧左(右)面积=宽×高;前(后)面积=长×高
✧表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2
✧没盖长方体的表面积=长×宽+(长×高+宽×高)×2
或=(长×宽+长×高+宽×高)×2-长×宽
●长方体或正方体侧面面积(就是周围四个面的面积)=底面周长×高
或=(长×高+宽×高)×2
●求通气管、烟囱或粉刷柱子是计算四个面的面积
●体积(容积)=长×宽×高,用公式表示是:
V=a×b×h
逆运用:
高=长方体体积(容积)÷长÷宽=长方体体积(容积)÷(长×宽)
或高=长方体体积(容积)÷底面积
●长方体的体积=一个侧面积×长=一个横截面面积×高(请画图理解!
)
(2)正方体公式:
正方体是特殊的长方体,其各个边长相等,统称棱长。
●正方体的棱长和=棱长×12
逆运用:
棱长=棱长和÷12
●表面积=棱长×棱长×6=任意一个面积×6,用公式表示S=6a2
逆运用:
正方体一个面的面积=棱长×棱长=正方体表面积÷6
●
无盖的正方体的表面积=棱长×棱长×5
体积(容积)=棱长×棱长×棱长,用公式表示:
V=a×a×a=a3
●求小正方体的数量=每排的个数×排数×层数
●至少要8块棱长为1厘米的小长方体拼成一个大正方体。
●一个正方体棱长扩大a倍,棱长之和扩大a×a倍,表面积扩大a×a倍,体积扩大a×a×a倍。
(3)长方体和正方体都可以用公式(底面积×高)来计算。
用公式表示:
V=S×h
(4)不规则物体的体积=容器底面长×容器底面宽×上升的水的高度
=容器底面积×上升的水的高度
逆运用:
上升的水的高度=不规则物体的体积÷容器底面长÷容器底面宽
=不规则物体的体积÷容器底面积
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