学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章 点直线平面之间的位置关系232.docx
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学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章点直线平面之间的位置关系232
2.3.2 平面与平面垂直的判定
学习目标
1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法,会求简单的二面角的平面角.3.掌握两个平面互相垂直的概念,能用定义和定理判定面面垂直.
知识点一 二面角
思考1 观察教室内门与墙面,当门绕着门轴旋转时,门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.数学上,用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角?
答案 二面角.
思考2 平时,我们常说“把门开大一点”,在这里指的是哪个角大一点?
答案 二面角的平面角.
梳理 二面角的概念
(1)定义:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
(2)相关概念:
①这条直线叫做二面角的棱,②两个半平面叫做二面角的面.
(3)画法:
(4)记法:
二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.
(5)二面角的平面角:
若有①O∈l;②OA⊂α,OB⊂β;③OA⊥l,OB⊥l,则二面角α-l-β的平面角是∠AOB.
知识点二 平面与平面垂直
思考 建筑工人常在一根细线上拴一个重物,做成“铅锤”,用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时,如果墙壁贴近铅锤线,则说明墙和地面什么关系?
此时铅锤线与地面什么关系?
答案 都是垂直.
梳理 两面垂直的定义及判定
(1)平面与平面垂直
①定义:
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
②画法:
③记作:
α⊥β.
(2)判定定理
文字语言
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
图形语言
符号语言
l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
类型一 证明面面垂直
例1 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点O,PA⊥平面ABCD,M是PD的中点.
(1)求证:
OM∥平面PAB;
(2)求证:
平面PBD⊥平面PAC.
证明
(1)在△PBD中,O,M分别是BD,PD的中点,
所以OM∥PB,
因为OM⊄平面PAB,PB⊂平面PAB,
所以OM∥平面PAB.
(2)因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以PA⊥BD.
因为底面ABCD是菱形,
所以AC⊥BD.又因为AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,AC∩PA=A,
所以BD⊥平面PAC.又因为BD⊂平面PBD,
所以平面PBD⊥平面PAC.
引申探究
如图,本例中若底面ABCD改为正方形,另增加条件:
PA=AD,其他条件不变.试证明:
(1)AM⊥平面PCD;
(2)平面ACM⊥平面PCD.
证明
(1)∵PA=AD,M是PD的中点,∴AM⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥DC,又由于AD⊥DC,PA∩AD=A,
∴DC⊥平面PAD,∴DC⊥AM.
又PD∩DC=D,∴AM⊥平面PCD.
(2)由
(1)知AM⊥平面PCD,
∵AM⊂平面ACM,
∴平面ACM⊥平面PCD.
反思与感悟 应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤
跟踪训练1 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=
AA1,D是棱AA1的中点.证明:
平面BDC1⊥平面BDC.
证明 由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1⊂平面ACC1A1,
所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1,所以平面BDC1⊥平面BDC.
类型二 求二面角的大小
例2 如图,已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2,求二面角A-CD-B的余弦值.
解 如图,取CD的中点M,连接AM,BM,则AM⊥CD,BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB为二面角A-CD-B的平面角.
设点H是△BCD的中心,则AH⊥平面BCD,且点H在BM上.
在Rt△AMH中,AM=
×2=
,HM=
×2×
=
,则cos∠AMB=
=
,
即二面角的余弦值为
.
反思与感悟
(1)求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”.
①(定义法):
在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图
(1)所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.
②(垂线法):
过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,连接该点与垂足,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图
(2)所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.
③(垂面法):
过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图(3)所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(1)
(2) (3)
跟踪训练2 如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上的一点,且PA=AC,求二面角P-BC-A的大小.
解 由已知PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径,且点C在圆周上,
∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC=A,
∴BC⊥平面PAC.
而PC⊂平面PAC,
∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P-BC-A的棱,
∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.
由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形,
∴∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小是45°.
1.直线l⊥平面α,l⊂平面β,则α与β的位置关系是( )
A.平行B.可能重合
C.相交且垂直D.相交不垂直
答案 C
解析 由面面垂直的判定定理,得α与β垂直,故选C.
2.从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线,则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是( )
A.互为余角B.相等
C.其和为周角D.互为补角
答案 D
解析 画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线,则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角,所以选D.
3.长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与平面ABCD垂直的平面有( )
A.1个B.3个C.4个D.5个
答案 C
解析 与平面ABCD垂直的面有:
平面ABB1A1,平面BCC1B1,平面CDD1C1,平面DAA1D1,共4个,故选C.
4.三棱锥P-ABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2a的正三角形,AC=
a,则二面角A-PB-C的大小为( )
A.90°B.30°C.45°D.60°
答案 D
解析 如图,取PB的中点为M,连接AM,CM,则AM⊥PB,CM⊥PB,∴∠AMC为二面角A-PB-C的平面角,易得AM=CM=
a,则△AMC为正三角形,
∴∠AMC=60°.
5.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面四边形ABCD是平行四边形,SC⊥平面ABCD,E为SA的中点.
求证:
平面EBD⊥平面ABCD.
证明 连接AC与BD交于O点,连接OE.
∵O为AC的中点,E为SA的中点,
∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD,∴EO⊥平面ABCD.
又∵EO⊂平面EBD,∴平面EBD⊥平面ABCD.
1.求二面角的步骤
简称为“一作二证三求”.
2.证明面面垂直常用的方法
(1)定义法:
即说明两个半平面所成的二面角是直二面角.
(2)判定定理法:
在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为线面垂直.
(3)性质法:
两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.
课时作业
一、选择题
1.下列不能确定两个平面垂直的是( )
A.两个平面相交,所成二面角是直二面角
B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C.一个平面经过另一个平面的一条垂线
D.平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
答案 D
解析 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC,但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直.
2.关于直线a,b以及平面M,N,下列命题中正确的是( )
A.若a∥M,b∥M,则a∥b
B.若b∥M,a⊥b,则a⊥M
C.若b⊂M,a⊥b,则a⊥M
D.若a⊥M,a⊂N,则M⊥N
答案 D
解析 A中,当直线a,b都在一个平面上相交,且这个平面与M平行,可推断出A不一定成立;B中,可能存在a⊂M的情况,故B的结论不一定成立;C中,可能存在a∥M的情况,故C项错误;D中,若a⊥M,a⊂N,由面面垂直的判定定理可知M⊥N,故D项中说法正确.
3.如图所示,在四面体D-ABC中,若AB=BC,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
答案 C
解析 因为AB=BC,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理,DE⊥AC.又BE∩DE=E,所以AC⊥平面BDE.
因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.
因为AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.
4.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍.沿AD将△ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B-AD-C的大小为( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
答案 C
解析 由已知得BD=2CD.翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC=60°,而AD⊥BD,CD⊥AD,故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角,其大小为60°.
5.如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在平面ABC,点C是圆上的任意一点,图中互相垂直平面的对数为( )
A.4B.3C.2D.1
答案 B
解析 ∵PA⊥圆O所在平面ABC,
∴平面PAB⊥平面ABC,
同理可得:
平面PAC⊥平面ABC,
∵AB是圆O的直径,∴BC⊥AC,
又∵PA⊥圆O所在平面ABC,BC⊂平面ABC,
∴PA⊥BC.
又∵PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC.
∴BC⊥平面PAC.
又∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAC.
综上相互垂直的平面共有3对.
6.过两点与一个已知平面垂直的平面( )
A.有且只有一个B.有无数个
C.有且只有一个或无数个D.可能不存在
答案 C
解析 设两点为A,B,平面为α,若直线AB⊥α,则过A、B与α垂直的平面有无数个;若直线AB与α不垂直,即直线AB与α平行、相交或在平面α内,均存在唯一平面垂直于已知平面.
7.在正四面体PABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论中不成立的是( )
A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC
答案 C
解析 如图所示,∵BC∥DF,
∴BC∥平面PDF,∴A正确.
由BC⊥PE,BC⊥AE,
得BC⊥平面PAE,
∴DF⊥平面PAE,∴B正确.
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE),
∴D正确.
8.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是( )
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE
D.直线PD与平面ABC所成的角为45°
答案 D
解析 ∵PA⊥平面ABC,
∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角.
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AD=2AB,即tan∠ADP=
=
=1,
∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D.
二、填空题
9.已知α,β是两个不同的平面,l是平面α与β之外的直线,给出下列三个论断:
①l⊥α,②l∥β,③α⊥β.
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:
________.(用序号表示)
答案 ①②⇒③
解析 由l∥β可在平面β内作l′∥l,又l⊥α,∴l′⊥α,
∵l′⊂β,∴α⊥β,故①②⇒③.
10.下列结论中,所有正确结论的序号是________.
①两个相交平面形成的图形叫做二面角;
②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;
③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角的最小角;
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
答案 ②④
解析 由二面角及二面角的平面角的定义知①③不正确,④正确;②中所成的角虽不是二面角的平面角,但由平面几何的知识易知②正确.
11.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分别在AD和BC上,且EF∥AB,若二面角C1-EF-C等于45°,则BF=________.
答案 1
解析 由题意知EF⊥BC.
∵CC1⊥平面ABCD,∴CC1⊥EF,
又BC∩CC1=C,∴EF⊥平面CC1F,
∴EF⊥C1F.
故∠C1FC为二面角C1-EF-C的平面角,
即∠C1FC=45°,
∵AA1=1,∴CF=1,又BC=2,∴BF=1.
12.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析 由定理可知,BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,
而PC⊂平面PCD,
∴平面MBD⊥平面PCD.
三、解答题
13.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E为BB1的中点,求证:
截面A1CE⊥侧面ACC1A1.
证明 如图所示,取A1C的中点F,AC的中点G,连接FG,EF,BG,则FG∥AA1,且GF=
AA1.
因为BE=EB1,A1B1=CB,∠A1B1E=∠CBE=90°,
所以△A1B1E≌△CBE,所以A1E=CE.
因为F为A1C的中点,所以EF⊥A1C.
又FG∥AA1∥BE,GF=
AA1=BE,且BE⊥BG,
所以四边形BEFG是矩形,所以EF⊥FG.
因为A1C∩FG=F,所以EF⊥侧面ACC1A1.
又因为EF⊂平面A1CE,所以截面A1CE⊥侧面ACC1A1.
14.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AC,BD交于点E,F是PB的中点.求证:
(1)EF∥平面PCD;
(2)平面PBD⊥平面PAC.
证明
(1)∵四边形ABCD是正方形,∴E是BD的中点.
又F是PB的中点,∴EF∥PD.
又∵EF⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,
∴EF∥平面PCD.
(2)∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BD.
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
又BD⊂平面PBD,
∴平面PBD⊥平面PAC.
四、探究与拓展
15.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
(1)证明:
D1E⊥A1D;
(2)求AE等于何值时,二面角D1-EC-D的大小为45°?
(1)证明 连接D1A,D1B.
∵在长方形A1ADD1中,AD=AA1=1,
∴四边形A1ADD1为正方形,∴A1D⊥AD1.
又由题意知AB⊥A1D,且AB∩AD1=A,
∴A1D⊥平面ABD1.
∵D1E⊂平面ABD1,∴A1D⊥D1E.
(2)解 过D作DF⊥EC于点F,连接D1F.
∵D1D⊥平面DB,EC⊂平面DB,∴D1D⊥EC.
又DF∩D1D=D,∴EC⊥平面D1DF.
∵D1F⊂平面D1DF,∴EC⊥D1F,
∴∠DFD1为二面角D1-EC-D的平面角,
∴∠DFD1=45°,又∠D1DF=90°,D1D=1,
∴DF=1.
在Rt△DFC中,∵DC=2,∴∠DCF=30°,
∴∠ECB=60°.
在Rt△EBC中,∵BC=1,∴EB=
,AE=2-
.
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