平稳随机过程的采样和插值.docx
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平稳随机过程的采样和插值
随机信号实验
平稳随机过程的采样和插值
.实验目的
了解确定信号的采样与平稳随机信号的采样之间的关系,掌握信号的采样及分析方法。
实验原理
确定信号的采样符合香农定理,那么随机信号的采样是否符合香农定理呢?
答案是定的。
香农定理可以推广到随机信号的采样。
若x(t)为平稳随机过程,且具有零均值,它的功率谱密度sx(■)限于(-•飞,+'C)之
间。
当满足条件
X(t)专im'X(nT)sin(tct「n)
n—严ncoct—n兀
上式就是平稳随机过程的采样定理。
式中T为采样周期。
三.实验任务与要求
⑴程序用matlab或C/C++语言编写和仿真。
系统框图如图29、图30所示:
图29抽样系统框图
图30插值系统框图
⑵输入信号x(t):
x(t)=正弦波信号+n(t),频率为100Hz的正弦波信号,幅值为1v,n(t)为白噪声。
计算输入信号的均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度、相关函数。
⑶低通滤波器设计
低通滤波器技术要求:
通带截止频率1KHz
阻带截止频率2KHz=
过渡带:
1KHz阻带衰减:
>35DB
通带衰减:
<1DB米样频率:
W44.1KHZ
计算经低通滤波器后信号的均值、均方值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度、
相关函数。
⑷对输入信号进行抽样:
采样频率8000Hz。
每间隔4个点和每间隔8个点各抽样一
次。
计算抽样信号的均值、均方值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度、相关函数。
⑸对采样信号进行插值:
每一个间隔插入4个值和每一个间隔插入8个值。
采样频率
8000Hz。
计算插值信号的均值、均方值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度、相关函数。
⑹对采样前后、插值前插值后信号进行比较。
观察在采样频率不变的情况下,信号频
谱的变化和频谱的周期延拓性。
⑺讨论X(n)的自相关函数、功率谱密度与X(t)的自相关函数、功率谱密度之间的关系。
四•实验步骤及结果
1.输入信号x(t)
(1)x(t)=正弦波信号+n(t),频率为为高斯白噪声。
Fs=40000;Ns=5000;n=0:
Ns-1;t=n/Fs;
sine=sin(2*pi*100*t);
noise=randn(1,length(t));
x=sine+noise;
figure
(1);
plot(t,x);
xlabel('t'),ylabel('x');
title('输入信号’);
100Hz的正弦波信号,幅值为1v,其中n(t)
两点间距取1/40000,共取N=5000个采样
点,n为长度为N的序列,t为采样时间,作为信号图像横坐标
产生频率为100hz的正弦波
产生高斯白噪声
信号合成为输入信号
产生的输入信号如下:
输入信号
0.14
5[I[[[l
00.020.040.060.080.10.12
t
(2)计算输入信号的均值、均方值、方差
均值:
x_mean=0.0072
均方值:
x_var=1.4747
方差:
input_fangcha=1.4748
(3)x(t)的相关函数利用MALTLA中的xcorr函数x_xcorr=xcorr(x);
t1=(-Ns+1:
Ns-1)/Fs;%相关函数图像横坐标
figure
(2);
plot(t1,x_xcorr);%相关函数
xlabel('t'),ylabel('R');
title('输入信号相关函数’);
t
(4)x(t)的概率密度利用ksdensity函数
[F1,y1]=ksdensity(x);%y1为输入信号所有取值,F1为每个值相应概率
figure(3);
plot(y1,F1);%概率密度
xlabel('y'),ylabel('F');
title('输入信号概率密度');
0.35
0.3
0.25
0.2
F
0.15
0.1
0.05
0
-6-4-20246
y
(5)x(t)的频谱利用fft函数
x_spectra=fft(x);
f=Fs*n/Ns;%频域横坐标
figure(4);
plot(f(1:
300),abs(x_spectra(1:
300)));
xlabel('f),ylabel('Y');
title('输入信号频谱');
1600
1400
1200
1000
Y800
600
400
200
0-
05001000150020002500
f
(6)x(t)的功率谱密度用功率谱的概念求,即频谱函数的平方求时间平均。
P仁x_spectra.*conj(x_spect⑻/Ns;%频谱函数的平方求时间平均
figure(5);
plot(f(1:
300),abs(P1(1:
300)));%功率谱密度
xlabel('f),ylabel('S');
title('输入信号功率谱密度')
2•滤波器的设计
设计思路是:
用巴特沃斯模拟滤波器生成数字滤波器,并画出滤波器的频谱。
程序如下:
fp=1000;fs=2000;
rp=1;rs=35;
Fs1=40000;
wp=2*pi*fp/Fs1;
ws=2*pi*fs/Fs1;
wap=tan(wp/2);
was=tan(ws/2);
Fs1=Fs1/Fs1;
[N,Wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s');
[z,p,k]=buttap(N);
[bp,ap]=zp2tf(z,p,k);%得到传输函数
[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wap);%低通到低通,频谱变换
[bz,az]=bilinear(bs,as,Fs1/2);%将模拟滤波器传递函数转为数字滤波器传递函数
[H,w]=freqz(bz,az,256,Fs1*10000);%特性分析
figure(6)
plot(w,abs(H));%画出数字滤波器的波形图
title('低通滤波器的频谱');
xlabel('f/hz');
gridon;
低通滤波器的频谱
3.x(t)通过滤波器的信号y
(1)输出y的波形及均值,均方值,方差
y=filter(bz,az,x)
通过低通滤波器的波形
0.14
均值:
0.0416
均方值:
0.7248
方差:
0.7265
(2)输出y的相关函数
程序类似求x(t)的相关函数,其波形如下:
(3)y的概率密度
程序类似求x(t)的概率密度,其波形如下:
输出信号概率密度
y
2500
(4)
y的频谱
程序类似求x(t)的频谱,其波形如下:
1600
1400
1200
1000
丫800
600
400
200
0
0500100015002000
f
(5)y的功率谱密度
900
800
700
600
500
400
300
200
100
500
输岀信号功率谱密度
1000
1500
2000
2500
3000
4•对y信号进行抽样采样频率8000Hz
若8000hz采样,波形输出程序为:
sample仁zeros(1,ceil(length(t)/(Fs/fs1)));
i=1;
fork=1:
length(t)
ifmod(k,(Fs/fs1))==1
sample1(i)=y(k);
i=i+1;
end
end
figure(12);
stem(t2,sample1);%除去相邻采样点间零点的采样信号
xlabel('t'),ylabel('y');
title('采样信号');
则波形为:
1.5
00.020.040.060.080.1
t
0.12
(1)
每间隔4个点抽样一次
14采样波形及均值,均方值,方差
程序代码如下:
sample2=zeros(1,ceil(length(t)/(Fs/fs1)));
fork=1:
length(t2)
ifmod(k,5)==1
sample2(k)=sample(k);
else
sample2(k)=0;
end
end
sample3=zeros(1,ceil(length(t)/(Fs/fs1)/5));
i=1;
fork=1:
5:
length(t2)
sample3(i)=sample1(k);
i=i+1;
end
figure(13);
stem((1:
length(t2)/5)/300,sample3);%除去相邻采样点间零点的采样信
xlabel('t'),ylabel('y');
title('4采样信号');
sample」unzhi4=mean(sample2)%均值
sample_fangcha4=std(sample2)%方差
sample」unfangzhi4=sample_fangcha4+sample_junzhi4.A2%均方值
4采样信号为:
均值:
-0.0125
方差:
0.3212
均方值:
0.3213
24采样信号的相关函数代码函数如上
③4采样信号的概率密度
y
④4采样信号的频谱
4米样信号频谱
⑤4采样信号的功率谱密度
4采样信号功率谱密度
(2)每间隔8个点抽样一次程序和4采样类似,只是间隔8个点
①采样信号
8米样信号
t
均值:
-7.0098e-004
均方值:
0.1099
方差:
0.1099
2
8采样信号的相关函数
10
8
6
4
2
R
0
-2
-4
-6
-8
-1000-800-600-400-20002004006008001000
t
3
8采样信号的概率密度
0.7
0.6
0.5
0.4
F
0.3
0.2
0.1
-4-3-2-101234
y
48采样信号的频谱
10
9
8
7
6
丫5
4
3
2
1
0
8米样信号频谱
05001000
f
58采样信号的功率谱密度
8采样信号功率谱密度
f
4.对信号进行插值采样频率为8000Hz
插值思路:
用三次多项式插值法
(1)每一个间隔插入4个值
1每间隔插入4个值波形及均值,均方值,方差程序如下:
t4=zeros(1,(length(t2)-1)*4+length(t2));%插值信号横坐标fork=1:
length(t4)
ifmod(k,5)==1t4(k)=(1/fs1)*fix(k/5);
end
ifmod(k,5)==2t4(k)=(1/fs1)*fix(k/5)+(1/fs1)/5;
end
ifmod(k,5)==3t4(k)=(1/fs1)*fix(k/5)+(2/fs1)/5;
end
ifmod(k,5)==4t4(k)=(1/fs1)*fix(k/5)+(3/fs1)/5;
end
ifmod(k,5)==0t4(k)=(1/fs1)*(k/5-1)+(4/fs1)/5;
end
endinter4=interp1(t2,sample1,t4,'cubic');
figure(23)
ste
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- 平稳 随机 过程 采样