山西省晋中市届高三高考适应性调研考试数学文.docx
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山西省晋中市届高三高考适应性调研考试数学文
2018年1月高考适应性调研考试
文科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
2.若复数
满足
,则
的共轭复数的虚部为()
A.
B.
C.
D.
3.等比数列
中,
,
是函数
的两个零点,则
等于()
A.
B.
C.
D.
4.下列命题中正确的个数是()
①命题“若
,则
”的逆否命题为“若
,则
”;
②“
”是“
”的必要不充分条件;
③若
为假命题,则
,
均为假命题;
④若命题
:
,
,则
:
,
;
A.
B.
C.
D.
5.设
,
满足约束条件
,则
的最小值为()
A.
B.
C.
D.
6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.
B.
C.
D.
7.若执行下图所示的程序,输出的结果为
,则判断框中应填入的条件为()
A.
B.
C.
D.
8.已知
,
是
上的两个随机数,则点
到坐标原点的距离大于
的概率为()
A.
B.
C.
D.
9.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:
将
到
这
个数中,能被
除余
且被
除余
的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列
,则此数列共有()
A.
项B.
项C.
项D.
项
10.已知函数
(
),若
是函数
的一条对称轴,且
,则
所在的直线为()
A.
B.
C.
D.
11.在
中,
,
的内角平分线
将
分成
,
两段,若向量
(
),则
()
A.
B.
C.
D.
12.已知不等式
在
上恒成立,且函数
在
上单调递增,则实数
的取值范围为()
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.等差数列
的前
项和为
,若
,
,则
的公差为.
14.直线
(
,
)平分圆
的面积,则
的最小值为.
15.已知点
是双曲线
(
,
)右支上一点,
,
分别是双曲线的左,右焦点,
为
的内心,若
成立,则双曲线的离心率为.
16.在
中,
,
分别是边
,
的中点,
,
分别是线段
,
的中点,…,
,
分别是线段
,
(
,
)的中点,设数列
,
满足:
向量
,有下列四个命题:
①数列
是单调递增数列,数列
是单调递减数列;
②数列
是等比数列;
③数列
有最小值,无最大值;
④若
中,
,
,则
最小时,
其中真命题是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.如图,在
中,角
,
,
的对边分别为
,
,
,
.
(1)求
的大小;
(2)若
,
为
外一点,
,
,求四边形
面积的最大值.
18.如图,四棱锥
中,底面
是直角梯形,
,
,
,侧面
底面
,
是以
为底的等腰三角形.
(1)证明:
;
(2)若四棱锥
的体积等于
,问:
是否存在过点
的平面
分别交
,
于点
,
,使得平面
平面
?
若存在,求出
的面积;若不存在,请说明理由.
19.近年来随着素质教育的不断推进,高考改革趋势明显.国家教育部先后出台了有关高考的《学业水平考试》、《综合素质评价》、《加分项目瘦身与自主招生》三个重磅文件,引起社会极大关注,有人说:
男孩苦,女孩乐!
为了了解某地区学生和包括老师,家长在内的社会人士对高考改革的看法,某媒体在该地区选择了
人,,就是否“赞同改革”进行调查,调查统计的结果如下表:
赞同
不赞同
无所谓
在校学生
社会人士
已知在全体样本中随机抽取
人,抽到持“不赞同”态度的人的概率为
.
(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取
人进行问卷访谈,文应该在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?
(2)在持“不赞同”态度的人中,用分层抽样方法抽取
人,若从
人中任抽
人进一步深入调查,为更多了解学生的意愿,要求在校学生人数不少于社会人士人士,求恰好抽到两名在校学生的概率.
20.已知抛物线
:
(
)的焦点是椭圆
:
(
)的右焦点,且两曲线有公共点
(1)求椭圆
的方程;
(2)
为坐标原点,
,
,
是椭圆
上不同的三点,并且
为
的重心,试探究
的面积是否为定值.若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
21.已知函数
,
,且曲线
在
处的切线方程为
.
(1)求
,
的值;
(3)证明:
当
时,
.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
已知直角坐标系中动点
,参数
,在以原点为极点、
轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中,动点
在曲线
:
上.
(1)求点
的轨迹
的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若动点
的轨迹
和曲线
有两个公共点,求实数
的取值范围.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知
,
,
,函数
.
(1)当
时,求不等式
的解集;
(2)当
的最小值为
时,求
的值,并求
的最小值.
2018年1月高考适应性调研考试
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:
ABDCA6-10:
DCBBC11、12:
AD
二、填空题
13.
14.
15.
16.①②④
三、解答题
17.解:
(1)在
中,由
,
又
又
(2)在
中,
由余弦定理可得
又
为等腰直角三角形
当
时,四边形
面积有最大值,最大值为
18.解:
(1)证明:
取
中点为
,在
中
为正三角形,
又
,
平面
平面
,且
平面
,
(2)存在平面
,使得平面
∥平面
,
为
的中点,如图
在
中,
且
,
又
,
,
在梯形
中,
且
,
且
,
又
,
,
又
,平面
∥平面
由
(1)可知
,侧面
底面
交于
,
在梯形
中,由条件可得
,
在
中,
,
,
为
中点,
为正三角形,
,
在
中,
,
,
19.解:
(1)∵抽到持“不赞同”态度的人的概率为
∴
,解得
∴持“无所谓”态度的人数共有
∴应在“无所谓”态度的人中抽取
人
(2)由
(1)知持“不赞同”态度的一共有
人
∴在所抽取的
人中,在校学生为
人,
社会人士为
人
记抽取的
名在校学生依次为
,
名社会人士依次为
,
“在校学生人数不少于社会人士人数”包含基本事件为:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,共
个,
记“恰好抽到两名学生”为事件
,事件
包含
个基本事件,
∴所求事件的概率为:
20.解:
(1)将点
代入
可得
抛物线
的焦点为
,
椭圆
中
又点
在椭圆上,
,
解得
椭圆
:
(2)当直线
的斜率不存在时,
关于
轴对称,
为
的重心
为椭圆
长轴顶点,
,
到
的距离为
当直线
的斜率存在时,设直线
:
,联立方程
,消
得
有两不等实根
设
,
,
又
为
的重心,
,
又
点在椭圆上,
,得
到
的距离为
的面积为定值
21.解:
(1)由题设得
,
∴
,
解得,
.
(2)由
(1)知,
,令函数
,
∴
,
令函数
,则
,当
时,
,
单调递减;
当
时,
,
单调递增,
又
,
,
,
所以,存在
,使得
,
当
时,
;当
,
故
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调增.
又
,∴
,当且仅当
时取等号.
故:
当
时,
,
22.解:
(1)设点
的坐标为
,则有
消去参数
,可得
,为点
的轨迹
的方程;
由曲线
:
,得
,且
,
由
,
故曲线
的方程为:
;
(2)曲线
的方程为:
,即
表示过点
,斜率为
的直线,
动点
的轨迹
是以
为圆心,
为半径的圆
由轨迹
和曲线
有两个公共点,结合图形可得
.
(或圆心到直线的距离小于半径和
去求)
23.解:
(1)
或
或
,
解得
或
.
(2)
.
当且仅当
时取得最小值
.
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