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概率知识点和公式
第1章随机事件及其概率
(4)随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
(5)基本事件、样本空间和事件
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有
如下性质:
1每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
2任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用国来表示。
基本事件的全体,称为试验的样本空间,用0表示。
一个事件就是由。
中的部分点(基本事件国)组成的集合。
通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是0的子集。
0为必然事件,?
为不可能事件。
不可能事件(?
)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,
必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。
(6)事件的关系与运算
1关系:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):
AuB
如果冋时有A匚B,B二A,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:
A=B
A、B中至少有一个发生的事件:
AUB,或者A+Bo
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。
A、B冋时发生:
A^B,或者ABA「B=?
,则表示A与B不可能冋时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
0-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为A。
它表示A不发生的事件。
互斥未必对立。
2运算:
结合率:
A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC
分配率:
(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)
QOQO._
□Ai=UAi
德摩根率:
**aUb=a^b,a^b=aUb
(7)概率的公理化定义
设。
为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(A),若
满足下列三个条件:
1°0
2°P(Q)=1
3°对于两两互不相容的事件A1,A,…有
/oO、O0
PuAi=瓦P(Ai)
1=1丿iU
常称为可列(完全)可加性。
则称P(A)为事件A的概率。
(8)古典概型
1°Q=kn…COn',
c。
1
2P©1m‘P®n)=—。
n
设任一事件A,匕是由CO1Q2m组成的,则有
P(A)={(d)U(⑷2)U…U(⑷m)}=P(%)+P伸2)十…+P俾m)
mA所包含的基本事件数
-n基本事件总数
(9)几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,冋时样本空
间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何
概型。
对任一事件A,
P(A)-()。
其中L为几何度量(长度、面积、体积)。
L(0)
(10)加法
公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
(11)减法
公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BUA时,P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Q时,P(B)=1-P(B)
(12)条件概率
定义设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称P(AB)为事件A发生条件下,事
P(A)
件B发生的条件概率,记为P(B/A)=P(AB)。
P(A)
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Q/B)=1二P(B/A)=1-P(B/A)
(13)乘法
公式
乘法公式:
P(AB)=P(A)P(B/A)
更一般地,对事件A,A,…A,若P(AA…An-1)>0,则有
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)......P(An|A1A2…An一1)
7o
(14)独立
性
①两个事件的独立性
设事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立,且P(A)aO,则有
P(A)P(A)
若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相
互独立。
必然事件。
和不可能事件?
与任何事件都相互独立。
?
与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么AB、C相互独立。
对于n个事件类似。
(15)全概
公式
设事件Bi,B2,…,Bn满足
1°B1,b2,,Bn两两互不相容,P(Bi)>O(i—人2,,n),
n
AuUBi
2°z,
则有
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn)。
(16)贝叶斯公式
设事件B1,B2,…,Bn及A满足
1°B1,B2,…,Bn两两互不相容,P(Bi)>o,i=1,2,…,n,
n
AuUBi
2°iP(A)A0
则
P(Bi)P(A/Bi)
P(Bi/A)=———,i=1,2,…n。
乞P(Bj)P(A/Bj)
jm
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi),(iT,2,…,n),通常叫先验概率。
P(Bi/A),(匸1,2,…,
n),通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了
“由果朔因”的推断。
(17)伯努利概型
我们作了n次试验,且满足
每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;
n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;
每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与
否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。
用p表示每次试验a发生的概率,则a发生的概率为〔—p—q,用Pn(k)表
示n重伯努利试验中A出现k(°兰k'n)次的概率,
_....kkn-k
Pn(k)=Cnpqk=0,1,2,…,n
第二章随机变量及其分布
(1)离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量X的可能取值为X<(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为
P(X=Xk)=pk,k=1,2,…,
则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形
式给出:
X|X1,X2,…,Xk,…
P(X=xk)p1,p2,…,pk,…。
显然分布律应满足下列条件:
CO
XPk=1
(1)pk色°,k=12,…,
(2)7。
(2)连续型随机变量的分布密度
设F(x)是随机变量X的分布函数,若存在非负函数f(x),对任意实数x,
有
x
F(x)=*(x)dx
则称X为连续型随机变量。
f(x)称为X的概率密度函数或密度函数,简称
概率密度。
密度函数具有下面4个性质:
1°f(x)3°。
f"b°f(x)d^1
2°。
(3)离散与连续型随机变量的关系
P(X=x)吒P(xvX兰x+dx)叱f(x)dx
积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(Xxk)pk在离
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
(4)分布
设X为随机变量,X是任意实数,则函数
函数
F(x)
=P(X兰x)
称为随机变量
X的分布函数,本质上是一个累积函数。
P(a
cX
Eb)=F(b)—F(a)可以得到X落入区间(a,b]的概率。
分布
函数F(x)表示随机变量落入区间(-a,x]内的概率。
分布函数具有如下性质:
1°
0<
F(X)兰1,—co£X£;
2°
F(x)是单调不减的函数,即xicX2时,有F(xi)兰F(X2);
3°
F(—°o)=limf(x)=0,f(十处)=limF(x)=
1;
4°
F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的;
5°
P(X=x)=F(x)-F(x-0)。
对于离散型随机变量,F(x)=:
Zpk;
xV
X
对于连续型随机变量,F(x)=ff(x)dx。
a
(5)八大分布
0-1分布
P(X=1)=p,P(X=0)=q
二项分布
在n重贝努里试验中,设事件A发生的概率为
p。
事件A发生
的次数是随机变量,设为X,则X可能取值为
0,1,2…,n。
kknk
P(X=k)=Pn(k)=CnPq,
其中
q=1—p,0vpv1,k=0,1,2,…,n,
则称随机变量X服从参数为n,p的二
项分布。
记为
X~B(n,p)。
当n=1时,P(X=k)=pkqJ,k=0.1,这就是(0-1)分
布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量X的分布律为
k
P(X二k)二’e—',■0,k=0,1,2,
k!
几何分布
均匀分布
则称随机变量X服从参数为■的泊松分布,记为X~二(,)或者P(■)。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=入,nis)。
P(X=k)=qk°p,k=1,2,3,…,其中p》0,q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)。
设随机变量X的值只落在[a,b]内,其密度函数f(x)在[a,
1
b]上为常数,即
b—a
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