高中数学试题及答案.docx
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高中数学试题及答案
高中数学试题及答案
【篇一:
高中数学经典50题(附答案)】
求下列函数的值域:
解法2令t=sinx,则f(t)=-t+t+1,∵|sinx|≤1,∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[-1,1]上的最值.
2
本例题
(2)解法2通过换元,将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题,从而达到解决问题的目的,这就是转换的思想.善于从不同角度去观察问题,沟通数学各学科之间的内在联系,是实现转换的关键,转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉,由复杂化简单,一句话:
由难化易.可见化归是转换的目的,而转换是实现化归段手段。
2.设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨道的焦点处,当此慧星离
地球相距m万千米和
4
m万千米时,经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为3
?
2
和
?
3
,求该慧星与地球的最近距离。
x2y2
解:
建立如下图所示直角坐标系,设地球位于焦点f(?
c,0)处,椭圆的方程为2?
2?
1
ab
(图见教材p132页例1)。
?
时,由椭圆的几何意义可知,彗星a只3
?
?
12
能满足?
xfa?
(或?
xfa/?
)。
作ab?
ox于b,则fb?
fa?
m
3323
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为
?
ca2
m?
(?
c)?
?
ac
故由椭圆第二定义可知得?
2
?
4m?
c(a?
c?
2m)?
ac3?
3
c213?
m,?
a?
2c.代入第一式得m?
(4c?
c)?
c,a322
22?
c?
m.?
a?
c?
c?
m.
33
2
答:
彗星与地球的最近距离为m万千米。
3
两式相减得m?
说明:
(1)在天体运行中,彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一个焦点,该椭圆的两个焦点,一个是近地点,另一个则是远地点,这两点到恒星的距离一个是a?
c,另一个是a?
c.
(2)以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的,以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。
另外,数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题,善于挖掘隐含条件,有意识地训练数学思维的品质。
3.a,b,c是我方三个炮兵阵地,a在b正东6km,c在b正北偏西30,相距4km,p为敌炮阵地,某时刻a处发现敌炮阵地的某种信号,由于b,c两地比a距p地远,因此4s后,b,c才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1km/s,a若炮击p地,求炮击的方位角。
(图见优化设计教师用书p249例2)
解:
如图,以直线ba为x轴,线段ba的中垂线为y轴建立坐标系,则
?
13
b(?
3,0),a(3,0),c(?
5,2),因为pb?
pc,所以点p在线段bc的垂直平分线上。
因为kbc?
?
,bc中点d(?
4,),所以直线pd的方程为y?
3?
13
(x?
4)
(1)
又pb?
pa?
4,故p在以a,b为焦点的双曲线右支上。
设p(x,y),则双曲线方程为
x2y2
?
?
1(x?
0)
(2)。
联立
(1)
(2),得x?
8,y?
5,45
所以p(8,5).因此kpa?
53
?
,故炮击的方位角北偏东30?
。
8?
3
说明:
本题的关键是确定p点的位置,另外还要求学生掌握方位角的基本概念。
4.河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶5米时,水面宽度为8米,一小船宽4米,高2
米,载货后船露出水面的部分高0.75米,问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时,小船开始不能通行?
解:
建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为x?
?
2py得p=1.6
2
(p?
0)。
将b(4,-5)代入
?
x2?
?
3.2y船两侧与抛物线接触时不能通过
则a(2,ya),由22=-3.2ya得ya=-1.25因为船露出水面的部分高0.75米所以h=︱ya︱+0.75=2米
答:
水面上涨到与抛物线拱顶距2米时,小船开始不能通行
[思维点拔]注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。
.
5.如图所示,直线l1和l2相交于点m,l1?
l2,点n?
l1,以a、b为端点的曲线段c
上任一点到l2的距离与到点n的距离相等。
若?
amn为锐角三角形,
am?
an?
3,且nb6,建立适当的坐标系,求曲线段c的方程。
解:
以直线l1为x轴,线段mn的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,由条件可知,曲线段c是以点n为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中a、b分别为曲线段c的端点。
设曲线段c的方程为y?
2px(p?
0)(xa?
x?
xb,y?
0),其中xa,xb为a、b的横坐标,p?
mn,所以m(?
2
pp
0),n(,0),由am?
an?
3,得22
(xa?
(xa?
p2
)?
2pxa?
17
(1)2
4p2
,
(1)
(2)联立解得xa?
,代入
(1)式,并由p?
0)?
2pxa?
9
(2)
p2
解得?
?
p?
4?
p?
2?
p?
2p
或?
,因为?
amn为锐角三角形,所以?
xa,故舍去?
,所
2?
xa?
1?
xa?
2?
xa?
2?
p?
4
x?
1?
a
以?
p
?
4,综上,曲线段c的方程为2
y2?
8x(1?
x?
4,y?
0)
[思维点拔]
本题体现了坐标法的基本思路,考查了定义法,待定系数法求曲线方程的步骤,
综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。
6.设抛物线y?
4ax(a?
0)的焦点为a,以b(a+4,0)点为圆心,︱ab︱为半径,在x轴上方画半圆,设抛物线与半圆相交与不同的两点m,n。
点p是mn的中点。
(1)求︱am︱+︱an︱的值
(2)是否存在实数a,恰使︱am︱︱ap︱︱an︱成等差数列?
若存在,求出a,不存在,说明理由。
解:
(1)设m,n,p在抛物线准线上的射影分别为m′,n′,p′.
︱am︱+︱an︱=︱mm′︱+︱nn′︱=xm+xn+2a又圆方程
2
[x?
(a?
4)]2?
y2?
16
将y?
4ax代入得x?
2(4?
a)x?
a?
8a?
0
2
2
2
?
xm?
xn?
2?
4?
a?
得︱am︱+︱an︱=8
(2)假设存在a
因为︱am︱+︱an︱=︱mm′︱+︱nn′︱=2︱pp′︱
所以︱ap︱=︱pp′︱,p点在抛物线上,这与p点是mn的中点矛盾。
故a不存在。
2
7.抛物线y?
2px?
p?
0?
上有两动点a,b及一个定点m,f为焦点,若af,mf,bf
成等差数列
(1)求证线段ab的垂直平分线过定点q
(2)若mf?
4,oq?
6(o为坐标原点),求抛物线的方程。
(3)对于
(2)中的抛物线,求△aqb面积的最大值。
解:
(1)设a?
x1,y1?
b?
x2,y2?
m?
x0,y0?
,则af?
x1?
pp
,bf?
x2?
,22
mf?
x0?
x?
x2p
,由题意得x0?
1,?
ab的中点坐标可设为?
x0,t?
,其中
22
t?
y1?
y2
,?
0(否则af?
mf?
bf?
p?
0)
2
y1?
y2y1?
y2
?
1x1?
x222
y1?
y22p
?
2pp
?
,故ab的垂直平分线为
y1?
y2t
而kab?
y?
t?
t
?
x?
x0?
,即t?
x?
x0?
p?
?
yp?
0,可知其过定点q?
x0?
p,0?
p
(2)由mf?
4,oq?
6,得x0?
p2
联立解得p?
4,x0?
2?
y?
8x。
?
4,x0?
p?
6,
2
(3)直线ab:
y?
t?
2
2
4
?
x?
2?
,代入?
y2?
8x得y2?
2ty?
2t2?
16?
0,t
2
?
?
y1?
y2?
?
?
y1?
y2?
?
4y1y2?
?
?
64?
4t,?
x1?
x2?
2
t22?
?
y1?
y2?
16
2
2
t2?
16?
t2,?
ab?
4
?
?
x1?
x22?
y1?
y22
?
?
?
12
16?
t16?
t
,
1
256?
t4,又点q?
6,0?
到ab的距离d?
?
?
?
t22
111
?
s?
aqb?
abd?
256?
t416?
t2?
4096?
256t2?
16t4?
t6
244?
令
u?
4096?
256t2?
16t4?
t6,则u?
?
512t?
64t3?
6t5,令u?
?
0即
512t?
64t3?
6t5?
0,得t?
0或t2?
?
16或t2?
161642
,?
t?
?
t?
?
3时333
?
s
?
aqb
?
?
64
9
6。
[思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法,必须熟练掌握,对
定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。
8、已知直线l:
y?
tan(x?
22)交椭圆x?
9y?
9于a、b两点,若?
为l的倾斜角,且ab的长不小于短轴的长,求?
的取值范围。
解
:
将
2
2
l
的方程与椭圆方程联立,消去
y
,得
2
(1?
9tan2?
)x2?
362tan2?
?
x?
72ta?
n?
9?
0
?
6tan2?
?
6?
ab?
?
tan?
x2?
x1?
?
tan?
?
?
22
(1?
9tan?
)1?
9tan?
2
2
由ab?
2,得tan?
?
2
13,?
?
?
tan?
?
,333
?
?
?
?
5?
?
?
?
的取值范围是?
0,?
?
?
?
?
?
6?
?
6?
[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。
本题由于l的方程由tan?
给出,所以可以认定?
?
9、已知抛物线y?
?
x与直线y?
k(x?
1)相交于a、b两点
2
?
2
,否则涉及弦长计算时,还要讨论?
?
?
2
时的情况。
【篇二:
高一数学试卷及答案(人教版)】
t>一、填空题
1.已知log23?
a,log37?
b,用含a,b的式子表示log214?
。
2.方程lgx?
lg12?
lg(x?
4)的解集为。
3.设?
是第四象限角,tan?
?
?
4.函数y?
3
,则sin2?
?
____________________.4
2sinx?
1的定义域为__________。
5.函数y?
2cos2x?
sin2x,x?
r的最大值是6.把?
6sin?
?
2cos?
化为asin(?
?
?
)(其中a?
0,?
?
(0,2?
))的形式是。
7.函数f(x)=(
1|cosx|
8.函数y?
?
2sin(2x?
9.
,且
?
3
)与y轴距离最近的对称中心的坐标是____。
,则
。
10.设函数f(x)是以2为周期的奇函数,且,若
4cos2)?
的值.,则f(
11.已知函
数,
求
12.设函数y?
sin?
?
x?
?
?
?
?
?
?
0,?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
的最小正周期为?
,且其图像关于直线22?
?
?
?
?
?
?
?
?
0?
对称;
(2)图像关于点?
0?
对?
4?
?
3?
x?
?
12
对称,则在下面四个结论中:
(1)图像关于点?
称;(3)在?
0,
?
?
?
?
?
?
上是增函数;(4)在?
?
?
6,0?
上是增函数,那么所有正确结论的编号为____6?
?
?
?
二、选择题
最高点到相邻的最低点,曲线交x轴于(6,0)点,则这条曲线的解析式是()
?
?
x+)84?
(c)y=sin(x+2)
8
(a)y=sin(14.函数y=sin(2x+
(a)向左平移(c)向左平移
?
x-2)8
?
?
(d)y=sin(x-)
84
(b)y=sin(
?
)的图象是由函数y=sin2x的图像()3
?
单位35?
单位6
(b)向左平移
?
单位2.65?
单位6
(d)向右平移
?
15.在三角形△abc中,a?
36,b?
21,a?
60,不解三角形判断三角形解的情况().
(a)一解(b)两解(c)无解(d)以上都不对16.函数f(x)=cos2x+sin(
?
+x)是().2
(b)仅有最小值的奇函数
(d)既有最大值又有最小值的偶函数
(a)非奇非偶函数(c)仅有最大值的偶函数三、解答题
17.(8分)设函数f(x)?
log2(x?
1),(x?
?
1)
(1)求其反函数f
(2)解方程f
18.(10分)已知
?
1
?
1
(x);
(x)?
4x?
7.
sinx?
cosx
?
2.
sinx?
cosx
(1)求tanx的值;
(2)若sinx,cosx是方程x2?
mx?
n?
0的两个根,求m2?
2n的值.19.(
分)已知函数
;
(1).求f(x)的定义域;
(2).写出函数f(x)的值域;
(3).求函数f(x)的单调递减区间;
20.(12分)设关于的方程
(1).求的取值范围;
(2).求
的值。
在
内有两相异解,;
21.(12分)我们把平面直角坐标系中,函数y=f(x),x?
d上的点p?
x,y?
,满足.x?
n?
y?
n?
的点称为函数y=f(x)的“正格点”
⑴请你选取一个m的值,使对函数f(x)?
sinmx,x?
r的图像上有正格点,并写出函数的一个正格点坐标.
⑵若函数f(x)?
sinmx,x?
r,m?
?
1,2?
与函数g(x)?
lgx的图像有正格点交点,求m的值,并写出两个函数图像的所有交点个数.
⑶对于⑵中的m值,函数f(x)?
sinmx,x?
?
0,?
时,不等式
9
?
5?
?
?
logax?
sinmx恒成立,求实数a的取值范围.
高一期末数学试卷答案
1、1?
ab2、{2}3、?
24?
5?
?
4、?
2k?
?
2k?
?
?
?
(k?
z)5
12566?
?
?
?
9、
10、
6、7、[-
11、
12、(2)(4)13、a14、b15、a16、d
?
1
17.解:
(1)f
(x)?
2x?
1,(x?
r);--------------------------------4分
xx
(2)由已知?
2?
1?
4?
7?
(2x?
3)(2x?
2)?
0
?
2x?
3?
0?
x?
log23-----------------------------------------------------4分
18.解:
(1)tanx?
?
3;
(2)m?
sinx?
cosx,
-----------------------------------------4分
n?
sinx?
cosx---------------------------------2分
2tanx1
?
?
---4分
51?
tan2x
sinx?
cosx21?
sin2x3
)?
4?
?
4?
sin2x?
?
)(另解:
已知?
(
sinx?
cosx1?
sin2x5?
m2?
2n?
1?
4sinx?
cosx?
1?
2sin2x?
1?
2?
19.解:
(1)f(x)的定义域:
(2).函数f(x)的值域:
(3).函数f(x)的单调递减区间:
20.解:
(1).由数形结合有:
(2).∵,是方程的两根
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
6分
?
3
)?
2sin(?
?
?
3
)?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
?
2k?
?
?
?
(?
?
?
3
),k?
z或?
?
∴
+
?
3
?
2k?
?
?
?
=
?
3
,k?
z?
?
?
4分
+
=
?
3
or
7?
3
【篇三:
2013年江苏高考数学试题及答案(含理科附加题)word版】
3年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ
注意事项:
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题-第20题,共20题)。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。
5.如需作图,须用2b铅笔绘,写清楚,线条,符号等须加黑加粗。
参考公式:
1n1n2
样本数据x1,x2,?
xn的方差s?
?
(xi?
),其中?
?
xi。
ni?
1ni?
1
2
1
sh,其中s是锥体的底面积,h为高。
3
棱柱的体积公式:
v?
sh,其中s是柱体的底面积,h为高。
棱锥的体积公式:
v?
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡的相应位置上。
.........
答案:
3
6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:
环),结果如下:
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演.......算步骤.
15、(本小题满分14分)
?
?
已知向量a?
(cos?
sin?
),b?
(cos?
sin?
),0?
?
?
?
?
?
。
?
?
?
?
(1)若|a?
b|?
a?
b;
?
?
?
?
(2)设c?
(0,1),若a?
b?
c,求?
?
的值。
?
?
?
?
(2)设c?
(0,1),若a?
b?
c,求?
?
的值。
[解析]本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系式、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力。
满分14分。
?
2?
?
?
2?
?
?
?
2?
?
2
(1)证明:
(方法一)由|a?
b||a?
b|?
(a?
b)?
2,即a?
2a?
b?
b?
2。
?
?
?
?
?
?
?
2?
2?
2?
?
?
2
2?
2a?
b?
2又a?
b?
,a?
b?
0,故a?
b。
|a|?
|b|?
,所以1
?
?
(方法二)a?
b?
(cos?
?
cos?
sin?
?
sin?
),
?
?
?
?
2?
?
2
22
由|a?
b||a?
b|?
(a?
b)?
2,即:
(cos?
?
cos?
)?
(sin?
?
sin?
)?
2,
化简,得:
2(cos?
cos?
?
sin?
?
sin?
)?
0,
?
?
?
?
a?
b?
cos?
cos?
?
sin?
?
sin?
?
0,所以a?
b。
?
?
?
cos?
?
cos?
?
0?
?
(1)
(2)a?
b?
(cos?
?
cos?
sin?
?
sin?
),可得:
?
?
sin?
?
sin?
?
1?
?
(2)
16、(本小题满分14分)
如图,在三棱锥s-abc中,平面sab?
平面sbc,ab?
bc,as=ab。
过a作af?
sb,垂足为f,点e、g分别为线段sa、sc的中点。
求证:
(1)平面efg//平面abc;
(2)bc?
sa。
[解析]本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力。
满分14分。
证明:
(1)因为as=ab,af⊥sb于f,所以f是sb的中点。
又e是sa的中点,所以ef∥ab。
因为ef?
平面abc,ab?
平面abc,所以ef∥平面abc。
同理可证eg∥平面abc。
又ef∩eg=e,所以平面efg//平面abc。
(2)因为平面sab?
平面sbc于sb,又af?
平面sab,af⊥sb,所以af⊥平面sbc。
因为bc?
平面sbc,所以af⊥bc。
又因为ab⊥bc,af∩ab=a,af、ab?
平面sab,所以bc⊥平面sab。
又因为sa?
平面sab,所以bc⊥sa。
17、(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xoy中,点a(0,3),直线l:
y?
2x?
4,设圆c的半径为1,圆心在直线l上。
(1)若圆心c也在直线y?
x?
1上,过点a作圆c的切线,求切线的方程;
(2)若圆c上存在点m,使ma=2mo,求圆心c的横坐标a的取值范围。
[解析]本小题主要考查直线与圆的方程,直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识,考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法解决问题的能力。
满分14分。
18、(本小题满分16分)
如图,游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种路径。
一种是从a沿直线步行到c,另一种是先从a沿索道乘缆车到b,然后从b沿直线步行到c。
现有甲、乙两位游客从a处下山,甲沿ac匀速步行,速度为50米/分钟。
在甲出发2分钟后,乙从a乘坐缆车到b,在b处停留1分钟后,再从b匀速步行到c。
假设缆车速度为130米
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