高考数学四海八荒易错集专题17排列组合二项式定理理.docx

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高考数学四海八荒易错集专题17排列组合二项式定理理

2019年高考数学四海八荒易错集专题17排列组合二项式定理理

1．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有（　　）

A．8种B．16种C．18种D．24种

答案　A

解析　可分三步：

第一步，最后一个排商业广告有A种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有A种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A种．根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有AAA＝8（种）．故选A.

2．为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为（　　）

A．60B．120

C．240D．360

答案　D

分配方案．

3．设（1－2x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，则代数式a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＋7a7的值为（　　）

A．－14B．－7

C．7D．14

答案　A

解析　对已知等式的两边求导，得

－14（1－2x）6＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4＋6a6x5＋7a7x6，

令x＝1，有a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＋7a7＝－14.

故选A.

4．某天连续有7节课，其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节，数学2节．在排课时，要求生物课不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数为（　　）

A．408B．480

C．552D．816

答案　A

5．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（　　）

A．24B．48

C．60D．72

答案　D

解析　由题可知，五位数为奇数，则个位数只能是1,3,5；分为两步：

先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C，再将剩下的4个数字排列得到A，则满足条件的五位数有C·A＝72（个）．选D.

6．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（　　）

A．24B．18C．12D．9

答案　B

解析　从E到F的最短路径有6条，从F到G的最短路径有3条，所以从E到G的最短路径为6×3＝18（条），故选B.

7．（2x＋）5的展开式中，x3的系数是______________．（用数字填写答案）

答案　10

解析　（2x＋）5展开式的通项公式k∈{0,1,2,3,4,5}，

令5－＝3，解得k＝4，得∴x3的系数是10.

4．在（－）n的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________．

答案　112

解析　2n＝256，n＝8，

通项

取k＝2，常数项为C（－2）2＝112.

8．（1＋2x）10的展开式中系数最大的项是________．

答案　15360x7

9．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为________．

答案　260

解析　如图所示，

将4个小方格依次编号为1,2,3,4.如果使用2种颜色，则只能是第1,4个小方格涂一种，第2,3个小方格涂一种，方法种数是CA＝20；如果使用3种颜色，若第1,2,3个小方格不同色，第4个小方格只能和第1个小方格相同，方法种数是CA＝60，若第1,2,3个小方格只用2种颜色，则第4个方格只能用第3种颜色，方法种数是C×3×2＝60；如果使用4种颜色，方法种数是CA＝120.根据分类加法计数原理，知总的涂法种数是20＋60＋60＋120＝260.

10．（a＋x）（1＋x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.

答案　3

解析　设（a＋x）（1＋x）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，得16（a＋1）＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①

令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②

①－②，得16（a＋1）＝2（a1＋a3＋a5），

即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8（a＋1），所以8（a＋1）＝32，解得a＝3.

11．已知等式x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝（x＋1）4＋b1（x＋1）3＋b2（x＋1）2＋b3（x＋1）＋b4，定义映射f：

（a1，a2，a3，a4）→（b1，b2，b3，b4），则f（4,3,2,1）＝____________.

答案　（0，－3,4，－1）

易错起源1、两个计数原理

例1、

（1）如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（　　）

A．72种B．48种

C．24种D．12种

（2）如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1

A．240B．204

C．729D．920

答案　

（1）A　

（2）A

当中间数为3时，有2×3＝6（个）；

当中间数为4时，有3×4＝12（个）；

当中间数为5时，有4×5＝20（个）；

当中间数为6时，有5×6＝30（个）；

当中间数为7时，有6×7＝42（个）；

当中间数为8时，有7×8＝56（个）；

当中间数为9时，有8×9＝72（个）．

故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240（个）．

【变式探究】

（1）将1,2,3，…，9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法有（　　）

A．6种B．12种

C．18种D．24种

（2）在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者，三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，若经过五次传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式有________种．（用数字作答）

答案　

（1）A　

（2）10

解析　

（1）分为三个步骤：

1

2

3

4

9

第一步，数字1,2,9必须放在如图的位置，只有1种方法．

所以共有10种不同的传递方法．

【名师点睛】

（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．

（2）对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．

【锦囊妙计，战胜自我】

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘．

易错起源2、排列与组合

例2、

（1）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（　　）

A．72B．120

C．144D．168

（2）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法共有（　　）

A．232种B．252种

C．472种D．484种

答案　

（1）B　

（2）C

【变式探究】

（1）在某真人秀活动中，村长给6位“萌娃”布置了一项搜寻空投食物的任务．已知：

①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以她要么不参与该项任务，但此时另需一位“萌娃”在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的“萌娃”须均分成两组，一组去远处，一组去近处，则不同的搜寻方案有（　　）

A．40种B．70种

C．80种D．100种

（2）2名男生和5名女生排成一排，若男生不能排在两端又必须相邻，则不同的排法种数为（　　）

A．480B．720

C．960D．1440

答案　

（1）A　

（2）C

解析　

（1）Grace不参与该项任务，有CCC＝30（种）方案，Grace参与该项任务，有CC＝10（种）方案，故共有30＋10＝40（种）不同的搜寻方案．故选A.

（2）把2名男生看成1个元素，和5名女生共6个元素进行全排列，又2名男生的顺序可调整，故共有AA种方法，其中男生在两端的情形共2AA种，故总的方法种数为AA－2AA＝960.故选C.

【名师点睛】

求解排列、组合问题的思路：

排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．

具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：

（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．

（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．

（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

解答计数问题多利用分类讨论思想．分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”．

【锦囊妙计，战胜自我】

名称

排列

组合

相同点

都是从n个不同元素中取m（m≤n）个元素，元素无重复

不同点

①排列与顺序有关；

②两个排列相同，当

且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同

①组合与顺序无关；

②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同

易错起源3、二项式定理

例3、

（1）设则二项式n的展开式中x2的系数为（　　）

A．80B．90

C．120D．160

（2）8的展开式中x7的系数为________．（用数字作答）

答案　

（1）D　

（2）－56

解析　

（1）因为

所以（2x＋）6的展开式的通项

令6－＝2，得k＝3，

所以x2的系数为C23＝160.

（2）8的通项Tk＋1＝C（x2）8－kk

＝（－1）kCx16－3k，当16－3k＝7时，k＝3，

则x7的系数为（－1）3C＝－56.

【变式探究】

（1）（－）10的展开式中系数为正数的有理项有（　　）

A．1项B．2项

C．3项D．4项

（2）设A＝37＋C35＋C33＋C3，B＝C36＋C34＋C32＋1，则A－B＝________.

答案　

（1）B　

（2）128

【名师点睛】

（1）在应用通项公式时，要注意以下几点：

①它表示二项展开式的任意项，只要n与k确定，该项就随之确定；

②Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；

③公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；

④对二项式（a－b）n展开式的通项公式要特别注意符号问题．

（2）在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．

【锦囊妙计，战胜自我】

（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，其中各项的系数就是组合数C（k＝0,1，…，n）叫做二项式系数；展开式中共有n＋1项，其中第k＋1项Tk＋1＝Can－kbk（其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*）称为二项展开式的通项公式．

1．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（　　）

A．224B．112

C．56D．28

答案　B

解析　根据分层抽样，从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人，所以抽取2名女生1名男生的方法数为CC＝112.

2．5人站成一排，甲、乙两人必须站在一起的不同排法有（　　）

A．12种B．24种

C．48种D．60种

答案　C

解析　可先排甲、乙两人，有A＝2（种）排法，再把甲、乙两人与其他三人进行全排列，有A＝24（种）排法，由分步乘法计数原理，得一共有2×24＝48（种）排法，故选C.

3．设i为虚数单位，则（x＋i）6的展开式中含x4的项为（　　）

A．－15x4B．15x4

C．－20ix4D．20ix4

答案　A

解析　由题可知，含x4的项为Cx4i2＝－15x4.故选A.

4．在二项式（x2－）n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（　　）

A．32B．－32

C．0D．1

答案　C

5．已知（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a0＋a1＋a2＋…＋an＝126，那么（－）n的展开式中的常数项为（　　）

A．－15B．15C．20D．－20

答案　D

解析　令x＝1得

a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝2×＝2n＋1－2＝126⇒2n＋1＝128⇒2n＋1＝27⇒n＝6，

又Tk＋1＝C（）6－k（－）k＝C（－1）kx3－k，

所以由3－k＝0得常数项为－C＝－20.故选D.

6．已知等比数列{an}的第5项是二项式（x＋）4展开式中的常数项，则a3·a7＝________.

答案　36

7．冬季供暖时，供热公司将5名水暖工分配到3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有________种．

答案　150

解析　将5名水暖工分成2,2,1或3,1,1三组，共有＋C＝25（种）分法，将这三组水暖工分配到3个小区共有A＝6（种）分法，由分步乘法计数原理得分配方案共有25×6＝150（种）．

8．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有________种．

答案　24

解析　分类讨论，有2种情形．孪生姐妹乘坐甲车，则有CCC＝12（种）乘车方式；孪生姐妹不乘坐甲车，则有CCC＝12（种）乘车方式．根据分类加法计数原理得，共有24种乘车方式．

9．已知（1＋2x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________（用数字作答）．

答案　729

解析　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|相当于（1＋2x）6的展开式中各项系数绝对值的和，令x＝1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝36＝729.

10．若（1－2x）2016＝a0＋a1x＋…＋a2016x2016，则＋＋…＋的值为________．

答案　－1