普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国卷1含答案.docx

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普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国卷1含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题

理（全国卷1）

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设

，则

A．

B．

C．

D．

2．已知集合

，则

A．

B．

C．

D．

3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4．设

为等差数列

的前

项和，若

，

，则

A．

B．

C．

D．

5．设函数

，若

为奇函数，则曲线

在点

处的切线方程为

A．

B．

C．

D．

6．在

中，

为

边上的中线，

为

的中点，则

A．

B．

C．

D．

7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点

在正视图上的对应点为

，圆柱表面上的点

在左视图上的对应点为

，则在此圆柱侧面上，从

到

的路径中，最短路径的长度为

A．

B．

C．3D．2

8．设抛物线C：

y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为

的直线与C交于M，N两点，则

=

A．5B．6C．7D．8

9．已知函数

．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）

10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则

A．p1=p2B．p1=p3

C．p2=p3D．p1=p2+p3

11．已知双曲线C：

，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若

OMN为直角三角形，则|MN|=

A．

B．3C．

D．4

12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为

A．

B．

C．

D．

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若

，

满足约束条件

，则

的最大值为_____________．

14．记

为数列

的前

项和，若

，则

_____________．

15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）

16．已知函数

，则

的最小值是_____________．

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

60分。

17．（12分）

在平面四边形

中，

，

，

，

.

（1）求

；

（2）若

，求

.

18．（12分）

如图，四边形

为正方形，

分别为

的中点，以

为折痕把

折起，使点

到达点

的位置，且

.

（1）证明：

平面

平面

；

（2）求

与平面

所成角的正弦值.

19．（12分）

设椭圆

的右焦点为

，过

的直线

与

交于

两点，点

的坐标为

.

（1）当

与

轴垂直时，求直线

的方程；

（2）设

为坐标原点，证明：

.

20．（12分）

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为

，且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为

求

的最大值点

．

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以

（1）中确定的

作为

的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为

，求

;

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

21．（12分）

已知函数

．

（1）讨论

的单调性；

（2）若

存在两个极值点

，证明：

．

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4–4：

坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系

中，曲线

的方程为

.以坐标原点为极点，

轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

的极坐标方程为

.

（1）求

的直角坐标方程；

（2）若

与

有且仅有三个公共点，求

的方程.

23．[选修4–5：

不等式选讲]（10分）

已知

.

（1）当

时，求不等式

的解集；

（2）若

时不等式

成立，求

的取值范围.

参考答案：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

C

B

A

B

D

A

B

D

C

A

B

A

13.614.

15.1616.

17.（12分）

解：

（1）在

中，由正弦定理得

.

由题设知，

，所以

.

由题设知，

，所以

.

（2）由题设及

（1）知，

.

在

中，由余弦定理得

.

所以

.

18.（12分）

解：

（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.

又

平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.

（2）作PH⊥EF，垂足为H.由

（1）得，PH⊥平面ABFD.

以H为坐标原点，

的方向为y轴正方向，

为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.

由

（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=

.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.

可得

.

则

为平面ABFD的法向量.

设DP与平面ABFD所成角为

，则

.

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为

.

19.（12分）

解：

（1）由已知得

，l的方程为x=1.

由已知可得，点A的坐标为

或

.

所以AM的方程为

或

.

（2）当l与x轴重合时，

.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以

.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为

，

，

则

，直线MA，MB的斜率之和为

.

由

得

.

将

代入

得

.

所以，

.

则

.

从而

，故MA，MB的倾斜角互补，所以

.

综上，

.

20.（12分）

解：

（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为

.因此

.

令

，得

.当

时，

；当

时，

.

所以

的最大值点为

.

（2）由

（1）知，

.

（i）令

表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知

，

，即

.

所以

.

（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于

，故应该对余下的产品作检验.

21.（12分）

解:

（1）

的定义域为

，

.

（i）若

，则

，当且仅当

，

时

，所以

在

单调递减.

（ii）若

，令

得，

或

.

当

时，

；

当

时，

.所以

在

单调递减，在

单调递增.

（2）由

（1）知，

存在两个极值点当且仅当

.

由于

的两个极值点

满足

，所以

，不妨设

，则

.由于

，

所以

等价于

.

设函数

，由

（1）知，

在

单调递减，又

，从而当

时，

.

所以

，即

.

22．[选修4-4：

坐标系与参数方程]（10分）

【解析】

（1）由

，

得

的直角坐标方程为

．

（2）由

（1）知

是圆心为

，半径为

的圆．

由题设知，

是过点

且关于

轴对称的两条射线．记

轴右边的射线为

，

轴左边的射线为

．由于

在圆

的外面，故

与

有且仅有三个公共点等价于

与

只有一个公共点且

与

有两个公共点，或

与

只有一个公共点且

与

有两个公共点．

当

与

只有一个公共点时，

到

所在直线的距离为

，所以

，故

或

．

经检验，当

时，

与

没有公共点；当

时，

与

只有一个公共点，

与

有两个公共点．

当

与

只有一个公共点时，

到

所在直线的距离为

，所以

，故

或

．

经检验，当

时，

与

没有公共点；当

时，

与

没有公共点．

综上，所求

的方程为

．

23．[选修4-5：

不等式选讲]（10分）

【解析】

（1）当

时，

，即

故不等式

的解集为

．

（2）当

时

成立等价于当

时

成立．

若

，则当

时

；

若

，

的解集为

，所以

，故

．

综上，

的取值范围为

．