初中数学动点问题.docx
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初中数学动点问题.docx
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初中数学动点问题
运动型问题
【题型特征】用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题,此类
问题的显著特点是图形中的某个元素(如点、线段、角等)或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一,体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要的数学思想,综合性较强.
运动型试题主要类型:
(1)点的运动(单点运动、双点运动);
(2)线的运动(线段或直线的运动);(3)形的运动(三角形运动、四边形运动、圆的运动等).
【解题策略】解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图
形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.
解决点动型问题,一是要搞清在点运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化,并在点运动在相对静止的瞬间,寻找变量的关系.二是要运用好相应的几何知识.三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的.
线动实质就是点动,即点动带动线动,进而还会产生面动,因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程,
抓住其中的等量关系和变量关系.从运动变化得到图形的特殊位置,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示.
解决形动类问题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性,
充分利用不变量来解决问题;二是要运用特殊到一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使
得问题解决的过程更加简捷,结论更加准确.
类型一点动典例1(2015•江西)如图
(1),AB是。
O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P是。
O上半部分的一个动点,连接OP,CP.
(1)求厶OPC的最大面积;
(2)求/OCP的最大度数;
(3)如图⑵,延长PO交。
O于点D,连接DB,当CP=DB时,求证:
CP是。
O的切线.
•宀
(1)
⑵
举一反三
1.(2015•黑龙江牡丹江)如图,在RtAABC中,/ACB=90°,AC=8,BC=6,CD丄AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时两点都停止•设运动时间为t秒.
⑴求线段CD的长.
(2)设厶CPQ的面积为S求S与t之间的函数表达式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得Smpq:
&abc=9:
100?
若存在,求出t的值若不存在,说明理由•
(3)当t为何值时,△CPQ为等腰三角形?
a
(第1题)
类型二线的运动
典例2(2015•广东)如图,在△ABC中,AB=ACAD丄BC于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点
B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m
从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB,AC,AD于点E,F,H,当点
P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).
⑴当t=2时,连接DEDF,求证:
四边形AEDF为菱形.
(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长.
(3)是否存在某一时刻匕使厶PEF为直角三角形?
若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.
举一反三
2.(2015•湖南衡阳)如图直线AB与x轴相交于点A(-4,0),与y轴相交于点B(0,3),点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动.同时,将直线尸丁'以每秒0.6个单位长度的速度向上平移,交OA于点C,交OB于点D,设运动时间为t(0 (1)证明: 在运动过程中,四边形ACDP总是平行四边形; ⑵当t取何值时,四边形ACDP为菱形? 请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由. (第2题) 类型三面的运动典例3(2015•甘肃天水)如图⑴,在平面直角坐标系中,点A(0,-6),点B(6,0).RtACDE中,/CDE=90°,CD=4,DE=4扫,直角边CD在y轴上,且点C与点A重合只也CDE沿y轴正方向平行移动,当点C运动到点O时停止运动.解答下列问题: (1)如图⑵,当RtACDE运动到点D与点O重合时,设CE交AB于点M,求/BME的度数• (2)如图⑶,在RtACDE的运动过程中,当CE经过点B时,求BC的长. ⑶在Rt△CDE的运动过程中,设AC=h^OAB与厶CDE的重叠部分的面积为S,请写出 S与h之间的函数表达式,并求出面积S的最大值. U IJ (C) 7匕 (1) H 1y fi / 举一反三 3.(2015•福建三明)如图⑴,在RtAABC中,/ACB=90: AB=10,BC=6,扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合,OD交BC于点F,OE经过点C,且/DOE=ZB. (1)证明△COF是等腰三角形,并求出CF的长; (2)将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转,OD,OE与边AC分别交于点M,N(如图 (2)),当CM的长是多少时,△OMN与ABCO相似? (1) 备用图 【小结】解决运动型问题时,一是要搞清运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等)不改变、那些图形随之变化,即确定运动变化过程中图形中的变与不变,充分利用不变量来解决问题;二是要运用好相应的几何知识;三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的• 对于几何图形的运动的动态几何题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性;二是要运用特殊与一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解 决的过程更加简洁,结论更加准确• 好题精练 类型一 1.(2015•贵州贵阳)如图,在RtAABC中,/BAC=90: AB=AC=16cm,AD为BC边上的高•动点 P从点A出发,沿A-D方向以_cm/s的速度向点D运动•设△ABP的面积为Si,矩形PDFE 的面积为S2,运动时间为t秒(0 2.曲*■璋北舸门湎【目■已ftliAA定叹曲心=号弃那「象阳的的一孑两点•连植皿上井亚拴供号一彷言于点H+Ali为边ft苓血△加黄皿丁柞话网翼限更館世J的迟功.直「的位盂也旅勵雙征.阻恵厂输翼僅扯曲響 类型 3.(2015•湖南怀化)如图⑴,在平面直角坐标系中,AB=OB=8,ZABO=90°ZyOC=45。 ,射线 OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过RtAABO的面积为y. (1)求y与x之间的函数表达式; ⑵当x=3秒时,射线OC平行移动到OC,与OA相交于点G,如图 (2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式; (3)现有一动点P在 (2)中的抛物线上试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积 S=8的情况? 若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. (1) 4.(2015•江苏连云港)在一次科技活动中,小明进行了模拟雷达雪描实验•如图,表盘是厶ABC,其中AB=AC/BAC=120: 在点A处有一束红外光线AP,从AB开始,绕点A逆时针匀速旋转,每秒钟旋转15°,到达AC后立即以相同的旋转速度返回A,B,到达后立即重复上述旋转过程•小明通过实验发现,光线从AB处开始旋转计时,旋转1秒,时光线AP交BC于点 M,BM的长为(20「-20)cm. (1)求AB的长. (2)从AB处旋转开始计时,若旋转6秒,此时AP与BC边交点在什么位置? 若旋转2015秒,此时AP与BC边交点在什么位置? 并说明理由• 类型三 5.(2015•湖南益阳)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的。 P的圆心P的坐标为(-3,0),将。 P沿x轴正方向平移,使。 P与y轴相切,则平移的距离为(). 6. 7.(2015•黑龙江黑河)在等腰直角三角形ABC中,/BAC=90°,AB=AC直线MN过点A且 MNIIBC,过点B为一锐角顶点作RtABDE^BDE=90: 且点D在直线MN上(不与点A重合),如图 (1),DE与AC交于点P,易证: BD=DP(无需写证明过程) (1)在图 (2)中,DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立? 如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由• (2)在图⑶中,DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等? 请直接写出你的结论,无需证明• (1) (第6题) 点P以1厘米/秒的当点Q运动到D点y平方厘米(这里规 补充: 如图所示,菱形ABCD边长6厘米,角B=60°o从初始开始,点P,Q同时从A点出发,速度A到C到B的方向运动,点Q以2厘米/秒的速度沿A到B到C到D的方向运动,时,P,Q同时停止运动,设P,Q运动的时间为x秒,△APQ与厶ABC重叠部分的面积为定,点和线段是面积为0的三角形)解答下列问题: (1)点P,Q从出发到相遇所用的时间是秒 (2)点P,Q从开始运动到停止的过程,当△APQ是等边三角形时x的值是秒 (3)求y与x之间的函数关系式
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