第五章部分答案.docx
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第五章部分答案
5.2设S=Q×Q,其中Q为有理数集合。
定义S上的二元运算*,
S有
则
(1)<3,4>=则[A],<-1,3>*<5,2>=[B].
(2)是[D].
(3)的幺元是[D].
(4)[E].
供选择的答案
A、B:
①<3,10>;②<3,8>;③<-5,1>.
C:
④可交换的;⑤可结合的;⑥不是可交换的,也不是可结合的.
D:
⑦<1,0>;⑧<0,1>.
E:
⑨只有唯一的逆元;⑩a≠0时,元素有逆元。
答案:
A=①;B=③;C=⑤;D=⑦;E=⑩
5.3R为实数集,定义以下6个函数f1,f2,……,f6,x,yR有
f1(
f2(
f3(
f4(
f5(
f6(
那么,其中有A个是R上的二元运算,有B个是可交换的,C个是可结合的,D个是有幺元的,E个是有零元的。
供选择的答案
A、B、C、D、E:
①0;②1;③2;④3;⑤4;⑥5;⑦6.
解:
f1(
是二元运算,可交换,可结合,有幺元0,没有零元.
f2(
是二元运算,不可交换,不可结合,有右幺元0,没有零元.
f3(
是二元运算,可交换,可结合,有幺元1,有零元0.
f4(
是二元运算,可交换,可结合,没有幺元,没有零元.
f5(
是二元运算,可交换,可结合,没有幺元,没有零元.
f6(
是二元运算,可交换,不可结合,有幺元0,没有零元.
5.5设V={R+,•},其中•为普通乘法。
对任意xR+令1(x)=x.2(x)=2x.3(x)=x•x.4(x)=1/x.5(x)=-xi.其中有④个是V的自同态,它们是⑨,有①个是单自同态,而不是满自同态,①个是满自同态,而不是单自同态,④个是自同构。
供选择的答案
A、C、D、E:
①0;②1;③2;④3;⑤4;⑥5。
B:
⑦1,2,3;⑧1,3;⑨1,3,4;⑩1,2,3,4
5.6设V=
x
Z令
(x)=x,
(x)=0,
(x)=x+5,
(x)=2x,
(x)=x
(x)=-x,则
……,
中1,2,4,6是V的自同态,其中4,2不是V的字同构,4只是单字同态,不是满自同态,没有函数是满自同态,不是单自同态。
零同态的同态像是<{0},+>.
5.7
(1)是
(2)不是
(3)不是
(4)是
(5)不是
5.8下面各集合都是N的子集,他们在普通加法运算下是否封闭?
(1){x|x的某次幂可以被16整除}.
答:
封闭
(2){x|x与5互质}
答:
不封闭
因为2,3与5互质,但2+3=5,5却与5不互质,所以不封闭
(3){x|x是30的因子}
答:
不封闭
满足条件的集合是{1,2,3,5,6,10,15,30},设为A.
对A中的元素2,6,有2+6=8,但8不属于A,所以不封闭
(4){x|x是30的倍数}
答:
封闭
设此集合为B.对B中的任意元素x,y,因为是30的倍数,不妨设x=30a,y=30b(a,b为整数),
有x+y=30(a+b),显然也是30的倍数,所以封闭.
5.9设V=,其中S={a,b,c},*的运算表分别给定如下:
(1)
*abc
aabc
bbca
ccab
分别对以上每种情况讨论*运算的可交换性、幂等性,是否含有幺元以及S中的元素是否含有逆元。
解:
具有可交换性,不适合幂等律,含有幺元a,a的逆元是a,b的逆元是c,c的逆元是b.
5.9设V=,其中S={a,b,c},*的运算表分别给定如下:
(2)*abc
aabc
babc
cabc
解:
由题意得,
*在S上不具有交换性,具有幂等性,不含有幺元(a,b,c是左么元),不含有逆元。
5.9(3)设V=,其中S={a,b,c},*的运算表分别给定如下:
分别对一下每中情况讨论*运算的可交换性、幂等性,是否含有幺元以及S中的元素是否含有逆元。
答:
由运算表知运算是可以交换的
因为a*a=a,b*b=b,c*c=c因此是幂等的
因为a*c=c*a=c,a*b=b*a=b,a*a=a因此含有幺元a
因为a*a=a因此a有逆元a,其余元素都没有逆元.
5.10设V1=<{0,1,2},。
>,V2=<{0,1},*>,其中。
表示模3加法,*表示模二乘法,试构造积代数V1V2的运算表,并指出积代数的幺元。
V1V2
<0,0>
<0,1>
<1,0>
<1,1>
<2,0>
<2,1>
<0,0>
<0,0>
<0,0>
<1,0>
<1,0>
<2,0>
<2,0>
<0,1>
<0,0>
<0,1>
<1,0>
<1,1>
<2,0>
<2,1>
<1,0>
<1,0>
<1,0>
<2,0>
<2,0>
<0,0>
<0,0>
<1,1>
<1,0>
<1,1>
<2,0>
<2,1>
<0,0>
<0,1>
<2,0>
<2,0>
<2,0>
<0,0>
<0,0>
<1,0>
<1,0>
<2,1>
<2,0>
<2,1>
<0,0>
<0,1>
<1,0>
<1,1>
幺元是〈0,1〉。
5.11设代数系统V=,其中A={1,2,5,10},x,yA有x·y=x与y的最大公约数,x*y=x与y的最小公倍数,Δx=10/x.给出关于·、*和Δ运算的运算表.
解:
·
1
2
5
10
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
5
1
1
5
5
10
1
2
5
10
*
1
2
5
10
1
1
2
5
10
2
2
2
10
10
5
5
10
5
10
10
10
10
10
10
Δ
Δ(a)
1
10
2
5
5
2
10
1
5.12设v
= >是代数系统,其中R*为非零实数的集合,分别对下述小题讨论。 运算是否可交换、可结合,并求幺元和所有可逆元素的逆元。 a,b∈R*,a。 b=a/b; 解: ∵a。 b=a/b,而b。 a=b/a≠a。 b∴不可交换; 又∵(a。 b)。 c=a/bc而a。 (b。 c)=ac/b≠(a。 b)。 c∴不可结合; ∵a∈R*有a。 1=a但1。 a≠a,∴只有右幺元1,无左幺元,也无幺元。 由于此代数系统无幺元,所以无逆元。 5.13设V=<A,*>为代数系统,其中A={0,1,2,3,4}."a,bA,a*b=(ab)mod5. (1)列出*的运算表. (2)*是否有零元和幺元? 若有幺元,请求出所有的可逆元素的逆元. 解: (1) *01234 000000 101234 202413 303142 404321 (2)有零元0和幺元1,所有可逆元素是1,2,3,4。 1的逆元是1,3的逆元是2,2的逆元是3,4的逆元是4。 5.14设A={1,2},V=,其中°表示函数的合成。 试给出V的运算表,并求出V的幺元和所有可逆元素的逆元。 解: Aª: f1={<1,1>,<1,2>};f2={<2,1>,<2,2>};f3={<1,1>,<2,2>};f4={<1,2>,<2,1>} 运算表: °f1f2f3f4 f1{<1,1>,<1,2>}{<2,1>,<2,2>}{<1,1>,<1,2>}{<2,1>,<2,2>} f2{<1,1>,<1,2>}{<2,1>,<2,2>}{<2,1>,<2,2>}{<1,1>,<1,2>} f3{<1,1>,<1,2>}{<2,1>,<2,2>}{<1,1>,<2,2>}{<1,2>,<2,1>} f4{<1,2>,<1,1>}{<2,1>,<2,2>}{<1,2>,<2,1>}{<1,2>,<2,1>} 幺元: f3逆元: f3f3 由于 的元素定义错了(这些f不全是函数)所以整个题都做错了。 正确答案如下: 设f1={<1,1>,<2,1>};f2={<1,1>,<2,2>};f3={<1,2>,<2,1>};f4={<1,2>,<2,2>} 运算表: °f1f2f3f4 f1{<1,1>,<2,1>}{<1,1>,<2,1>}{<1,1>,<2,1>}{<1,1>,<2,1>} f2{<1,1>,<2,1>}{<1,1>,<2,2>}{<1,2>,<2,1>}{<1,2>,<2,2>} f3{<1,2>,<2,2>}{<1,2>,<2,1>}{<1,1>,<2,2>}{<1,1>,<2,1>} f4{<1,2>,<2,2>}{<1,2>,<2,2>}{<1,2>,<2,2>}{<1,2>,<2,2>} 即: °f1f2f3f4 f1f1f1f1f1 f2f1f2f3f4 f3f4f3f2f1 f4f4f4f4f4 由表可知: 对任意的i(i=1,2,3,4),都有f2ofi=fiof2=fi,所以f2是么元。 由表可知f2的逆元是f2,f3的逆元是f3。 5.15设A={x|x€R∧≠0,1}。 在A上定义6个函数如下: f1(x)=x,f2(x)=1/x,f3(x)=1-x,f4(x)=1/(1-x),f5(x)=(x-1)/x,f6(x)=x/(x-1).V= (1)给出V的运算表。 (2)说明V的幺元和所有可逆元素的逆元。 解: (1) 0f1f2f3f4f5f6 f1x1/x1-x1/(1-x)(x-1)/xx/(x-1) f21/xx1/(1-x)1-xx/(x-1)(x-1)/x f31-x(x-1)/xxx/(x-1)1/x1/(1-x) f41/(1-x)x/(x-1)1/x(x-1)/xx1-x f5(x-1)/x1-xx/(x-1)x1/(1-x)1/x f6x/(x-1)1/(1-x)(x-1)/x1/x1-xx 既: 0f1f2f3f4f5f6 f1f1f2f3f4f5f6 f2f2f1f4f3f6f5 f3f3f5f1f6f2f4 f4f4f6f2f5f1f3 f5f5f3f6f1f4f2 f6f6f4f5f2f3f1 (2) V的幺元f1 f1的逆元f1 f2的逆元f2 f3的逆元f3 f4的逆元f5 f5的逆元f4 f6的逆元f6 尽管人智慧有其局限,爱智慧却并不因此就属于徒劳。 智慧果实似乎是否定性: 理论上——“我知道我一无所知”;实践上——“我需要我一无所需”。 然而,达到了这个境界,在谦虚和淡泊哲人胸中,智慧痛苦和快乐业已消融为了一种和谐宁静了,其中S={f1,f2,…,f6},°为函数的合成。
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