届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ21函数及其表示学案理北师大版.docx
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届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ21函数及其表示学案理北师大版
§2.1 函数及其表示
最新考纲
考情考向分析
1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).
以基本初等函数为载体,考查函数的表示法、定义域;分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点,题型既有选择、填空题,又有解答题,中等偏上难度.
1.函数与映射
函数
映射
两个集合A,B
设A,B是两个非空数集
设A,B是两个非空集合
对应关系f:
A→B
如果按照某个对应关系f,使对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y与之对应
名称
称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数
称f:
A→B为从集合A到集合B的一个映射
函数记法
函数y=f(x),x∈A
映射:
f:
A→B
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域;与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.
(2)函数的三要素:
定义域、对应关系和值域.
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.
3.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
知识拓展
简单函数定义域的类型
(1)f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数集合;
(2)f(x)为偶次根式型函数时,定义域为使被开方式非负的实数的集合;
(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合;
(4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0};
(5)指数函数的底数大于0且不等于1;
(6)正切函数y=tanx的定义域为
.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于函数f:
A→B,其值域就是集合B.( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( × )
(3)函数f(x)的图像与直线x=1最多有一个交点.( √ )
(4)若A=R,B={x|x>0},f:
x→y=|x|,其对应是从A到B的映射.( × )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × )
题组二 教材改编
2.函数f(x)=
+log2(6-x)的定义域是________.
答案 [-3,6)
3.函数y=f(x)的图像如图所示,那么,f(x)的定义域是________;值域是________;其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________.
答案 [-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
题组三 易错自纠
4.(2017·湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)已知f(x)=
若f(a)=2,则a的值为( )
A.2B.-1或2
C.±1或2D.1或2
答案 B
解析 当a≥0时,2a-2=2,解得a=2;
当a<0时,-a2+3=2,解得a=-1.
综上,a的值为-1或2.故选B.
5.已知函数f(x)=x|x|,若f(x0)=4,则x0的值为______.
答案 2
解析 当x≥0时,f(x)=x2,f(x0)=4,
即x
=4,解得x0=2.
当x<0时,f(x)=-x2,f(x0)=4,
即-x
=4,无解,所以x0=2.
6.已知函数f(x)=ax3-2x的图像过点(-1,4),则a=________.
答案 -2
解析 由题意知点(-1,4)在函数f(x)=ax3-2x的图像上,所以4=-a+2,则a=-2.
题型一 函数的概念
1.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图像可能是( )
答案 B
解析 A中函数的定义域不是[-2,2],C中图像不表示函数,D中函数值域不是[0,2],故选B.
2.有以下判断:
①f(x)=
与g(x)=
表示同一函数;
②f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数;
③若f(x)=|x-1|-|x|,则f
=0.
其中正确判断的序号是________.
答案 ②
解析 对于①,由于函数f(x)=
的定义域为{x|x∈R且x≠0},而函数g(x)=
的定义域是R,所以二者不是同一函数,故①不正确;对于②,f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同,所以f(x)和g(t)表示同一函数,故②正确;
对于③,由于f
=
-
=0,
所以f
=f(0)=1,故③不正确.
综上可知,正确的判断是②.
思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定;判断两个函数的对应关系是否相同,只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应关系算出的函数值是否相同.
题型二 函数的定义域问题
命题点1 求函数的定义域
典例
(1)函数f(x)=
ln
+
的定义域为( )
A.(-∞,-4]∪[2,+∞)B.(-4,0)∪(0,1)
C.[-4,0)∪(0,1)D.[-4,0)∪(0,1]
答案 C
解析 由
解得-4≤x<0或0<x<1,故函数f(x)的定义域为[-4,0)∪(0,1),故选C.
(2)若函数y=f(x)的定义域是[0,2018],则函数g(x)=
的定义域是( )
A.[-1,2017]B.[-1,1)∪(1,2017]
C.[0,2018]D.[-1,1)∪(1,2018]
答案 B
解析 使函数f(x+1)有意义,则0≤x+1≤2018,解得-1≤x≤2017,故函数f(x+1)的定义域为[-1,2017].所以函数g(x)有意义的条件是
解得-1≤x<1或1<x≤2017.故函数g(x)的定义域为[-1,1)∪(1,2017].
引申探究
本例
(2)中,若将“函数y=f(x)的定义域为[0,2018]”,改为“函数f(x-1)的定义域为[0,2018],”则函数g(x)=
的定义域为________.
答案 [-2,1)∪(1,2016]
解析 由函数f(x-1)的定义域为[0,2018].
得函数y=f(x)的定义域为[-1,2017],
令
则-2≤x≤2016且x≠1.
所以函数g(x)的定义域为[-2,1)∪(1,2016].
命题点2 已知函数的定义域求参数范围
典例
(1)(2018·衡水联考)若函数y=
的定义域为R,则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
(2)若函数f(x)=
的定义域为{x|1≤x≤2},则a+b的值为________.
答案
(1)D
(2)-
解析
(1)要使函数的定义域为R,则mx2+4mx+3≠0恒成立,
①当m=0时,显然满足条件;
②当m≠0时,由Δ=(4m)2-4m×3<0,
得0<m<
,
由①②得0≤m<
.
(2)函数f(x)的定义域是不等式ax2+abx+b≥0的解集.不等式ax2+abx+b≥0的解集为{x|1≤x≤2},
所以
解得
所以a+b=-
-3=-
.
思维升华
(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题,可借助于数轴,注意端点值的取舍.
(2)求抽象函数的定义域:
①若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a ②若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定义域. (3)已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式,然后求解. 跟踪训练 (1)(2017·江西九江七校联考)函数y= 的定义域是( ) A.(-1,3)B.(-1,3] C.(-1,0)∪(0,3)D.(-1,0)∪(0,3] 答案 D 解析 由题意得 解得-1<x≤3且x≠0, ∴函数的定义域为(-1,0)∪(0,3]. (2)若函数y= 的定义域为R,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 由ax2-4ax+2>0恒成立, 得a=0或 解得0≤a< . (3)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[- , ],则函数y=f(x)的定义域为________. 答案 [-1,2] 解析 ∵y=f(x2-1)的定义域为[- , ], ∴x∈[- , ],x2-1∈[-1,2], ∴y=f(x)的定义域为[-1,2]. 题型三 求函数解析式 1.已知f =x2+x-2,则f(x)=________. 答案 x2-2(x≥2或x≤-2) 解析 ∵f = 2-2, 又 x+ ≥2, ∴f(x)=x2-2(x≥2或x≤-2). 2.已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=________. 答案 x2- x+2 解析 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由f(0)=2,得c=2, f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=x-1, 即2ax+a+b=x-1, ∴ 即 ∴f(x)= x2- x+2. 3.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f · -1,则f(x)=________. 答案 + (x>0) 解析 在f(x)=2f · -1中, 将x换成 ,则 换成x, 得f =2f(x)· -1, 由 解得f(x)= + . 思维升华函数解析式的求法 (1)待定系数法: 若已知函数的类型,可用待定系数法; (2)换元法: 已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; (3)配凑法: 由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式; (4)消去法: 已知f(x)与f 或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 题型四 分段函数 命题点1 求分段函数的函数值 典例已知f(x)= 则f +f 的值为( ) A. B.- C.-1D.1 答案 D 解析 f +f =f +f +1 =cos +cos +1=1. 命题点2 分段函数与方程、不等式问题 典例 (1)(2018届东莞外国语学校月考)已知函数f(x)= 且f(a)=-3,则f(6-a)等于( ) A.- B.- C.- D.- 答案 A 解析 函数f(x)= 且f(a)=-3, 若a≤1,则2a-1-2=-3,即有2a-1=-1<0,方程无解; 若a>1,则-log2(a+1)=-3,解得a=7, 则f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=- . (2)(2017·广东汕头、河北石家庄二中联考)设函数f(x)= g(x)为定义在R上的奇函数,且当x<0
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- 高考 数学 一轮 复习 第二 函数 概念 基本 初等 21 及其 表示 学案理 北师大