最新《整式的乘除与因式分解》易错题.docx
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最新《整式的乘除与因式分解》易错题
《整式的乘除因式分解》易错题分析
整式的乘除
例1、(﹣a)3(﹣a)2(﹣a5)=( )
A、a10B、﹣a10
C、a30D、﹣a30
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加求解即可.
解答:
解:
(﹣a)3(﹣a)2(﹣a5)=(﹣a3)•a2(﹣a5)=a3+2+5=a10.
故选A.
点评:
本题主要利用同底数幂的乘法的性质求解,符号的运算是容易出错的地方.
例2、已知a=8131,b=2741,c=961,则a,b,c的大小关系是( )
A、a>b>cB、a>c>b
C、a<b<cD、b>c>a
考点:
幂的乘方与积的乘方。
分析:
先把81,27,9转化为底数为3的幂,再根据幂的的乘方,底数不变,指数相乘化简.然后根据指数的大小即可比较大小.
解答:
解:
∵a=813=(34)31=3124
b=2741=(33)41=3123;
c=961=(32)61=3122.
则a>b>c.
故选A.
点评:
变形为同底数幂的形式,再比较大小,可使计算简便.
例3、下列四个算式中正确的算式有( )
①(a4)4=a4+4=a8;②[(b2)2]2=b2×2×2=b8;③[(﹣x)3]2=(﹣x)6=x6;④(﹣y2)3=y6.
A、0个B、1个
C、2个D、3个
考点:
幂的乘方与积的乘方。
分析:
根据幂的乘方,底数不变指数相乘的性质计算即可.(am)n=amn.
解答:
解:
①应为(a4)4=a4×4=a16,故不对;
②[(b2)2]2=b2×2×2=b8,正确;
③[(﹣x)3]2=(﹣x)6=x6,正确;
④应为(﹣y2)3=﹣y6,故不对.
所以②③两项正确.
故选C.
点评:
本题考查了幂的乘方的运算法则.应注意运算过程中的符号.
例4、(2004•宿迁)下列计算正确的是( )
A、x2+2x2=3x4B、a3•(﹣2a2)=﹣2a5
C、(﹣2x2)3=﹣6x6D、3a•(﹣b)2=﹣3ab2
考点:
单项式乘单项式;合并同类项;幂的乘方与积的乘方。
分析:
把四个式子展开,比较计算结果即可.
解答:
解:
A、应为x2+2x2=3x2;
B、a3•(﹣2a2)=﹣2a5,正确;
C、应为(﹣2x2)3=﹣8x6;
D、应为3a•(﹣b)2=3ab2.
故选B.
点评:
本题考查了合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式的乘法的法则,需熟练掌握且区分清楚,才不容易出错.
例5、如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项,则m的值为( )
A、﹣3B、3
C、0D、1
考点:
多项式乘多项式。
分析:
先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积,并且把m看作常数合并关于x的同类项,令x的系数为0,得出关于m的方程,求出m的值.
解答:
解:
∵(x+m)(x+3)=x2+3x+mx+3m=x2+(3+m)x+3m,
又∵乘积中不含x的一次项,
∴3+m=0,
解得m=﹣3.
故选A.
点评:
本题主要考查了多项式乘多项式的运算,根据乘积中不含哪一项,则哪一项的系数等于0列式是解题的关键.
例6、计算x5•x3•x2= x10 .
考点:
同底数幂的乘法。
分析:
根据同底数幂的乘法,同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
解答:
解:
x5•x3•x2=x5+3+2=x10.
点评:
本题主要考查同底数幂的乘法的性质,熟练掌握性质是解题的关键.
例7、计算:
(a3)2+a5的结果是 a6+a5 .
考点:
幂的乘方与积的乘方。
分析:
根据幂的乘方,底数不变指数相乘计算即可.
解答:
解:
(a3)2+a5=a3×2+a5=a6+a5.
点评:
本题考查了幂的乘方的性质,熟练掌握运算性质是解题的关键,要注意不是同类项的不能合并.
例8、已知a3n=4,则a6n= 16 .
考点:
幂的乘方与积的乘方。
分析:
运用幂的乘方的逆运算,把a6n转化为(a3n)2,再把a3n=4,整体代入求值.
解答:
解:
∵a3n=4,
∴a6n=(a3n)2=42=16.
点评:
本题考查幂的乘方的性质,灵活运用幂的乘方(an)m=amn进行计算.
例9、已知:
2x=4y+1,27y=3x﹣1,则x﹣y= 3 .
考点:
幂的乘方与积的乘方。
分析:
在同底数幂的运算中,当底数相等且结果相等时,其幂也相等.本题利用此知识点,借助底数幂的运算法则,进行运算,得到结果.
解答:
解:
∵2x=4y+1
∴2x=2(2y+2)
∴x=2y+2①
又∵27x=3x﹣1∴33y=3x﹣1
∴3y=x﹣1②
解①②组成的方程组得
∴x﹣y=3.
点评:
本题主要考查幂的乘方的性质的逆用:
amn=(am)n(a≠0,m,n为正整数).
例10、计算:
(1)(2a﹣b)(b+2a)﹣(3a+b)2= ﹣5a2﹣6ab﹣2b2 ;
(2)
= 3 ;
(3)简便方法计算:
(﹣0.25)2009×42010= ﹣4 .
考点:
单项式乘单项式。
分析:
(1)首先运用平方差公式和完全平方公式计算多项式的乘法和平方,再计算整式的加减运算;
(2)首先运用负整数指数幂、零指数幂的意义计算乘方,再进行加减运算;
(3)首先将42010改写成42009×4,然后逆用积的乘方的运算性质,计算(﹣0.25)2009×42009,即可得出结果.
解答:
解:
(1)原式=4a2﹣b2﹣(9a2+6ab+b2)
=4a2﹣b2﹣9a2﹣6ab﹣b2
=﹣5a2﹣6ab﹣2b2;
(2)原式=4﹣1=3;
(3)原式=(﹣0.25)2009×42009×4=(﹣0.25×4)2009×4=﹣1×4=﹣4.
点评:
本题主要考查了整式及有理数的混合运算.首先确定运算顺序,然后根据运算法则计算.
乘法公式使用
例1、x2+ax+144是完全平方式,那么a=( )
A、12B、24
C、±12D、±24
考点:
完全平方式。
分析:
先根据平方项确定出这两个数是x和12,再根据完全平方式:
(a±b)2=a2±2ab+b2表示出乘积二倍项,然后求解即可.
解答:
解:
∵两平方项是x2和144,
∴这两个数是x与12,
∴ax=±2×12•x,
∴解得a=±24.
故选D.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.此题解题的关键是利用平方项确定出这两个数.
例2、下列计算中:
①x(2x2﹣x+1)=2x3﹣x2+1;②(a+b)2=a2+b2;③(x﹣4)2=x2﹣4x+16;④(5a﹣1)(﹣5a﹣1)=25a2﹣1;⑤(﹣a﹣b)2=a2+2ab+b2,正确的个数有( )
A、1个B、2个
C、3个D、4个
考点:
平方差公式;完全平方公式。
分析:
根据单项式乘多项式,应用单项式去乘多项式的每一项;完全平方公式展开应是三项;(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2;按照相应的方法计算即可.
解答:
解:
①应为x(2x2﹣x+1)=2x3﹣x2+x,故不对;
②应为(a+b)2=a2+2ab+b2,故不对;
③应为(x﹣4)2=x2﹣8x+16,故不对;
④应为(5a﹣1)(﹣5a﹣1)=1﹣25a2,故不对;
⑤(﹣a﹣b)2=a2+2ab+b2,正确.
故选A.
点评:
此题主要考查了整式乘法,平方差公式及完全平方公式的运用.
例3、计算(a﹣b)(a+b)(a2+b2)(a4﹣b4)的结果是( )
A、a8+2a4b4+b8B、a8﹣2a4b4+b8
C、a8+b8D、a8﹣b8
考点:
平方差公式;完全平方公式。
分析:
这几个式子中,先把前两个式子相乘,这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数.相乘时符合平方差公式得到a2﹣b2,再把这个式子与a2+b2相乘又符合平方差公式,得到a4﹣b4,与最后一个因式相乘,可以用完全平方公式计算.
解答:
解:
(a﹣b)(a+b)(a2+b2)(a4﹣b4),
=(a2﹣b2)(a2+b2)(a4﹣b4),
=(a4﹣b4)2,
=a8﹣2a4b4+b8.
故选B.
点评:
本题主要考查了平方差公式的运用,本题难点在于连续运用平方差公式后再利用完全平方公式求解.
例4已知x+y=4,且x﹣y=10,则2xy= ﹣42 .
考点:
完全平方公式。
专题:
计算题。
分析:
把原题中两个式子平方后相减,即可求出xy的值.
解答:
解:
∵x+y=4,且x﹣y=10
∴(x+y)2=16,(x﹣y)2=100
即x2+2xy+y2=16①,x2﹣2xy+y2=100②
①﹣②得:
4xy=﹣84
所以2xy=﹣42.
点评:
本题主要考查完全平方公式两公式的联系,两公式相减即可消去平方项,得到乘积二倍项,熟记公式结构是解题的关键.
解得k=±1.
例5、已知a﹣b=3,a2﹣b2=9,则a= 3 ,b= 0 .
考点:
平方差公式。
分析:
先根据a﹣b=3和a2﹣b2=9,利用平方差公式求出a+b=3,再联立方程组
,解方程组即可.
解答:
解:
∵a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)=9,
∴a+b=3,
联立方程组
,
解得:
a=3,b=0.
点评:
本题考查了平方差公式,主要是对平方差公式的灵活应用,也考查了对二元一次方程组的解法.
因式分解
例1.a²-6a+9
错解:
a²-6a+9
=a²-2×3×a+3²
=(a+3)²
分析:
完全平方公式括号里的符号根据2倍多项式的符号来定
正解:
a²-6a+9
=a²-2×3×a+3²
=(a-3)²
例2.4m²+n²-4mn
错解:
4m²+n²-4mn
=(2m+n)²
分析:
要先将位置调换,才能再利用完全平方公式
正解:
4m²+n²-4mn
=4m²-4mn+n²
=(2m)²-2×2mn+n²
=(2m-n)²
例3.(a+2b)²-10(a+2b)+25
错解:
(a+2b)²-10(a+2b)+25
=(a+2b)²-10(a+2b)+5²
=(a+2b+5)²
分析:
要把a+2b看成一个整体,再运用完全平方公式
正解:
(a+2b)²-10(a+2b)+25
=(a+2b)²-2×5×(a+2b)+5²
=(a+2b-5)²
例4.2x²-32
错解:
2x²-32
=2(x²-16)
分析:
要先提取2,在运用平方差公式括号里能继续分解的要继续分解
正解:
2x²-32
=2(x-16)
=2(x²+4)(x²-4)
=2(x²+4)(x+2)(x-2)
例5.(x²-x)²-(x-1)²
错解:
(x²-x)²-(x-1)²
=[(x²-x)+(x-1)][(x²-x)-(x-1)]
=(x²-x+x-1)(x²-x-x-1)
=(x²-1)(x²-2x-1)
分析:
做题前仔细分析题目,看有没有公式,此题运用平方差公式,去括号要变号,括号里能继续分解的要继续分解
正解:
(x²-x)²-(x-1)²
=[(x²-x)+(x-1)][(x²-x)-(x-1)]
=(x²-x+x-1)(x²-x-x-1)
=(x²-1)(x²-2x+1)
=(x+1)(x-1)³
例6.-2a²b²+ab³+a³b
错解:
-2a²b²+ab³+a³b
=-ab(-2ab+b²+a²)
=-ab(a-b)²
分析:
先提公因式才能再用完全平方公式
正解:
-2a²b²+ab³+a³b
=-(2a²b²-ab³-a³b)
=-(ab×2ab-ab×b²-ab×a²)
=-ab(2ab-b²-a²)
=ab(b²+a²-2ab)
=ab(a-b)²
例7.24a(a-b)²-18(a-b)³
错解:
24a(a-b)²-18(a-b)³
=(a-b)²[24a-18(a-b)]
=(a-b)²(24a-18a+18b)
分析:
把a-b看做一个整体再继续分解
正解:
24a(a-b)²-18a-b)
=6(a-b)²×4a-6(a-b)²×3(a-b)
=6(a-b)²[4a-3(a-b)]
=6(a-b)²(4a-3a+3b)
=6(a-b)²(a+3b)
例8.(x-1)(x-3)+1
错解:
(x-1)(x-3)+1
=x²+4x+3+1
=x²+4x+4
=(x+2)²
分析:
无法直接分解时,可先乘开再分解
正解:
(x-1)(x-3)+1
=x²-4x+3+1
=x²-4x+4
=(x-2)²
例9.2(a-b)³+8(b-a)
错解:
2(a-b)³+8(b-a)
=2(b-a)³+8(b-a)
=2(b-a)[(b-a)²+4]
分析:
要先找出公因式再进行因式分解
正解:
2(a-b)³+8(b-a)
=2(a-b)³-8(a-b)
=2(a-b)×(a-b)²-2(a-b)
=2(a-b)[(a-b)²-4]
=2(a-b)(a-b+2)(a-b-2)
例10.(x+y)²-4(x+y-1)
错解:
(x+y)²-4(x+y-1)
=(x+y)²-(4x-4y+4)
=(x²+2xy+y²)-(4x-4y+4)
分析:
无法直接分解时,要仔细观察,找出特点,再进行分解
正解:
(x+y)²-4(x+y-1)
=(x+y)²-4(x+y)+4
=(x+y-2)
1.对于任何整数m,多项式(4m+5)2-9都能()
A.被8整除B.被m整除
C.被(m-1)整除D.被(2m-1)整除
思路解析:
因为(4m+5)2-9=(4m+5+3)(4m+5-3)=(4m+8)(4m+2)=8(m+2)(2m+1),所以(4m+5)2-9都能被8整除.
答案:
A
2.满足m2+n2+2m-6n+10=0的是()
A.m=1,n=3B.m=1,n=-3
C.m=-1,n=3D.m=-1,n=-3
思路解析:
m2+n2+2m-6n+10=(m+1)2+(n-3)2=0,所以m=-1,n=3.
答案:
C
3.已知正方形的面积是9x2+6xy+y2(x>0,y>0),则该正方形的边长为____________.
思路解析:
把9x2+6xy+y2分解因式可得9x2+6xy+y2=(3x+y)2.
答案:
3x+y
4.若x2+mx+n是一个完全平方式,则m,n的关系是_______.
思路解析:
若x2+mx+n是一个完全平方式,则常数项n等于一次项系数m的一半的平方.
答案:
m2=4n
5.已知a-2=b+c,则代数式a(a-b-c)-b(a-b-c)+c(b-a+c)的值是_______.
思路解析:
因为a-2=b+c,所以a-b-c=2,所以原式=a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)=a(a-b-c)-b(a-b-c)-c(a-b-c)=(a-b-c)2=4.
答案:
4
6.已知x,y满足x2+4xy+4y2-x-2y+
=0,则x+2y的值为_______.
思路解析:
x2+4xy+4y2-x-2y+
=(x+2y)2-(x+2y)+
=(x+2y-
)2,由非负数性质可得x+2y=
.
答案:
7.当x_______取时,多项式x2+4x+6取得最小值是_______.
思路解析:
因为x2+4x+6=(x+2)2+2,且(x+2)2≥0,所以当x=-2时,(x+2)2+2有最小值为2.
答案:
-22
14.观察下列各式x2-1=(x-1)(x+1),x3-1=(x-1)(x2+x+1),x4-1=(x-1)(x3+x2+x+1),根据前面各式的规律可猜想xn+1-1=_____________.
思路解析:
观察特点,找出其内在的规律.
答案:
(x-1)(xn+xn-1+…+x+1)
8.利用分解因式求值.
(1)已知x+y=1,xy=-
利用因式分解求x(x+y)(x-y)-x(x+y)2的值;
(2)已知a+b=2,ab=2,求
a3b+a2b2+
ab3的值
(3)(m2-m)2+
(m2-m)+
.
思路分析:
对于
(1),可将x(x+y)(x-y)-x(x+y)2提取公因式x(x+y);对于
(2),先提取公因式
ab,再运用公式法分解.
解:
(1)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]=-2xy(x+y)=1;
(2)原式=
ab(a+b)2=4.(3)(m2-m)2+
(m2-m)+
=(m-
)4
9.利用分解因式计算.
(1)
×19
×15;
(2)
.
思路分析:
对于
(1),可提取公因式
;对于
(2),可对分子、分母采取分步分解的方法进行化简计算.
解:
(1)
×19
×15=
×(19+15)=-26;
(2)
10.n为整数,试说明(n+5)2-(n-1)2的值一定能被12整除.
思路分析:
要证明(n+5)2-(n-1)2的值能被12整除,只要将此式分解因式,使12成为其中的一个因式即可.
解:
(n+5)2-(n-1)2=[(n+5)+(n-1)][(n+5)-(n-1)]=(2n+4)×6=2(n+2)×6=12(n+2),
因为n为整数,所以n+2也为整数,故12(n+2)能被12整除,即(n+5)2-(n-1)2的值一定能被12整除.
11.在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2(x-1)(x-9),而乙同学因看错了常数项而将其分解为2(x-2)(x-4),请你将此二次三项式进行正确的因式分解.
思路分析:
解答此类问题的基本思路是“将错就错”,找出在错误的答案下,依然正确的条件,运用整式乘法与因式分解的关系进行求解.
解:
2(x-1)(x-9)=2x2-20x+18,2(x-2)(x-4)=2x2-12x+16,因为甲同学看错了一次项系数,但没有看错常数项,乙同学看错了常数项但没有看错一次项系数,所以原多项式为2x2-12x+18.分解因式得2x2-12x+18=2(x2-6x+9)=2(x-3)2.
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数学考试答题技巧
一、答题原则
大家拿到考卷后,先看是不是本科考试的试卷,再清点试卷页码是否齐全,检查试卷有无破损或漏印、重印、字迹模糊不清等情况。
如果发
答题时,一般遵循如下原则:
1.从前向后,先易后难。
通常试题的难易分布是按每一类题型从前向后,由易到难。
因此,解题顺序也宜按试卷题号从小到大,从前至后依
次解答。
当然,有时但也不能机械地按部就班。
中间有难题出现时,可先跳过去,到最后攻它或放弃它。
先把容易得到的分数拿到手,不要
“一条胡同走到黑”,总的原则是先易后难,先选择、填空题,后解答题。
2.规范答题,分分计较。
数学分I、II卷,第I卷客观性试题,用计算机阅读,一要严格按规定涂卡,二要认真选择答案。
第II卷为主观性试
题,一般情况下,除填空题外,大多解答题一题设若干小题,通常独立给分。
解答时要分步骤(层次)解答,争取步步得分。
解题中遇到困
难时,能做几步做几步,一分一分地争取,也可以跳过某一小题直接做下一小题。
3.得分优先、随机应变。
在答题时掌握的基本原则是“熟题细做,生题慢做”,保证能得分的地方绝不丢分,不易得分的地方争取得分,但
是要防止被难题耗时过多而影响总分。
4.填充实地,不留空白。
考试阅卷是连续性的流水作业,如果你在试卷上留下的空白太多,会给阅卷老师留下不好印象,会认为你确实不行
。
另外每道题都有若干采分点,触到采分点便可给分,未能触到采分点也没有倒扣分的规定。
因此只要时间允许,应尽量把试题提问下面的
空白处写上相应的公式或定理等有关结论。
5.观点正确,理性答卷。
不能因为答题过于求新,结果造成观点错误,逻辑不严密;或在试卷上即兴发挥,涂写与试卷内容无关的字画,可
能会给自己带来意想不到的损失。
胡乱涂写可以认为是在试卷上做记号,而判作弊。
因此,要理性答卷。
6.字迹清晰,合理规划。
这对任何一科考试都很重要,尤其是对“精确度”较高的数理化,若字迹不清无法辨认极易造成阅卷老师的误判,
如填空题填写带圈的序号、数字等,如不清晰就可能使本来正确的失了分。
另外,卷面答题书写的位置和大小要计划好,尽量让卷面安排做
到“前紧后松”而不是“前松后紧”。
特别注意只能在规定位置答题,转页答题不予计分。
二、审题要点
审题包括浏览全卷和细读试题两个方面。
一是开考前浏览。
开考前5分钟开始发卷,大家利用发卷至开始答题这段有限的时间,通过答前浏览对全卷有大致的了解,初步估算试卷难度
和时间分配,据此统筹安排答题顺序,做到心中有数。
此时考生要做到“宠辱不惊”,也就是说,看到一道似曾相识的题时,心中不要窃喜
,而要提醒自己,“这道题做时不可轻敌,小心有什么陷阱,或者做的题目只是相似,稍微的不易觉察的改动都会引起答案的不同”。
碰到
一道从未见过,猛然没思路的题时,更不要受到干扰,相反,此时应开心,“我没做过,别人也没有。
这是我的机会。
”时刻提醒自己:
我
易人易,我不大意;我难人难,我不畏难。
二是答题过程中的仔细审题。
这是关键步骤,要求不漏题,看准题,弄清题意,了解题目所给条件和要求回答的问题。
不同的题型,考察不
同的能力,具有不同的解题方法和策略,评分方式也不同,对不同的题型,审题时侧重点有所不同。
1.选择题是所占比例较大(40%)的客观性试题,考察的内容具体,知识点多,“双基”与能力并重。
对选择题的审题,要搞清楚是选择正
确陈述还是选择错误陈述,采用特殊什么方法求解等。
2.填空题属于客观性试题。
一般是中档题,但是由于没有中间解题过程,也就没有过程分,稍微出现点错误就和一点不会做结果相同,“后
果严重”。
审题时注意题目考查的知识点、方法和此类问题的易错点等。
3.解答题在试卷中所占分数较多(74分),不仅需要解出结果还要列出解题过程。
解答这种题目时,审题显得极其重要。
只有了解题目提供
的条件和隐含信息,联想相关题型的通性通法,寻找和确定具体的解题方法和步骤,问题才能解决。
三、时间分配
近几年,随着高考数学试题中的应用问题越来越多,阅读量逐渐增加,科学地使用时间,是临场发挥的一项重要内容。
分配答题时间的基本
原则就是保证在能得分的地方绝不丢分,不易得分的地方争取得分。
在心目
中应有“分数时间比”的概念,花10分钟去做一道分值为12分的中档大题无疑比用10分钟去攻克1道分值为4分的中档填空题更有价值。
有效
地利用最好的答题时间段,通常各时间段内的答题效率是不同的,一般情况下,最后10分钟左右多数考生心理上会发生变化,影响正常答卷
。
特别是那些还没有答完试卷的考生会分心、产生急躁心理,这个时间段效率要低于其它时间段。
在试卷发下来后,通过浏览全卷,大致了解试题的类型、数量、分值和难度,熟悉“题情”,进而初步确定各题目相应的作答时间。
通常一
般水平的考生,解答选择题(12个)不能超过40分钟,填空题(4个)不能超过15分钟,留下的时间给解答题(6个)和验算。
当然这个时间
安排还要因人而异。
在解答过程中,要注意原来的时间安排,譬如,1道题目计划用3分钟,但3分钟过后一点眉目也没有,则可以暂时跳过这道题;但若已接近成
功,延长一点时间也是必要的。
需要说明的是,分配时间应服从于考试成功的目的,灵活掌握时间而不墨守最初安排。
时
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