高等数学公式 补充三角函数公式.docx
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高等数学公式补充三角函数公式
高等数学公式补充三角函数公式
此文档分为两部分:
高等数学公式(13页)和补充的三角函数公式(7页)。
声明:
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第一部分:
高等数学公式
导数公式:
基本积分表:
三角函数的有理式积分:
222212211cos12sinududxxtguuuxuux+==+-=+=, , , a
xxa
aactgx
xxtgx
xxx
ctgxx
tgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22='='⋅-='⋅='-='='2
22211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxx+-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==CaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222Ca
xxadxC
xaxaaxadxC
axaxaaxdxCa
xarctgaxadxC
ctgxxxdxC
tgxxxdxC
xctgxdxC
xtgxdx+=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222⎰⎰
⎰
⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-=
==-CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxIn
nxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222
222
020ππ
一些初等函数:
两个重要极限:
三角函数公式:
·诱导公式:
·和差角公式:
·和差化积公式:
·倍角公式:
·半角公式:
α
α
αααααααααααα
α
ααα
cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos12
2
cos12cos2cos12
sin-=
+=-+±=+=-=+-±
=+±=-±=ctgtg
2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos22cos2sinsin2
cos
2sin
2sinsinβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ
αβ
αβα-+=--+
=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβ
αββαβαβαβαctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg±⋅=±⋅±=±=±±=±1)
(1)(sinsincos)cos(sincoscossin)sin(x
x
arthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxx
xx
xx
x-+=-+±=++=+-=
=+=
-=
----11ln
21)
1ln(1ln(:
2
:
2:
22)双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim1sinlim0==+=∞→→ex
x
xxxxαααααααααα2333
3133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg--=-=-=α
ααααααααααααα222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg-=-=-=-=-==
·正弦定理:
RC
c
BbAa2sinsinsin===·余弦定理:
Cabbaccos2222-+=
·反三角函数性质:
arcctgxarctgxxx-=
-=
2
arccos2
arcsinπ
π
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
)
()
()()2()1()(0
)
()()
(!
)1()1(!
2)1()
(nkknnnnn
kkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv+++--++''-+
'+==---=-∑
值定理与导数应用:
拉格朗日值定理。
时,柯西值定理就是当柯西值定理:
拉格朗日值定理:
xxFfaFbFafbfabfafbf=''=
---'=-)(F)
()
()()()()())(()()(ξξξ
曲率:
.
1
;0.)
1(limMsMM:
.,13202a
KaKyydsdsKMMs
Ktgydxydss=='+''==∆∆='∆'∆∆∆=
=''+=→∆的圆:
半径为直线:
点的曲率:
弧长。
:
化量;点,切线斜率的倾角变点到从平均曲率:
其弧微分公式:
α
ααα
α
定积分的近似计算:
⎰⎰⎰----+++++++++-≈
++++-≈
+++-≈
b
a
nnnb
a
nnb
anyyyyyyyyn
a
bxfyyyynabxfyyyn
a
bxf)](4)
(2)[(3)(])(2
1
[)()()(1312420110110抛物线法:
梯形法:
矩形法:
定积分应用相关公式:
⎰⎰--==⋅=⋅=b
a
badttfabdxxfabykr
m
mkFA
pFs
FW)
(1)(1
2221均方根:
函数的平均值:
为引力系数引力:
水压力:
功:
空间解析几何和向量代数:
。
代表平行六面体的体积为锐角时,向量的混合积:
例:
线速度:
两向量之间的夹角:
是一个数量轴的夹角。
是向量在轴上的投影:
点的距离:
空间ααθθθϕϕ,cos)(][..sin,cos,,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(22
2
2
2
2
2
212121*********cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaak
ji
ba
cbbbaaababababababababaajajaajujzzyyxxMM
dz
y
xzyx
z
yx
z
y
x
zyx
z
yxzyxz
zyyxxzzyyxxuu
⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==
(马鞍面)双叶双曲面:
单叶双曲面:
、双曲面:
同号)
(、抛物面:
、椭球面:
二次曲面:
参数方程:
其空间直线的方程:
面的距离:
平面外任意一点到该平、截距世方程:
、一般方程:
其、点法式:
平面的方程:
1
1
3,,2221
1};,,{,1
30
2),,(},,,{0)()()(122
222222
22222
222
22220000002
220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪
⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++=
=++=+++==-+-+-c
zbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxpt
zznt
yymt
xxpnmstpzznyymxxCBAD
CzByAxdcz
byaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA
多元函数微分法及应用
z
yzxyxyxyxyxFFyz
FFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyy
v
dxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuux
v
vzxuuzxzyxvyxufzt
v
vztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzz
udyyudxxududyyzdxxzdz-
=∂∂-=∂∂=⋅
-∂∂
-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=
==∂∂⋅
∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=
, 隐函数+, , 隐函数隐函数的求导公式:
时,,当
:
多元复合函数的求导法全微分的近似计算:
全微分:
0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22
)
(),
(1),(),
(1),(),
(1),(),
(1),(),(0),,,(0),,,(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFv
Gu
GvF
u
F
vuGFJvuyxGvuyxFv
uvu∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩
⎨⎧== 隐函数方程组:
微分法在几何上的应用:
)
,(),,(),,(30
))(,,())(,,())(,,
(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0
),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()
()()
(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxy
xy
xxzxzzyzy-=
-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨
⎧====-'+-'+-''-=
'-='-⎪⎩
⎪
⎨⎧===、过此点的法线方程:
:
、过此点的切平面方程、过此点的法向量:
则:
上一点曲面则切向量若空间曲线方程为:
处的法平面方程:
在点处的切线方程:
在点空间曲线
ωψϕωψϕωψϕ方向导
数与梯度:
上的投影。
在是单位向量。
方向上的
为,其:
它与方向导数的关系是的梯度:
在一点函数的转角。
轴到方向为其的方向导数为:
沿任一方向在一点函数lyxflf
ljieeyxfl
fjy
fixfyxfyxpyxfzlxyf
xflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(∂∂∴⋅+⋅=⋅=∂∂∂∂+∂∂=
=∂∂+∂∂=∂∂=
ϕϕϕϕ
ϕ
多元函数的极值及其求法:
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=-<-⎩⎨⎧><>-===== 不确定时值时, 无极为极小值为极大值时,
则:
,令:
设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22
00002
0000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx
重积分及其应用:
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰++-=++=++==>===
=
==
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+==='
D
zD
yD
xzyxD
yD
xD
D
yD
x
D
DD
ayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyM
MydyxdyxxM
MxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf2
3
22
2
2
3
22
2
2
3
22
2
22D
2
2
)
(),()
(),()
(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),
(1),()sin,cos(),(σ
ρσ
ρσ
ρσρσρσ
ρσ
ρσ
ρσ
ρθ
θθ, , ,其:
的引力:
轴上质点平面)对平面薄片(位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量:
平面薄片的重心:
的面积曲面
柱面坐标和球面坐标:
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
ΩΩ+=+=+====
=
=
===⋅⋅⋅=⎪⎩
⎪⎨⎧=====⎪⎩⎪
⎨⎧===dv
yxIdvzxIdvzyIdv
xMdvzM
zdvyM
ydvxM
xdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfz
zryrxzyxrρρρρρρρϕθϕϕ
θθϕϕθϕθ
ϕϕθϕϕϕθϕθϕθθθθθθθπ
πθϕ)()()(1,1,1
sin),,(sin),,(),,(sinsincossinsincossin)
sin,cos(),,(,),,(),,(,sincos22222220
)
(0
2
2
2
, 转动惯量:
其 重心:
球面坐标:
其:
柱面坐标:
曲线积分:
⎩⎨
⎧==<'+'=≤≤⎩⎨
⎧==⎰
⎰)()()()()](),([),(),(,)
()(),(2
2tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL
ϕβαψϕψϕβαψϕβ
α
特殊情况:
则:
的参数方程为:
上连续,在设长的曲线积分):
第一类曲线积分(对弧
。
通常设的全微分,其:
才是二元函数时,=在:
二元函数的全微分求积注意方向相反!
减去对此奇点的积分,,应。
注意奇点,如=,且内具有一阶连续偏导数在,、是一个单连通区域;
、无关的条件:
平面上曲线积分与路径的面积:
时,得到,即:
当格林公式:
格林公式:
的方向角。
上积分起止点处切向量分别为
和,其系:
两类曲线积分之间的关,则:
的参数方程为设标的曲线积分):
第二类曲线积分(对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()coscos()}()](),([)()](),([{),(),()()(00
)
()
(00==+=
+∂∂∂∂∂∂∂∂-===∂∂-∂∂=-=+=∂∂-∂∂+=∂∂-∂∂+=+'+'=+⎩
⎨
⎧==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰yx
dyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxy
P
xQy
P
xQGyxQyxPGydx
xdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyP
xQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdt
tttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDL
DLDLL
L
L
βαβαψψϕϕψϕψϕβ
α
曲面积分:
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
++=++±=±=±=++++=ds
RQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdy
zyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzx
yz
xy
xy
DDDDyx)coscoscos(]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),
(1)],(,,[),,(2
2γβα系:
两类曲面积分之间的关号。
取曲面的右侧时取正
号;,取曲面的前侧时取正
号;,取曲面的上侧时取正
其:
对坐标的曲面积分:
对面积的曲面积分:
高斯公式:
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
∑
∑
∑
∑
∑
Ω
∑=++==⋅<∂∂+∂∂+∂∂=++=++=∂∂+∂∂+∂∂ds
AdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnn
div)coscoscos(...,0div,div)coscoscos()(
成:
因此,高斯公式又可写,通量:
则为消失的流体质量,若即:
单位体积内所产生散度:
—通量与散度:
—高斯公式的物理意义γβαννγβα
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Γ
Γ
∑
∑∑
Γ
⋅=++Γ∂∂
∂∂∂∂=
∂∂=
∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂
=∂∂∂∂∂∂++=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂ds
tARdzQdyPdxAR
QPzyxAyP
xQxRzPzQyRR
Q
P
zyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdxdyyP
xQdzdxxRzPdydzzQyR
的环流量:
沿有向闭曲线向量场旋度:
, 关的条件:
空间曲线积分与路径无上式左端又可写成:
k
jirotcoscoscos)()()(
γβ
α
常数项级数:
是发散的
调和级数:
等差数列:
等比数列:
n
nnnqqqqqnn1
312112
)1(3211111
2
+++++=
++++--=
++++-
级数审敛法:
散。
存在,则收敛;否则发、定义法:
时,不确定
时,级数发散
时,级数收敛
则设:
、比值审敛法:
时,不确定时,级数发散
时,级数收敛
则设:
别法):
—根植审敛法(柯西判—、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUu∞
→+∞→∞
→+++=⎪⎩⎪
⎨⎧=><=⎪⎩⎪
⎨⎧=><=lim;3111lim2111lim1211ρρρρρρρρ
。
的绝对值其余项,那么级数收敛且其和
如果交错级数满足—莱布尼兹定理:
—的审敛法或交错级数111
3214321,0lim)0,(+∞→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-nnnn
nnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛:
∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛
1时发散p
级数:
收敛;
级数:
收敛;
发散,而调和级数:
为条件收敛级数。
收敛,则称发散,而如果收敛级数;肯定收敛,且称为绝对收敛,则如果为任意实数;,其11
1
)1
(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupn
nnn
幂级数:
01
0)3(lim
)3(111
1111
221032=+∞=+∞
===
≠==><+++++≥-<++++++++∞→RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnn
nnnnn时,时,时,的系数,则是,,其求收敛半径的方法:
设称为收敛半径。
其时不定
时发散时收敛
使在数轴上都收敛,则必存收敛,也不是在全
如果它不是仅在原点 对于级数时,发散
时,收敛于
ρρρ
ρρ
函数展开成幂级数:
+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n
nnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!
)0(!
2)0()0()0()(00
lim)(,)()!
1()
()(!
)()(!
2)())(()()(2010)1(00)(2
0000时即为麦克劳林公式:
充要条件是:
可以展开成泰勒级数的余项:
函数展开成泰勒级数:
ξ一些函数展开成幂级数:
)
()!
12()1(!
5!
3sin)11(!
)1()1(!
2)1
(1)1(1
21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+
+=+--xnx
xxxxxxnnmmmxmmmxxnnn
m 欧拉公式:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin2cossincosixixix
ixixe
exeexxixe 或三角级数:
。
上的积分=在任意两个不同项的乘积正交性:
。
,,其,0],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1cossin)sincos
(2)sin()(00101
0ππωϕϕϕω-====++=++=∑∑∞
=∞=nxnxxxxxxtA
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