一元一次不等式深刻复习讲义.docx

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一元一次不等式深刻复习讲义

一元一次不等式与一元一次不等式组的解法

一.知识梳理

1.知识结构图

概念

基本性质

不等式的定义

不等式的解法

一元一次不等式

的解法

一元一次不等式组

的解法

不等式

实际应用

不等式的解集

（二）.知识点回顾

1．不等式

用不等号连接起来的式子叫做不等式．

常见的不等号有五种：

“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”．

2．不等式的解与解集

不等式的解：

使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

不等式的解集：

一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．

不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。

解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：

大向右，小向左。

说明：

不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．

3．不等式的基本性质（重点）

（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果

，那么

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．如果

，那么

（或

）

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．如果

那么

（或

）

说明：

常见不等式所表示的基本语言与含义还有：

①若a－b＞0，则a大于b；②若a－b＜0，则a小于b；③若a－b≥0，则a不小于b；④若a－b≤0，则a不大于b；⑤若ab＞0或

，则a、b同号；⑥若ab＜0或

，则a、b异号。

任意两个实数a、b的大小关系：

①a-b>O

a>b；②a-b=O

a=b；③a-b

a

不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：

但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c。

4．一元一次不等式（重点）

只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．

注：

其标准形式：

ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0（a≠0）．

5．解一元一次不等式的一般步骤（重难点）

（1）去分母；

（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化系数为1．

说明：

解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：

一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．

例：

6．一元一次不等式组

含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．

说明：

判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：

①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．

7．一元一次不等式组的解集

一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．

一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．

8.不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设a>b）（重难点）

不等式组

图示

解集

（同大取大）

（同小取小）

（大小交叉取中间）

无解（大小分离解为空）

9．解一元一次不等式组的步骤

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；

（2）利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．

（三）常见题型归纳和经典例题讲解

1.常见题型分类（加粗体例题需要作答）

定义类

1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（）

A.

+1>2B.x2>9C.2x+y≤5D.

（x－3）<0

2.若

是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为.

用不等式表示

a与6的和小于5；x与2的差小于－1；

数轴题

1.a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示：

用“＜”或“＞”号填空：

a__________b;|a|__________|b|;a+b__________0

a－b__________0;a+b__________a－b;ab__________a.

2.已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）

A、ab＞0B、

C、a－b＞0D、a＋b＞0

同等变换

1.与2x<6不同解的不等式是（）

A.2x+1<7B.4x<12C.－4x>－12D.－2x<－6

借助数轴解不等式（组）:

（这类试题在中考中很多见）

1.（2010湖北随州）解不等式组

2.（2010福建宁德）解不等式

≤1，并把它的解集在数轴上表示出来．

3.（2006年绵阳市）

此类试题易错知识辨析

（1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.

如不等式

（或

）（

）的形式的解集：

当

时，

（或

）

当

时，

（或

）

当

时，

（或

）

4若不等式（a＋1）x＞a＋1的解集是x＜1，则a必满足（）．

（A）a＜0（B）a＞－1（C）a＜－1（D）a＜1

5若m＞5，试用m表示出不等式（5－m）x＞1－m的解集______．

6.如果不等式（m－2）x>2－m的解集是x<－1,则有（）

A.m>2B.m<2C.m=2D.m≠2

7.如果不等式（a－3）x＜b的解集是x＜

，那么a的取值范围是________.

限制条件的解

1.不等式3（x－2）≤x+4的非负整数解有几个.（）

A.4B.5C.6D.无数个

2.不等式4x－

的最大的整数解为（）

A.1B.0C.－1D.不存在

含绝对值不等式

1.不等式|x|<

的整数解是________.不等式|x|<1的解集是________.

分类讨论

1.已知ax＜2a（a≠0）是关于x的不等式，那么它的解集是（）

A.x＜2B.x＞－2C.当a＞0时，x＜2D.当a＞0时，x＜2;当a＜0时，

x＞2

不等式的性质及应用

1.若x＋y＞x－y，y－x＞y，那么

（1）x＋y＞0，

（2）y－x＜0，（3）xy≤0,（4）

＜0中，正确结论的序号为________。

2（2010四川乐山）下列不等式变形正确的是（）

（A）由

＞

，得

＜

（B）由

＞

，得

＜

（C）由

＞

，得

＞

（D）由

＞

，得

＞

依据题意列不等式

1.当x_______时,代数式2x－5的值不大于0.

2.当x________时，代数式

的值是非负数.

3.当代数式

－3x的值大于10时，x的取值范围是________.

4.已知x的

与3的差小于x的－

与－6的和，根据这个条件列出不等式.你能估计出它的解集吗？

已知解集求范围

1.关于x的方程5－a（1－x）＝8x－（3－a）x的解是负数，则a的取值范围是（）

A、a＜－4B、a＞5C、a＞－5D、a＜－5

2.已知－4是不等式ax＞9的解集中的一个值，试求a的取值范围.

3.已知不等式

－1＞x与ax－6＞5x同解，试求a的值.

4.如果关于x的不等式－k－x＋6＞0的正整数解为1，2，3，正整数k应取怎样的值？

5.不等式a（x－1）>x+1－2a的解集是x<－1,请确定a是怎样的值.

6．已知关于x，y的方程组

的解满足x＞y，求p的取值范围．

7.若关于x的方程3x+2m=2的解是正数，则m的取值范围是（）

A.m>1B.m<1C.m≥1D.m≤1

字母不等式

1已知关于

的不等式2＜

的解集为

＜

，则

的取值范围是（）．

A．

＞0B.

＞1C.

＜0D.

＜1

2（2010山东泰安）若关于

的不等式

的整数解共有4个，则

的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

3关于x的方程

的解为正实数，则k的取值范围是．

4已知关于x，y的方程组

的解满足x＞y，求p的取值．

5若不等式组

有解，则k的取值范围是（）．

（A）k＜2（B）k≥2（C）k＜1（D）1≤k＜2

6等式组

的解集是x＞2，则m的取值范围是（）．

（A）m≤2（B）m≥2（C）m≤1（D）m≥1

7知（x－2）2＋｜2x－3y－a｜＝0，y是正数，则a的取值范围是______．

8k满足______时，方程组

中的x大于1，y小于1．

9若m、n为有理数，解关于x的不等式（－m2－1）x＞n．

10已知方程组

的解满足x＋y＜0，求m的取值范围．

强化练习题

1.当

时，求关于x的不等式

的解集．

2.当k取何值时，方程组

的解x，y都是负数．

3.已知

中的x，y满足0＜y－x＜1，求k的取值范围．

4.已知a是自然数，关于x的不等式组

的解集是x＞2，求a的值．

5.关于x的不等式组

的整数解共有5个，求a的取值范围．

6.k取哪些整数时，关于x的方程5x＋4＝16k－x的根大于2且小于10?

7.已知关于x，y的方程组

的解为正数，求m的取值范围．

8.若关于x的不等式组

只有4个整数解，求a的取值范围．

9.（2009年山东烟台）如果不等式组

的解集是

，那么

的值为．

10.（2009年湖北恩施）如果一元一次不等式组

的解集为

．则

的取值范围是（　）

A．

B．

C．

D．

11.（2009湖北荆门）若不等式组

有解，则a的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

12.（2009年湖北孝感）关于x的不等式组

的解集是

，则m=．

13.（2009年湖南长沙）已知关于x的不等式组

只有四个整数解，则实数

的取值范围是．