谈谈数学思维品质 从一道中考题答案说起.docx

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谈谈数学思维品质从一道中考题答案说起

谈谈数学思维品质——从一道中考题答案说起

数学思维教育是21世纪的核心，如何在数学教育活动中培养学生的数学思维品质已成为广大数学教师关注的问题。

思维素质教育是指培养学生的思维方式和思维能力的教育，简单地说，数学是一个解题过程，而如何解题，从哪一方面想，为什么这样想，则是思维素质教育问题。

一个人想学好数学，除了要有坚实的数学基础知识之外，更加不可以缺少优秀的思维品质。

因此，如何在数学教学中培养学生良好的思维品质将是学生学好数学的关键所在。

下面，我将从一道中考题的答案说起。

（2015）24.（本小题满分10分）

如图13-1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上，修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道的宽为a米.

（1）用含a的式子表示花圃的面积；

（2）

图13-1

如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的

，求此时甬道的宽；

（3）

已知某园林公司修建甬道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图13-2所示.如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的甬道宽不少于2米且不超过10米，那么甬道宽为多少米时，修建的甬道和花圃的总造价最低？

最低总造价为多少元？

个人认为，此题是一道优秀的试题，试题背景材料符合生活实际情况，能考查学生利用函数模型与思想解决实际问题的能力，遗憾的是第（3）小题的答案值得商榷。

请看2015年广西南宁市中考数学试卷详细评析卷（以下简称评析卷）提供的一种解法：

再看某某资料的答案（简略）如下：

设总费用为w元，则w=y1+y2，

当0≤x≤800时，w=80（a-25）2+94000,

∵2≤a≤10，∴函数图像在对称轴左边，

又∵a>0，∴在2≤a≤10取值范围内，w随a的增大而减小，

∴当a=10时，w有最小值，最小值为112000；

当x>800时，w=-20（a-25）2+116500,

∵2≤a≤10，∴函数图像在对称轴左边，

又∵a<0，∴在2≤a≤10取值范围内，w随a的增大而增大，

∴当a=2时，w有最小值，最小值为105920,

∵105920<112000，

∴甬道宽为2米时，总造价最低，最低总造价为105920元。

虽然最终结果正确，但仅考虑二次函数性质而不考虑符不符合题意条件或实际情况。

根据实际情况，一般校园道路宽为2到8米，因此，假设把原题中的甬道宽范围2≤a≤10改成2≤a≤8的话，这2种解法所犯的错就很明显了，因为2≤a≤8时花圃面积x>800，按照某某资料解法，

当0≤x≤800时，w=80（a-25）2+94000,

∵2≤a≤8，∴函数图像在对称轴左边，

又∵a>0，∴在2≤a≤8取值范围内，w随a的增大而减小，

∴当a=8时，w有最小值，最小值为117120；

当x>800时，w=-20（a-25）2+116500,

∵2≤a≤10，∴函数图像在对称轴左边，

又∵a<0，∴在2≤a≤10取值范围内，w随a的增大而增大，

∴当a=2时，w有最小值，最小值为105920,

∵105920<117120，

∴甬道宽为2米时，总造价最低，最低总造价为105920元。

按照评析卷提供的这种解法，只需把这行

改成∴当a=8时，y有最小值，最小值为117120；其余跟原来一样，∵105920<117120，

∴甬道宽为2米时，总造价最低，最低总造价为105920元。

因为2≤a≤8时花圃面积x>800，所以资料解法中的步骤（当0≤x≤800时，w=80（a-25）2+94000,

∵2≤a≤8，∴函数图像在对称轴左边，

又∵a>0，∴在2≤a≤8取值范围内，w随a的增大而减小，

∴当a=8时，w有最小值，最小值为117120；）

和评析卷解法中的步骤

都是不对的。

因为此题条件甬道宽范围2≤a≤10，也就是说a可以取10，当a=10时，花圃面积x=800，所以上述2种解法过程虽然不够严谨，但并没有错。

不知大家是否注意到，如前面所述（∵105920<117120，∴甬道宽为2米时，总造价最低，最低总造价为105920元和改成∴当a=8时，y有最小值，最小值为117120；其余跟原来一样，∵105920<117120，∴甬道宽为2米时，总造价最低，最低总造价为105920元。

），就算过程不够严谨，最终结果依然正确。

也许大家认为仅举一个例子还没有说服力，那好，撇开实际情况（一般校园道路宽为2到8米），根据题意“长为60米，宽为40米的长方形”，则是0

再举2个例子，甬道宽范围分别为2≤a≤13、13≤a≤15。

1.甬道宽范围为2≤a≤13。

按照资料原解法如下：

当0≤x≤800时，w=80（a-25）2+94000,

∵2≤a≤13，∴函数图像在对称轴左边，

又∵a>0，∴在2≤a≤13取值范围内，w随a的增大而减小，

∴当a=13时，w有最小值，最小值为105520；

当x>800时，w=-20（a-25）2+116500,

∵2≤a≤13，∴函数图像在对称轴左边，

又∵a<0，∴在2≤a≤13取值范围内，w随a的增大而增大，

∴当a=2时，w有最小值，最小值为105920,

∵105520<105920，

∴甬道宽为13米时总造价最低，最低总造价为105520元。

按照资料正确解法（简略）应如下：

当10≤a≤13时，x≤800，w=80（a-25）2+94000,

∵10≤a≤13，∴函数图像在对称轴左边，

又∵80>0，∴在10≤a≤13取值范围内，w随a的增大而减小，

∴当a=13时，w有最小值，最小值为105520；

当2≤a<10时，x>800，w=-20（a-25）2+116500,

∵2≤a<10，∴函数图像在对称轴左边，

又∵-20<0，∴在2≤a<10取值范围内，w随a的增大而增大，

∴当a=2时，w有最小值，最小值为105920,

∵105520<105920，

∴甬道宽为13米时总造价最低，最低总造价为105520元。

（1）按照评析卷原解法如下：

∴当a=13时，y有最小值，最小值为105520；

∴当a=2时，y有最小值，最小值为105920；

∵105520<105920，

∴甬道宽为13米时总造价最低，最低总造价为105520元。

（2）按照评析卷的正确解法可类比按照资料的正确解法和评析卷原解法进行，一样可以得到正确答案。

2.甬道宽范围为13≤a≤15。

按照资料原解法如下：

当0≤x≤800时，w=80（a-25）2+94000,

∵13≤a≤15，∴函数图像在对称轴左边，

又∵80>0，∴在13≤a≤15取值范围内，w随a的增大而减小，

∴当a=15时，w有最小值，最小值为102000；

当x>800时，w=-20（a-25）2+116500,

∵13≤a≤15，∴函数图像在对称轴左边，

又∵-20<0，∴在13≤a≤15取值范围内，w随a的增大而增大，

∴当a=13时，w有最小值，最小值为105520,

∵102000<105520，

∴甬道宽为15米时总造价最低，最低总造价为102000元。

按照资料正确解法（简略）应如下：

当13≤a≤15时，x<800，w=80（a-25）2+94000,

∵13≤a≤15，∴函数图像在对称轴左边，

又∵80>0，∴在13≤a≤15取值范围内，w随a的增大而减小，

∴当a=15时，w有最小值，最小值为102000；

∴甬道宽为15米时总造价最低，最低总造价为102000元。

（1）按照评析卷原解法如下：

∴当a=15时，y有最小值，最小值为102000；

∴当a=13时，y有最小值，最小值为105520；

∵102000<105520，

∴甬道宽为15米时总造价最低，最低总造价为102000元。

（2）按照评析卷的正确解法如下：

当13≤a≤15时，x<800，∴总造价y=-20x甬道+144000

∴当a=15时，y有最小值，最小值为102000，

∴甬道宽为15米时总造价最低，最低总造价为102000元。

从以上几个例子我们可以知道，就算解答过程不够严谨，但结果一样正确。

也许有人会说，这些例子都是特殊的，并且可能与长方形边长有关。

那好，我们就看一般情况，设面积为s，长方形边长不定，甬道宽取值范围为[m,n]。

当花圃面积x=800时记甬道宽的值为a0[打个比方，长方形长为90，宽为20，由（90-2a）（20-2a）=800可求得a0=5，假设函数

y=（90-2a）（20-2a），根据函数图像与性质（或结合实际）可知，当0≤a<5时，当5≤a≤10时，0≤x≤800]，则甬道宽取值范围有三种可能：

1.n≤a0；2.m≤a0≤n；3.m≥a0。

现以m≥a0为例分析，个人认为正确解法（简略）如下：

∵甬道宽取值范围为m≤a≤n，m≥a0，根据函数图像与性质（或结合实际）可知x≤800，y1=40（s-x），y2=60x，

∴总造价y=y1+y2=40（s-x）+60x=40s+20x，

∵x随着a增大而减小，y随着x增大而增大，

∴在m≤a≤n取值范围内，y随a的增大而减小，

∴当a=n时，y有最小值。

（如前面13≤a≤15时，取a=15）

按照评析卷原解法如下：

当0≤x≤800时，y1=40（s-x），y2=60x，

∴总造价y=y1+y2=40（s-x）+60x=40s+20x，

∵x随着a增大而减小，y随着x增大而增大，

∴在m≤a≤n取值范围内，y随a的增大而减小，

∴当a=n时，y有最小值。

∵n>a0，∴ya=n

当x>800时，y1=40（s-x），y2=35x+2000，

∴总造价y=y1+y2=40（s-x）+35x+2000=40s-5x+2000，

∵x随着a增大而减小，y随着x增大而减小，

∴在m≤a≤n取值范围内，y随a的增大而增大，

∴当a=m时，y有最小值。

∵m≥a0，∴ya=m>ya=a0

由和可知ya=n

∴当a=n时，y有最小值。

这与正确解法结果一样，另外2种情况可类似进行分析。

由此可知，就算解答过程不够严谨，但结果依然正确。

因此，在评卷当中，当学生解答过程不够严谨，但结果正确时，评卷老师是否发现？

还是看到结果正确就给分了？

在此题中，花圃面积或甬道面积是由甬道宽a决定，所以应先确定甬道宽a在哪个范围时0≤x≤800，在哪个范围时x>800，否则求出的a的值不一定使得0≤x≤800或x>800。

过程不够严谨不是粗心大意犯的错，而在于思维的严谨性或缜密性（深层次来讲应该是深刻性与批评性），是思维品质的问题。

思维品质主要有思维的发散性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性、思维的创造性，那么我们怎样培养学生的思维品质呢？

下面我就从几个方面进行探讨：

一、思维的发散性的培养

1.通过一题多解，训练思维的多向性

一题多解是培养学生思维发散的一个重要方法。

让学生不要过多地受思维定势的影响，善于从旧的模式中解脱出来，对一个对象能从多种角度观察，对一个信息能多种方向发散，对一个题目能提出不同解法。

一题多解能够训练学生对一个问题从不同角度，不同方向探索和思考，综合运用各科知识，开拓思路，从而发展思维的变通性，提高解题能力。

它既可摆脱“题海”,又能提高学习兴趣，将学得的知识纵横联系、广泛迁移、灵活应用，能有效防止照猫画虎，模式辨别的机械学习，有利于激发学生独立思考和创新意识，从而培养深刻理解概念，克服循规蹈矩，善于多向思维的良好思维品质。

2.通过一题多变，训练思维的变通性

在数学教学中运用一题多变，可以引导学生积极思维，改变静止孤立思考问题习惯，逐步使思维向广阔的方向联想，向纵深方向发展，达到由此及彼，触类旁通的目的，这种从一个题目入手，通过不断变换题目的条件和结论，由浅入深，循序渐进，举一反三，层层深化，对发展学生的数学思维能力是大有裨益的。

数学教学中充分发展学生的发散思维，让学生在教师的启发、引导下，通过自己的努力去主动地获取知识。

教师要善于挖掘和选取教学基础知识和教学问题中的发散素材，恰当地选定发散对象或选取发散点，适度地把发散思维的培养贯穿于平时教学中，并在教学过程中创设问题情境，造成认知冲突，通过设问启发学生的思维发散，再在发散的基础上有选择地逐个解决提出的问题，以拓广和发现数学知识与数学方法，生成各种知识链、方法链。

二、思维的灵活性的培养

在数学教学中，思维的灵活性通常表现为：

不固执己见，不拘泥于旧有的思维定势，善于根据题设中的已知条件和问题的具体特征及时地提出新的设想和解题方案。

1.善于观察

观察是思维的触角，是认识事物最基本的途径，是了解问题、发现问题和解决问题的前提，是联想的基础，每一道数学问题都包含一定的数学条件和关系，要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行全面、细致、深入、透彻的观察，捕获各种有用的信息，然后认真思考，透过表面现象看本质，探求解题思路，拟定解题策略，从中找到最佳的解题途径和解题方法。

为全面掌握对象的有效信息，防止遗漏重要信息，可采用由局部到整体，由整体到局部，也可以按事物的结构特征，从不同的角度，不同的观点出发对同一事物进行观察。

2.善于联想

联想是分析的动力。

在数学思维活动中，一经问题的引发，存储在头脑中的数学表象就会被激活、串联起来，从而得出其他表象。

比如当涉及到直角三角形时我们就会联想到勾股定理；涉及到二次函数就会联想到其函数图像与性质；遇到不规则（部分）图形联想到规则（完整）图形；遇到抽象的问题联想到类似的具体的问题等等。

3.善于转化

匈牙利数学家波利亚在怎样解题中说过，数学解题是命题的连续变换，可见解题过程是通过问题的转化才能完成的。

转化是一种重要的数学思想方法，那怎样转化呢？

就是将复杂问题转化成简单问题，将抽象问题转化成具体问题，将未知问题转化成已知问题。

因此在解题时需要观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。

三、思维的批判性和深刻性的培养

荷兰数学教育家弗莱登塔尔指出“反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力，是一种积极的思维活动和探索行为，是同化，是探索，是发现，是再创造。

”反思即元认知，是一种自我反省行为，从心理品质上来说，是一种自我超越、自我完善的过程。

如解题后的反思或解题回顾其实是解题环节中最重要的一步，可惜我们往往少了这一步。

教学实践表明：

教学必须给学生留下反思的时间。

在教学中，一方面，我们可选准时机，有意按照学生常见的、多发的歧路，适当出错，把错误重新暴露给学生，制造思维冲突，诱发灵感，从而提高自我监控能力，同时也使学生能够分清错误类型，搞清问题之所在，增强防止错误的免疫力。

另一方面，我们不能照本宣科，忽视甚至掩盖教材中最精彩、最生动的数学发现过程（“冰冷的美丽下掩藏着火热的思考”），我们要努力挖掘教材的潜能，引导学生去猜想、去发现、去创造。

在概念、定理、公式以及证明的教学中不能和盘托出，应引导学生再创造，展现结论的发现过程证明思路和方法的探索过程，以深化学生对概念、定理、法则和公式的理解，揭示问题的本质。

四、培养学生的创造性思维能力

　　创造性思维，是根据一定目的，运用一切已知的信息，通过思维创造性思维，是根据一定目的，运用一切已知的信息，通过思维去探索、突破、综合、创新，发现和解决自己或别人所未解决的问题，创造出有社会和个人价值的思维成果，创造性思维的特征是它的独创性、灵活性和综合性。

　　学生创造性思维能力的培养是思维能力培养的高层次要求，创造性思维能力主要表现在学习过程中，学生善于重新组织已有的认知经验，大胆想象，不因循守旧，不抄袭前人，敢于突破相关知识的局限，提出新的方案或程序，创造出新的思维成果。

如独立的见解，新颖的解法，公式、定理独到的证法或用法等，都是创造性思维的突出标志。

　　创造性思维的培养，首先应当使学生融会贯通地学习知识，在解题中则应当要求学生独立起步，养成独立思考的习惯。

在独立思考的基础上，还要启发学生积极思考，使学生多思善问，能够提出高质量的问题是创新的开始。

数学教学中应当鼓励学生提出不同看法，对于不同的看法，不要急于下结论，更不要打棍子，而应放手让学生积极思考分析，引导学生积极思考和自我鉴别。

在教学过程中精心设计有探究性的问题，引导学生大胆的进行探索，鼓励学生用非同一般的方法去思考、分析和解决问题。

学生良好思维品质的培养是一个长期的过程,非一日之功，这一培养任务艰巨复杂，在教学过程中加强“数学概念的形成”过程；数学公式、法则、定理的发现过程；几何图形的表象、空间、概念的建立过程；解题思路的探索过程；解题方法和规律的归纳过程等的教学，学生才会在“过程”中理解和消化知识，提高分析问题和解决问题的能力，引导学生进行观察、比较、分析、综合、猜想、联想、抽象、概括等思维训练，从而把彼此独立的知识串连成线，连结成网，有效地培养学生的各种思维品质，提高探索创新的能力。

下面分析一道2014年中考题：

八、（本大题满分10分）

26.在平面直角坐标系中,抛物线

+

与直线

交于A,B两点，点A在点B的左侧.

（1）如图

，当

时，直接写出A，B两点的坐标；

（2）在

（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图

，抛物线

+

与

轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）.在直线

上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？

若存在，请求出此时

的值；若不存在，请说明理由.

2014年广西南宁市中考数学试卷详细评析卷（Q群有）中分析是这样－－“最后一小题，第一难在理解，“是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”，这句话让很多人彻底凌乱，很少人能联想到圆的切点……”

真的难以联想到圆的切点吗？

个人认为，对于中上水平的学生应该可以想到，而不应只有优等生才能想到，理由分析如下：

1.从点的轨迹的角度来考虑，一个动点与两个定点所成的角是直角，即线段CO所对的角是直角，应该可以想到直径所对的圆周角是直角，从而得出点Q是在以CO为直径的圆上的点。

我们也可以从另外一个角度去分析，∠OQC=90°，就想到直角三角形，它有一个重要的性质定理就是“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

”设点E是CO中点，则QE=CO/2=OE=CE，从而知道点Q是在以CO为直径的圆上的点。

2.圆上的点有无数个，直线上的点也有无数个，点Q既在直线上同时又在圆上，说明点Q是直线与圆的交点，因为只有唯一一个，所以点Q就是切点。

“数学是玩概念的。

”我们平时要深刻理解概念、定理、公式、法则，才有可能灵活应用。

按照2014年广西南宁市中考数学试卷详细评析卷的分析，标准答案应该是利用相切与相似三角形来解答。

我们追求一题多解，同时也讲究多题一解，即通法。

由∠OQC=90°，就想到直角三角形，就想到勾股定理和它的逆定理。

设点Q坐标为（x,kx+1），点E是CO中点，作CF垂直CO，垂足为F。

根据勾股定理有CQ2+OQ2=OC2，即CF2+QF2+QF2+OF2=OC2，也可通过QF2+EF2=QE2=OE2来求。

我觉得这2种求法更易计算，也更容易想到。