深圳高级中学等三校高一上学期期末联考数学试题及答案.docx
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深圳高级中学等三校高一上学期期末联考数学试题及答案
2012-2013学年第一学期期末三校联考
高一数学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页,第Ⅰ卷为1-8题,共40分,第Ⅱ卷为9-20题,共110分.全卷共计150分.考试时间为120分钟.
注意事项:
1、答第一卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2、每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后,再涂其它答案,不能答在试题卷上.
3、考试结束,监考人员将答题卡收回.
参考公式:
锥体的体积公式,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高第I卷(本卷共计40分)
一、选择题:
(本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1.直线x+y+10的倾斜角和在y轴上的截距分别为()
A.135,-1B.135,1C.45,-1D.45,1
2.已知A,B均为集合U1,3,5,7,9的子集,且A∩B3,A∩CUB9,则A()
A.1,3B.3,7,9C.3,5,9D.3,9
3.下列函数中,既是偶函数又在区间0,+上单调递增的函数是()
A.yx3B.y|x|+1C.y-x2+1D.y2-|x|
4.给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是()
A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④
5.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列结论中不正确的是()
A.BD‖平面CB1D1B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1角为60°
6.某四面体的三视图如右图所示,该四面体四个面的面积中,
最大的是()
A.8B.C.10D.
7.已知点A-5,4、B3,2,过点C-1,2,且与点A、B的
距离相等的直线方程是()
A.x+4y-70B.4x-y+70
C.x+4y-70或x+10D.x+4y-70或4x-y+70
8.设a1,若对任意的x[a,2a],都有y[a,a2]满足方程logax+logay3,
这时a的取值的集合为()
A.a|1a2B.a|a2C.a|2a3D.2,3
第II卷(本卷共计110分)
注意事项:
请用黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
二、填空题:
(本大题共6小题,每小题5分,满分30分)
9.函数ylg1-x的定义域为___________.
10.函数fxex+x-2的零点个数为___________.
11.正方体的八个顶点中,有四个顶点恰好是正四面体的顶点,则正四面体的体积与正方体
的体积之比是_________.
12.已知直线l:
x-y+40与圆C:
x-12+y-122,则C上各点到l的距离的最小值为______.
13.若函数fxlogaxa0,a1在区间上的最大值为1,最小值为m,
且函数gxm+1x2在区间[0,+上是增函数,则a_________.
14.据气象台预报:
在我市正南方400km的海面A处有一台风中心,正以每小时40km的
速度向西北方向移动,在距台风中心300km以内的地区将受其影响.从现在起经过约
__________小时,台风将影响我市.(结果精确到0.1小时)
三、解答题:
(本大题共6小题,满分80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.本小题满分12分
已知ABC的顶点为A1,3,B3,1,C-1,0.
(I)求AB边所在直线的方程;
(II)求ABC的面积.
16.本小题满分12分
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,A1AACBC1,AB,
点D是AB的中点.
(I)求证:
AC1//平面CDB1;
(II)求三棱锥A1-ABC1的体积.
17.本小题满分14分
如图,AB是圆O的直径,C是圆周上不同于A、B的一点,VA平面ABC,VAAB.
(I)证明:
平面VAC平面VBC;
(II)当三棱锥A-VBC的体积最大值时,求VB与平面VAC所成角的大小.
18.本小题满分14分
已知圆C的半径为2,圆心C在x轴的正半轴上,直线3x-4y+40与圆C相切.
(I)求圆C的方程;
(II)是否存在过点P0,-3的直线l与圆C交于不同两点A、B,且弦AB的垂直平分线m
过点Q3,-3,若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
19.本小题满分14分
如图,长方形物体E在雨中沿面P面积为S的垂直方向作匀速移动,速度为vv0,
物体E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:
①P或P的平行面只有一个面淋雨的淋雨量,设其值与|v-4|S成正比,比例系数为;
②其它面的淋雨量之和,其值为,
记y为物体E移动过程中的总淋雨量,当移动距离d100,面积S时.
(Ⅰ)写出y的表达式;
(Ⅱ)设0v≤10,试确定移动速度v,使总淋雨量y最少.
20.本小题满分14分
已知函数fxax2+bx+1a0对于任意xR都有f1+xf1-x,且函数yfx+2x为偶函数;
函数gx1-2x.
I求函数fx的表达式;
II求证:
方程fx+gx0在区间[0,1]上有唯一实数根;
III若有fmgn,求实数n的取值范围.
2012-2013学年第一学期期末三校联考
高一数学答案及评分标准
说明:
1、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
2、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数.
一、选择题:
本大题每小题5分,满分40分.
12345678
ADBDDCCB
二、填空题:
本大题每小题5分,满分30分.
9.-,110.111.1:
3121314.4.6
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15.本小题满分12分
解:
(I)AB边所在直线的方程为,…………2分
即x+y-40…………4分
(II),…………6分
点C到直线AB的距离,就是AB边上的高h,…………10分
所以,…………12分
16.本小题满分12分
证:
(I)设CB1与C1B的交点为E,连结DE,
∵D是AB的中点,E是BC1的中点,∴DE//AC1,…………3分
∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1,∴AC1//平面CDB1…………5分
(II)底面三边长ACBC1,AB,∴AC⊥BC,…………7分
∵A1A⊥底面ABC,∴A1A⊥BC;
而A1AACC,∴BC⊥面AA1C1C,则BC为三棱锥B-A1AC1的高;……9分
∴…………12分
(注:
若用其他求得,相同标准给分)
17.本小题满分14分
(I)证明:
∵AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,∴BCAC,…………2分
由VA平面ABC,∴BCVA,
而ACVAA,∴BC⊥面VAC,…………4分
由BC平面VBC,∴平面VAC平面VBC…………6分
(II)方法1:
∵VA平面ABC,∴VA为三棱锥V-ABC的高,
则,
当ABC的面积最大时,最大…………8分设AB2a,
设BCx0x2a,则,
则
∴当x22a2时,即时,ABC的面积最大,最大.…10分
由1知:
BC⊥面VAC,则BVC为VB与平面VAC所成角,…………12分
在RtVBC中,,,,
∴BVC30,
故直线VB与平面VAC所成角为30…………14分
方法2:
∵VA平面ABC,∴VA为三棱锥V-ABC的高,
则,
当ABC的面积最大时,最大…………8分设AB2a,
过点C做CMAB,垂足为M,
则
∴当M与O重合时,CM最大,此时,
∴当,ABC的面积最大,最大.…10分
(下同方法1)
18.本小题满分14分
解:
(I)设圆心为Ca,0a0,则圆C的方程为x-a2+y24,…………1分
因为圆C与3x-4y+40相切,所以,…………4分
解得a2或(舍去),…………5分
所以圆C的方程为x-22+y24…………6分
(II)假设符合条件的直线l存在,显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为ykx-3,
∵直线l与圆相交于不同两点,则圆心C到直线l的距离
解得,…………9分
直线m的方程为,即x+ky+3k-30.
由于直线m垂直平分弦AB,故圆心C2,0必在直线m上,解得……12分
而,
故不存在直线l,使得过点Q3,-3的直线m垂直平分弦AB.…………14分
19.本小题满分14分
解:
(I)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为,…………3分
故…………6分
(II)由I知,当0v4时,
当4v10时,
故…………10分
在0,4]上,y是关于v的减函数;在4,10]上,y是关于v的增函数;…………12分
则当v4时,.
故移动速度v4时,使总淋雨量y最少…………14分
20.本小题满分14分
解:
(I)∵对于任意xR都有f1+xf1-x,
∴函数fx的对称轴为x1,得b-2a
……2分
又函数yfx+2xax2+b+2x+1为偶函数,∴b-2.a1∴fxx2-2x+1x-12…………4分
(II)设hxfx+gxx-12+1-2x,
∵h02-2010,h1-10,∴h0h10…………6分
又∵x-12,-2x在区间[0,1]上均单调递减,
所以hx在区间[0,1]上单调递减,……………8分
∴hx在区间[0,1]上存在唯一零点.
故方程fx+gx0在区间[0,1]上有唯一实数根…………9分
(注:
若用图象说明,视说理情况酌情给部分分数)
(III)由题可知∴fxx-120.gx1-2x1,…………11分
若有fmgn,则gn[0,1,…………13分
则1-2n0,解得n0故n的取值范围是n0…………14分
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