人教A版数学必修第二册101 随机事件与概率学案.docx
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人教A版数学必修第二册101随机事件与概率学案
随机事件与概率
【第一课时】
【学习目标】
1.理解随机试验的概念及特点
2.理解样本点和样本空间,会求所给试验的样本点和样本空间
3.理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念,并会判断某一事件的性质
4.理解事件5种关系并会判断
【学习重难点】
1.随机试验
2.样本空间
3.随机事件
4.事件的关系和运算
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容,思考以下问题:
1.随机试验的概念是什么?
它有哪些特点?
2.样本点和样本空间的概念是什么?
3.事件的分类有哪些?
4.事件的关系有哪些?
二、合作探究
事件类型的判断
例1:
指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军.
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯.
(3)若x∈R,则x2+1≥1.
(4)抛一枚骰子两次,朝上面的数字之和小于2.
样本点与样本空间
例2:
同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y).
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点的总数;
(3)“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点?
“x<3且y>1”呢?
(4)“xy=4”这一事件包含哪几个样本点?
“x=y”呢?
事件的运算
例3:
盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球2个白球},事件B={3个球中有2个红球1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.
求:
(1)事件D与A、B是什么样的运算关系?
(2)事件C与A的交事件是什么事件?
[变条件、变问法]在本例中,设事件E={3个红球},事件F={3个球中至少有一个白球},那么事件C与A、B、E是什么运算关系?
C与F的交事件是什么?
解:
由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个红球三种情况,故A⊆C,B⊆C,E⊆C,所以C=A∪B∪C,而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球,2个白球1个红球,3个白球,所以C∩F={1个红球2个白球,2个红球1个白球}=D.
互斥事件与对立事件的判定
例4:
某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判别它们是不是对立事件.
(1)恰有1名男生与恰有2名男生;
(2)至少有1名男生与全是男生;
(3)至少有1名男生与全是女生;
(4)至少有1名男生与至少有1名女生.
【学习小结】
1.随机试验
(1)定义:
把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验.
(2)特点:
①试验可以在相同条件下重复进行;
②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
2.样本点和样本空间
(1)定义:
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间.
(2)表示:
一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.
3.事件的分类
(1)随机事件:
①我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.
②随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.
③在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.
(2)必然事件:
Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.
(3)不可能事件:
空集∅不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称∅为不可能事件.
4.事件的关系或运算的含义及符号表示
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
A⊆B
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A+B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B=∅
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B=∅,A∪B=Ω
【精炼反馈】
1.下列事件:
①如果a>b,那么a-b>0;
②任取一实数a(a>0且a≠1),函数y=logax是增函数;
③某人射击一次,命中靶心;
④从盛有一红、二白共三个球的袋子中,摸出一球观察结果是黄球.
其中是随机事件的为()
A.①②B.③④
C.①④D.②③
2.(2019·四川省攀枝花市学习质量监测)从含有10件正品、2件次品的12件产品中,任意抽取3件,则必然事件是()
A.3件都是正品B.3件都是次品
C.至少有1件次品D.至少有1件正品
3.(2019·广西钦州市期末考试)抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则A的对立事件是()
A.至多抽到2件次品B.至多抽到2件正品
C.至少抽到2件正品D.至多抽到1件次品
4.写出下列试验的样本空间:
(1)甲、乙两队进行一场足球赛,观察甲队比赛结果(包括平局)________;
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件,观察其中次品数________.
【第二课时】
【学习目标】
1.了解基本事件的特点
2.理解古典概型的定义
3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题
【学习重难点】
1.基本事件
2.古典概型的定义
3.古典概型的概率公式
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容,思考以下问题:
1.古典概型的定义是什么?
2.古典概型有哪些特征?
3.古典概型的计算公式是什么?
二、合作探究
样本点的列举
例1:
一只口袋内装有5个大小相同的球,白球3个,黑球2个,从中一次摸出2个球.
(1)共有多少个样本点?
(2)“2个都是白球”包含几个样本点?
古典概型的概率计算
例2:
(1)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()
A.
B.
C.
D.
(2)(2018·高考江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为________.
数学建模——古典概型的实际应用
例3:
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?
(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
【学习小结】
1.古典概型
具有以下特征的试验叫做古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(1)有限性:
样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:
每个样本点发生的可能性相等.
2.古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率
P(A)=
=
.
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
【精炼反馈】
1.下列是古典概型的是()
①从6名同学中,选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小.
②同时掷两颗骰子,点数和为7的概率.
③近三天中有一天降雨的概率.
④10个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.
A.①②③④B.①②④
C.②③④D.①③④
2.甲、乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各个小组的可能性相同),则两人参加同一个学习小组的概率为()
A.
B.
C.
D.
3.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛,则甲、乙都当选的概率为()
A.
B.
C.
D.
4.在1,2,3,4四个数中,可重复地选取两个数,其中一个数是另一个数的2倍的概率是________.
5.一只口袋装有形状大小都相同的6只小球,其中2只白球,2只红球,2只黄球,从中随机摸出2只球,试求:
(1)2只球都是红球的概率;
(2)2只球同色的概率;
(3)“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍?
【第三课时】
【学习目标】
1.理解并识记概率的性质
2.会用互斥事件、对立事件的概率求解实际问题
【学习重难点】
1.概率的性质
2.概率性质的应用
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容,思考以下问题:
1.概率的性质有哪些?
2.如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)与P(A),P(B)有什么关系?
3.如果事件A与事件B为对立事件,则P(A)与P(B)有什么关系?
二、合作探究
互斥事件与对立事件概率公式的应用
例1:
一名射击运动员在一次射击中射中10环,9环,8环,7环,7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这名射击运动员在一次射击中:
(1)射中10环或9环的概率;
(2)至少射中7环的概率.
[变问法]在本例条件下,求射中环数小于8环的概率.
解:
事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件,则P(射中环数小于8环)=P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29.
互斥、对立事件与古典概型的综合应用
例2:
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求:
(1)该队员只属于一支球队的概率;
(2)该队员最多属于两支球队的概率.
【学习小结】
概率的性质
性质1:
对任意的事件A,都有P(A)≥0;
性质2:
必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(∅)=0;
性质3:
如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B);
性质4:
如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B);
性质5:
如果A⊆B,那么P(A)≤P(B),由该性质可得,对于任意事件A,因为∅⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1.
性质6:
设A,B是一个随机试验中的两个事件,有
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
【精炼反馈】
1.若A与B为互斥事件,则()
A.P(A)+P(B)<1
B.P(A)+P(B)>1
C.P(A)+P(B)=1
D.P(A)+P(B)≤1
2.甲、乙2人下棋,下成和棋的概率是
,乙获胜的概率是
,则甲获胜的概率是()
A.
B.
C.
D.
3.(2019·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学月考)从一箱苹果中任取一个,如果其重量小于200克的概率为0.2,重量在[200,300]内的概率为0.5,那么重量超过300克的概率为________.
4.一盒中装有各色球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球,求:
(1)取出1球是红球或黑球的概率;
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.
【参考答案】
【第一学时】
二、合作探究
例1:
【答案】由题意知
(1)
(2)中事件可能发生,也可能不发生,所以是随机事件;(3)中事件一定会发生,是必然事件;由于骰子朝上面的数字最小是1,两次朝上面的数字之和最小是2,不可能小于2,所以(4)中事件不可能发生,是不可能事件.
例2:
【答案】
(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(2)样本点的总数为16.
(3)“x+y=5”包含以下4个样本点:
(1,4),(2,3),(3,2),(1,4);“x<3且y>1”包含以下6个样本点:
(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).
(4)“xy=4”包含以下3个样本点:
(1,4),(2,2),(4,1);“x=y”包含以下4个样本点:
(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
例3:
【答案】
(1)对于事件D,可能的结果为1个红球,2个白球或2个红球,1个白球,故D=A∪B.
(2)对于事件C,可能的结果为1个红球,2个白球或2个红球,1个白球或3个均为红球,故C∩A=A.
例4:
【答案】判别两个事件是否互斥,就要考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事件是否对立,就要考察它们是否必有一个发生.
(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件;当恰有2名女生时它们都不发生,所以它们不是对立事件.
(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥;由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
【精炼反馈】
1.【答案】D
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