解读九章算术之方田.docx
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解读九章算术之方田
解读九章算术之方田
九章算术——《方田》
1、今有田廣十五步,從十六步。
問為田幾何?
答曰:
一畝。
解读:
现有一块田,宽十五步,长十六步。
问这块田的面积是多少?
答:
一亩
数学表达式:
15X16/240二(亩)
2、又有田廣十二步,從十四步。
問為田幾何?
答曰:
一百六十八步。
方田術曰:
廣從步數相乘得積步。
以畝法二百四十步除之,即畝數。
百畝為一頃。
解读:
有一块田,宽十二步,长十四步。
问这块田的面积是多少?
答:
一百六十八步
数学表达式:
12X14=16(8步)
方田计算方法:
长宽步数相乘得积步。
用亩法二百四十步除之,即亩数。
一百亩为一顷。
3、今有田廣一里,從一里。
問為田幾何?
答曰:
三頃七十五畝。
解读:
现有方田,宽一里,长一里。
问这块田的面积是多少?
答:
三顷七十五亩
方田术语:
里法三百步
数学表达式:
1*1*300*300/240=375(亩),即三顷七十五亩
4、又有田廣二里,從三里。
問為田幾何?
答曰:
二十二頃五十畝。
里田術曰:
廣從里數相乘得積里。
以三百七十五乘之,即畝數。
解读:
又有一方田,宽两里,长三里。
问此块田的面积是?
答:
二十二顷五十亩里田计算方法:
长宽里数相乘得积里。
以三百七十五乘之,即亩数。
数学表达式:
2*3*375=2250(里积),即二十二顷五十亩。
5、今有十八分之十二。
問約之得幾何?
答曰:
三分之二。
解读:
现有十八分之十二,问约分后等于多少?
答:
三分之二
数学表达式:
12/18=2/3
6、又有九十一分之四十九。
問約之得幾何?
答曰:
十三分之七。
約分術曰:
可半者半之,不可半者,副置分母子之數,以少減多,更相減損,求其等也。
以等數約之。
解读:
又有九十一分之四十九,问约分后等于多少?
答:
十三分之七
约分法:
即先进行观察,如果分数的分子、分母有2的倍数,则可先在分子、分母中同约去2;然后再用分子、分母中较大的减去较小的,所得的差与上一步骤中的减数比较大小,并再从较大的数中减去较小的数,如此重复进行下去,当差与减数相等即出现“等数”时,该等数即为所求分子与分母的最大公约数,只需将分子分母同除以这个数,即可将原来的分数化为最简分数。
【2】
7、今有三分之一,五分之二。
問合之得幾何?
答曰:
十五分之十一。
解读:
现有三分之一和五分之二,问两数相加等于多少?
答:
十五分之十一。
数学表达式:
1/3+2/5=11/15
8、又有三分之二,七分之四,九分之五。
問合之得幾何?
答曰:
得一、六十三分之五十。
解读:
又有三分之二、七分之四和九分之五
,问这三个数相加等于多少?
答:
一又六十三分之五十。
数学表达式:
2/3+4/7+5/9=1+50/63
9、又有二分之一,三分之二,四分之三,五分之四。
問合之得幾何?
答曰:
得二、六十分之四十三。
合分術曰:
母互乘子,并以為實,母相乘為法,實如法而一。
不滿法者,以法命之。
其母同者,直相從之
解读:
又有二分之一、三分之二、四分之三和五分之四,问这四个数相加等于多少?
答:
二又六十分之四十三。
合分法:
两分数的分母和分子互乘,取它们的和作为分子,两分母相乘作为分母,分子分母相等时为一。
10、今有九分之八,減其五分之一。
問餘幾何?
答曰:
四十五分之三十一。
解读:
现有九分之八,减去五分之一,问剩下多少?
答:
四十五分之三十一
数学表达式:
8/90-1/5=31/45
11、又有四分之三,減其三分之一。
問餘幾何?
答曰:
十二分之五。
減分術曰:
母互乘子,以少減多,餘為實,母相乘為法,實如法而一。
解读:
又有四分之三,减去三分之一,问剩下多少?
答:
十二分之五减分法:
两分数分子与分母互乘,用较大者减去较小者的差作为分子,两
分母相乘之积作为分母,分子等于分母时,值为一。
12、今有八分之五,二十五分之十六。
問孰多?
多幾何?
答曰:
二十五分之十六多,多二百分之三。
解读:
现有八分之五,二十五分之十六,问哪个数大?
大多少?
答:
二十五分之十六大,大二百分之三数学表达式:
5/8<16/25,16/25-5/8=3/200
13、又有九分之八,七分之六。
問孰多?
多幾何?
答曰:
九分之八多,多六十三分之二。
解读:
又有九分之八、七分之六。
问哪个数大?
大多少?
答:
九分之八大,大六十三分之二。
数学表达式:
8/9>6/7,8/9-6/7=2/63
14、又有二十一分之八,五十分之十七。
問孰多?
幾何?
答曰:
二十一分之八多,多一千五十分之四十三。
課分術曰:
母互乘子,以少減多,餘為實,母相乘為法,實如法而一,即相多也。
解读:
又有二十一分之八和五十分之十七,问哪个大?
大多少?
答:
二十一分之八大,大一千五十分之四十三。
课分法:
分子互乘分母,用较大的减去较小的,余数作为分子,分母相乘之积作为分母。
当分子等于分母时,值为一,即是较大的分数。
15、今有三分之一,三分之二,四分之三。
問減多益少,各幾何而平?
答曰:
減四分之三者二,三分之二者一,并以益三分之一,而各平於十二分之七。
解读:
现有三分之一、三分之二、四分之三,问减去多的补给少的各多少
就一样了?
答:
减3/4二份,减2/3一份,并把这些
补给1/3,就一样多,一样时为7/12
16、又有二分之一,三分之二,四分之三。
問減多益少,各幾何而平?
答曰:
減三分之二者一,四分之三者四,并以益二分之一,而各平於三十六分之
二十三。
平分術曰:
母互乘子,副并為平實,母相乘為法。
以列數乘未并者各自為列實。
亦以列數乘法,以平實減列實,餘,約之為所減。
并所減以益於少,以法命平實,各得其平。
17、今有七人,分八錢三分錢之一。
問人得幾何?
答曰:
人得一錢、二十一分錢之四。
解读:
现有七个人,均分八又三分之一钱。
问每人分得多少钱?
答:
每人得一又二十一分之四钱。
18、又有三人,三分人之一,分六錢三分錢之一,四分錢之三。
問人得幾何?
答曰:
人得二錢、八分錢之一。
經分術曰:
以人數為法,錢數為實,實如法而一。
有分者通之,重有分者同而通之。
经分法:
法与实皆为分数的除法,先将法、实皆化为假分数,然后以法的
分母乘实的分子为实,似实的分母乘法的分子为法,相除即为所求。
【3】
19、今有田廣七分步之四,從五分步之三。
問為田幾何?
答曰:
三十五分步之十二。
解读:
现有方田宽为七分之四,长为五分之三。
问此块田的面积为?
答:
三十五分之十二步
20、有田廣九分步之七,從十一分步之九。
問為田幾何?
答曰:
十一分步之七。
解读:
又有方田宽九分之七,长十一分之九。
问该方田的面积是?
答:
十一分之七步
21、又有田廣五分步之四,從九分步之五,問為田幾何?
答曰:
九分步之四。
乘分術曰:
母相乘為法,子相乘為實,實如法而一。
解读:
又有一块方田宽为五分之四,长为九分之五。
问该方田的面积是?
答:
九分之四步。
22、今有田廣三步、三分步之一,從五步、五分步之二。
問為田幾何?
答曰:
十八步。
解读:
现有块方田宽为三又三分之一步,长为五又五分之二步,问该块田的面积
是?
答:
十八步。
23、又有田廣七步、四分步之三,從十五步、九分步之五。
問為田幾何?
答曰:
一百二十步、九分步之五。
解读:
又有一块方田宽为七又四分之三步,长为十五又九分之五步。
问该块方田的面积是?
答:
一百二十又九分之五步。
24、又有田廣十八步、七分步之五,從二十三步、十一分步之六。
問為田幾何?
答曰:
一畝二百步、十一分步之七。
大廣田術曰:
分母各乘其全,分子從之,相乘為實。
分母相乘為法。
實如法而一。
解读:
又有一块方田宽为十八又七分之五步,长为二十三又十一分之六步。
问该块方田的面积是?
答:
一亩两百又十一
分之七步。
25、今有圭田廣十二步,正從二十一步。
問為田幾何?
答曰:
一百二十六步。
解读:
现有等腰三角形田【4】边为十二步,高为二十一步。
问该田面积是?
答:
一百二十六步。
数学表达式:
S=1/2*l*h=1/2*12*21=126
26、又有圭田廣五步、二分步之一,從八步、三分步之二。
問為田幾何?
答曰:
二十三步、六分步之五。
術曰:
半廣以乘正從。
解读:
有等腰三角形田边长为五又二分之一步,高为八又三分之二步,问该块田的面积为多少?
答:
二十三又六分之五步。
数学表达式:
S=1/2*l*h=1/2*(5+1/2)*(8+2/3)=23+5/6
计算方法:
底边长的一半乘以高。
27、今有邪田,一頭廣三十步,一頭廣四十二步,正從六十四步。
問為田幾何?
答曰:
九畝一百四十四步。
解读:
现有一块直角梯形田,上底边长三十步,下底边长为四十二步,高为六十四步。
问该块田的面积是多少?
答:
九亩一百四十四步。
数学表达式:
S=1/2*(b上+b下)*h=1/2*(30+42)*64=2304积步),即九亩四十四步
28、又有邪田,正廣六十五步,一畔從一百步,一畔從七十二步。
問為田幾何?
答曰:
二十三畝七十步。
術曰:
并兩邪而半之,以乘正從若廣。
又可半正從若廣,以乘并,畝法而
一。
解读:
又有一直角梯形田,正宽长为六十五步,一边长一百步,另一边长七十二步。
问该田的面积是多少?
答:
二十三亩七十步。
数学表达式:
S=1/2*(b上+b下)*h=1/2*(100+72)*65=5590,即二十三亩七十步
计算方法:
取两边长的一半,乘以正从(宽)。
也可取正从的一半做宽,再乘以两边长之和,用亩法归一制。
29、今有箕田,舌廣二十步,踵廣五步,正從三十步。
問為田幾何?
答曰:
一畝一百三十五步。
解读:
现有一般梯形田,上底长二十步,下底长五步,高为三十步。
问此块田的面积是多少?
答:
一亩一百三十五步
数学表达式:
S=1/2*(b上+b下)*h=1/2*(20+5)*30=375积步),即一亩三十五步。
30、又有箕田,舌廣一百一十七步,踵廣五十步,正從一百三十五步。
問為田幾何?
答曰:
四十六畝二百三十二步半。
術曰:
并踵舌而半之,以乘正從。
畝法而一。
解读:
又有一块梯形田,上底长一百一十七步,下底长五十步,宽为一百三十五步。
问该田的面积是多少?
答:
四十六亩二百三十二步半
计算方法:
取上下底长的一半,乘以高,即得面积,用亩法归一制。
31、今有圓田,周三十步,徑十步。
問為田幾何?
答曰:
七十五步。
解读:
现有圆形田,周长三十步,半径十步。
问此田面积是?
答:
七十五步。
数学
表达式:
S=1/2*l*r=1/2*30*10=75(积步)32、又有圓田,周一百八十一步,徑六十步、三分步之一。
問為田幾何?
答曰:
十一畝九十步、十二分步之一。
術曰:
半周半徑相乘得積步。
又術曰:
周徑相乘,四而一。
又術曰:
徑自相乘,三之,四而一。
又術曰:
周自相乘,十二而一。
解读:
又有一圆形田,周长一百八十一步,半径长六十又三分之一步。
问此田的
面积是?
答:
十一亩九十又十二分之一步计算方法:
半周长乘以半径长等于积步(面积)。
计算方法:
周长乘以直径,取其四分之一。
计算方法:
直径相乘,然后乘以三,再取其四分之一。
计算方法:
周长相乘,取其十二分之一。
数学表达式:
S=1/4*L*r=1/4*181*(60+1/3)=32761/12,即十一亩九十又十二分之一步。
33、今有宛田,下周三十步,徑十六步。
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