基本不等式很全面.docx
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基本不等式很全面
基本不等式
【知识框架】
1基本不等式原始形式
(1)若a,bR,则a2b2_2ab
(2)若a,bR,则abv"b"
2
2、基本不等式一般形式(均值不等式)
若a,bR*,则ab_2ab
3、基本不等式的两个重要变形
(1)若a,b・R*,则—_、ab
2
(2)若a,b・R*,则ab—山
I2丿
总结:
当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值;
当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;
特别说明:
以上不等式中,当且仅当a=b时取“=”
4、求最值的条件:
“一正,二定,三相等”
5、常用结论
1
(1)若X0,则X2(当且仅当Xh时取“=”)
x
1
(2)若x<0,则x2(当且仅当x--1时取“=”)
X
(3)若ab0,则ab_2(当且仅当a二b时取“=”)
ba
(4)若a,bR,则ab¥b)2乞?
—
22
22
(5)若a,b^R*,则丄<陌<4<「+b
1+丄22
ab
特别说明:
以上不等式中,当且仅当a=b时取“=”
6、柯西不等式
(1)若a,b,c,dR,则(a2b2)(c2d2)_(acbd)2
(2)若ai,a2,a3,bi,b2,b3R,则有:
2222222
⑻a203)(ibib2d)_(aQa2pasd)
(3)设a,a2,…,an与b|,b2,…,d是两组实数,则有
2222222
(at•⑦亠亠an)(db2亠-bn)_(aibia2b2亠亠anbn)
【题型归纳】
题型一:
利用基本不等式证明不等式
题目1、设a,b均为正数,证明不等式:
..ab
11+ab
题目2、已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:
a2b2c2abb^ca
题目3、已知abc=1,求证:
a2b2c2-1
3
题目4、已知a,b,cR,且abc=1,求证:
(1-a)(1-b)(1-c)_8abc
+(1Y1Y1、
题目5、已知a,b,WR,且a+b+c=1,求证:
.—1.—1.-U>8
\.aAbAc丿
题目6、(新课标n卷数学(理)设a,b,c均为正数,且ab•c=1,证明:
1
(i)abbeca乞;(
3
题型二:
利用不等式求函数值域
题目1、求下列函数的值域
21
(1)y=3x2
(2)y=x(4—x)
2x2
题型三:
利用不等式求最值
(一)(凑项)
4
1、已知x2,求函数y=2x-4的最小值;
2x—4
变式1:
已知x2,求函数
4
y=2x■的最小值;
2x—4
4
变式2:
已知x:
:
:
2,求函数y=2x•的最大值;
2x—4
变式3:
已知x:
:
:
2,求函数
4x
y=2x的最大值;
2x—4
练习:
5
1、已知x4,求函数
y=4x-2-的最小值;
4x—5
5
题目2、已知x,求函数
4
y=4x-2•—1—的最大值;
4x—5
题型四:
利用不等式求最值
(二)(凑系数)
题目1、当I—时,求y=x(8-2x)的最大值;
变式1:
当Lv时,求y=4x(8-2x)的最大值;
、、、3
变式2:
设0:
:
:
x,求函数y=4x(3-2x)的最大值。
题目2、若0:
:
:
x:
:
:
2,求y二.x(6-3x)的最大值;
变式:
若0:
:
:
x:
:
:
4,求y=.x(8-2x)的最大值;
题目3、求函数yF2x-1.5-2x(】:
:
:
x:
:
:
5)的最大值;
22
变式:
求函数y=.4x-311-4x(3:
:
:
x』)的最大值;
44
题型五:
巧用“1”的代换求最值问题
11
题目1、已知a,b0,a2^1,求t的最小值;
ab
11
变式1:
已知a,b0,a2^2,求t的最小值;
ab
变式2:
28
已知x,y0,1,求xy的最小值;
xy
变式3:
11
已知x,y0,且9,求xy的最小值。
xy
变式4:
19
已知x,y0,且4,求xy的最小值;
xy
变式5:
11
(1)若x,y0且2xy=1,求的最小值;
xy
(2)若a,b,x,y•R且旦•-=1,求xy的最小值;
xy
变式6:
已知正项等比数列Q•满足:
a^a6'2a5,若存在两项am,an,使得.ama*=4®,求—~
mn
的最小值;
变式7:
若正数x,y满足x+3y=5xy,贝U3x+4y的最小值是()
2428
A.B.yC.5D.6
a2b2
变式10:
已知0:
:
:
x:
:
:
1,a0,b•0,求y的最小值.
x1-x
变式11:
求—8(0:
:
:
x:
:
:
3)的最小值
2x3—2x2
兀14
变式12:
已知"(0,-),求函数f(小命•齐的最小值
变式13:
设正实数ab满足a+b=2贝H1+a的最小值为
''、a8b
变式14:
【2013天津理】设a+b=2,b>0,则当a=时,1回取得最小值.
2|a|b
变式15:
设a0,b1满足a•b=2,则-卫-的最小值为
b_1a
丄14
变式16:
已知a,b•二R■且2a^1,则二2的最小值是
ab
题型六:
分离换元法求最值(了解)
x?
+7x+10
题目1、求函数y二一(x=-1)的值域;
x+1
题目2、求函数"匕的最大值;
变式:
求函数y=7的最大值;
4x+9
题型七:
基本不等式的综合应用
题目1、已知log2aJog2b-1,求3a9b的最小值
题目2、已知a,b.0,求112ab的最小值;
ab
、211
变式1:
(2010四川)如果ab•0,求关于a,b的表达式a的最小值;
aba(a—b)
变式2:
(2012湖北武汉诊断)
已知,当a.0,a=1时,函数y=loga(x-1)1的图像恒过定点A,若点
题目3、已知x,y0,x2y2xy=8,求x2y最小值;
变式1:
已知a,b0,满足ab=ab3,求ab范围;
111
变式2:
已知x,y0,一——=一,求xy最大值;(提示:
通分或三角换兀)
2+x2+y3
、”—22
变式3:
已知x,y.0,xy•xy=1,求xy最大值;
题目4、(2013年山东(理))设正实数x,y,z满足x2-3xy,4y2-z=0,则当翌取得最大值
z
212
时,的最大值为()
xyz
9
A.0B.1C.-D•3
4
2
变式:
设x,y,z是正数,满足x-2y,3z=0,求—的最小值;
xz
题型八:
利用基本不等式求参数范围
1a
题目1、已知x,y0,且(xy)(-)一9恒成立,求正实数a的最小值;
xy
11n
2、已知x.y.z.0且恒成立,如果
x—yy_zx_z
变式:
已知a,b0满则-4=2,若ab_c恒成立,求c的取值范围;
ab
题型九:
利用柯西不等式求最值
1、二维柯西不等式
a
(a,b,c,d•R,当且仅当=
c
;即ad-be时等号成立)d
若
a,b,c,dR
则
(a2b2)(c2
-d)(ac
)b
d
2、二维形式的柯西不等式的变式
(1)寸a2+b2Jc2+d2>ac+bd
(a,b,c,d•R,当且仅当旦即ad二be时等号成立)
cd
(2)Ja2+b2de2+d2兰ac+|bd(a,b,c,d^R,当且仅当-;即ad=bc时等号成立)
cd
(3)(ab)(cd)-(•ac、bd)2
ab
(a,b,c,d_O,当且仅当;即ad=bc时等号成立)
cd
3、二维形式的柯西不等式的向量形式
*••
a.P (当且仅当2-0,或存在实数k,使a=k'时,等号成立) 4、三维柯西不等式 若印82月3山4,4•R,则有: ⑻2a22打)(山2巾22bs2)—(aQa2b2asd)2 (ai,b•R,当且仅当ai=a2=a3时等号成立) 3b2bs 5、一般n维柯西不等式 设a1,a2,…,an与b1,,bn是两组实数,则有: 2222222 (aiP•…an)(bib2-「bn)—(aQa2b^--.-anbn) (a,•R,当且仅当耳,2=……an时等号成立) b1b2S 【题型归纳】 题型一: 利用柯西不等式一般形式求最值 …222 题目1、设x,y,zR,若xy■z=4,则x-2y•2z的最小值为时,(x,y,z)二 析: (x-2y2z)2乞(x2y2z2)[12(-2)222] =49=36 •••x-2y•2z最小值为-6 2 4 -4 X_ y二 z- 3 3 3 题目2、设x,y,zR,2x-y-2z=6,求x2y2z2的最小值m,并求此时x,y,z之值。 424 AnS: gZrW 题目3、设x,y,zR,2x—3y•z=3,求x2(y-1)2z2之最小值为,此时y= (析: 2x-3yz=3=2x_3(y—1)z=0) 题目4、已知a,b,c・,a2b3c=6,则a24b29c2的最小值是(Ans: 12) 题目5、设x,y,z•R,且满足: x2y2z2=1,x2y3^\14,求xyz的值; 题目6、求2sin"3co^sin—cos^cos'的最大值与最小值。 (Ans: 最大值为22,最小值为 -2•2) T厂T 析: 令a=(2sin/,一3cost,—cos》,b=(1,sin,cos)
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- 基本 不等式 全面