天津市七校静海一中宝坻一中杨村一中等届高三数学上学期期末考试试题理.docx
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天津市七校静海一中宝坻一中杨村一中等届高三数学上学期期末考试试题理
2018~2019学年度第一学期期末七校联考
高三数学(理科)
一、选择题:
(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合
,
,则
=( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2.设
,直线
,直线
,则“
”是“
”的( )
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
3.设变量
满足约束条件
,则目标函数
的最小值是( )
(A)-5(B)1
(C)2(D)7
4.执行如图所示的程序框图,输出
的值为( )
(A)7
(B)14
S=S+2i-1
S=S+2i-1
(C)30
(D)41
5.已知
,
,
,则
的大小关系为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
6.己知函数
图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2,将
的图象向右平移
个单位长度,得到函数
的图象,则下列是函数
的单调递增区间的为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
7.已知双曲线
的左、右焦点分别为
,过
作圆
的切线,交双曲线右支于点
,若
,则双曲线的离心率为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
8.定义域为
的函数
满足
,当
时,
.若
时,
恒成立,则实数
的取值范围是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题:
(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.已知复数
(
是虚数单位),则复数
的虚部为___________.
10.若二项式
的展开式中的常数项为
,则
=_____________.
11.已知正方体
中,四面体
的表面积为
,则该正方体的体积是_____________.
12.已知抛物线
的参数方程为
(
为参数,
),其焦点为
,顶点为
,准线为
,过点
斜率为
的直线
与抛物线
交于点
(
在
轴的上方),过
作
于点
,若
的面积为
,则
=_____________.
13.设
若
则
的最小值为_____________.
14.在梯形
中,
∥
,
,
,
,
,
分别为线段
和
上的动点,且
,
,则
的最大值为_____________.
三、解答题:
(本大题共6小题,共80分)
15.(本题满分13分)
在
中,内角
所对的边分别为
.
,
,
.
(Ⅰ)求边
的值;
(Ⅱ)求
的值.
16.(本题满分13分)
某高中志愿者部有男志愿者6人,女志愿者4人,这些人要参加元旦联欢会的服务工作.从这些人中随机抽取4人负责舞台服务工作,另外6人负责会场服务工作.
(Ⅰ)设
为事件:
“负责会场服务工作的志愿者中包含女志愿者
但不包含男志愿者
”,求事件
发生的概率.
(Ⅱ)设
表示参加舞台服务工作的女志愿者人数,求随机变量
的分布列与数学期望.
17.(本题满分13分)
如图,已知梯形
中,
∥
,
,
,四边形
为矩形,
,平面
平面
.
(Ⅰ)求证:
∥平面
;
(Ⅱ)求平面
与平面
所成二面角的正弦值;
(Ⅲ)若点
在线段
上,且直线
与平面
所成角
的正弦值为
,求线段
的长.
18.(本题满分13分)
设
是等差数列,
是等比数列,公比大于0.已知
,
,
,
.
(Ⅰ)求数列
,
的通项公式;
(Ⅱ)设
,
(
).
(ⅰ)求
;
(ⅱ)证明
(
)
19.(本题满分14分)
设椭圆
的右顶点为
,上顶点为
.已知椭圆的离心率为
,
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线
与椭圆交于
两点,且点
在第二象限.
与
延长线交于点
,若
的面积是
面积的3倍,求
的值.
20.(本题满分14分)
已知函数
,其中
,
=2.71828…为自然对数的底数.设
是
的导函数.
(Ⅰ)若
时,函数
在
处的切线经过点
,求
的值;
(Ⅱ)求函数
在区间
上的单调区间;
(Ⅲ)若
,函数
在区间
内有零点,求
的取值范围.
天津市部分区2018~2019学年度第一学期期末六校联考
高三数学(理科)参考答案
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.B2.C3.B4.C5.D6.B7.A8.C
二、填空题(每小题5分,共30分)
9.
10.12411.812.
13.
14.
三、解答题(共80分)
15.(本题满分13分)
【解析】(Ⅰ)由
,得
………………………………1分
,由
,得
,
……………………3分
由余弦定理
,得
,解得
或
(舍)
…………………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由
得
………………………………………………7分
………………………………………………10分
…………………………13分
16.(本题满分13分)
【解析】(Ⅰ)事件为
的基本事件的总数为
,
事件
包含基本事件的个数为
,则
.…………………4分
(Ⅱ)由题意知
可取的值为:
.……………………………5分
则
,
,
,
………………………………………………………10分
因此
的分布列为
0
1
2
3
4
………………………………………………………………………………11分
的数学期望是
=
…13分
17.(本题满分13分)
【解析】(Ⅰ)证明:
四边形
为矩形,
,
又平面
平面
,平面
平面
=
,
平面
.…………………………………………………………1分
取
为原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,
如图,则
,
,
,
,
,
设平面
的法向量
,∵
,
,
由
得
,不妨设
,………3分
又
∴
,∴
,……4分
又∵
平面
∴
∥平面
.……………………5分
(Ⅱ)设平面
的法向量
∵
,
由
得
,不妨设
,…………7分
∴
,…………………………………………8分
∴平面
与平面
所成二面角的正弦值为
.…9分
(Ⅲ)∵点
在线段
上,设
∴
,……………10分
又∵平面
的法向量
,设直线
与平面
所成角为
∴
,
,
,
………………………………………………12分
∴
,
,∴
的长为
.…13分
18.(本题满分13分)
【解析】(Ⅰ)设数列
的首项为
,公差为
,数列
的公比为
,
∵
,
,∴
,∴
或
,
∵
,∴
,∴
.…………………………………………3分
由
,
解得
,
:
∴
,
.…………………………………………………………5分
(Ⅱ)设
,则………………………6分
(ⅰ)
…9分
(ⅱ)
………………………11分
………………………………………………………13分
19.(本题满分14分)
【解析】(Ⅰ)设椭圆的焦距为
,由已知得
,
所以,椭圆的方程为
.…………………………………………………3分
(II)设点
,
,由题意,
且
由
的面积是
面积的3倍,可得
,…………………5分
所以
,从而
,
所以
,即
.………………………………………6分
易知直线
的方程为
,由
消去
,可得
…7分
由方程组
消去
,可得
.…………………………9分
由
,可得
,…………………………………10分
整理得
,解得
,或
.………………………12分
当
时,
,符合题意;当
时,
,不符合题意,舍去.
所以,
的值为
.…………………………………………………14分
20.(本题满分14分)
【解析】(I)
时,
,
∴切线斜率
,切点坐标
∴切线方程
∵切线经过点
,∴
∴
…………………………3分
(II)∵
∴
.
∵
在
单调递增,∴
,即
时,
,所以
单调递增区间为
…4分
②当
,即
时,
,所以
单调递减区间为
……5分
③当
时,令
,得
,
令
,得
,令
,得
,
∴函数
单调递减区间为
,单调递增区间为
综上①②③可得:
当
时,
单调递增区间为
;
当
时,
单调递减区间为
,单调递增区间为
;
当
时,
单调递减区间为
.…………………………7分
(Ⅲ)由
得:
,
…………8分
由已知,设
为
在区间
内的一个零点,
则由
可知,
在区间
上至少有三个单调区间.
∴
在区间
内存在零点,在区间
内也存在零点.
∴
在区间
内至少有两个零点.
由(II)可知,
当
时,
在
上单调递增,故
在
内至多有一个零点,不合题意.
当
时,
在
上单调递减,故
在
内至多有一个零点,不合题意.
∴
,…………………………………………………9分
此时
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增
………………………………………………………10分
令
,∵
∴
,
令
,令
得
;令
得
;
∴
在
单调递增,在
单调递减.
∴
在
恒成立.
即
在
时恒成立.…………………………………………12分 ∴由 得 ,∴ ∴ ∴ 的取值范围是 .…………………………………………………14分
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